中考數(shù)學(xué)培優(yōu) 易錯 難題之銳角三角函數(shù)及答案

中考數(shù)學(xué)培優(yōu)易錯難題(含解析)之銳角三角函數(shù)及答案一、銳三角函數(shù)1．某地是國家級游景區(qū)，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部”享譽巴渠，被譽為“小九寨．坐在觀音崖旁的一塊石似一嘯天”，昂首向天，望穿古今．一個周末，某數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)想測“嘯天犬上嘴尖與頭頂?shù)木嚯x．他們把蹲著嘯天犬抽成四邊形ABCD，法測出了尾部C看頂B的仰角為o，前腳落地點D看上嘴尖的角剛好

，

CBm

,

m

．景區(qū)管理員告訴同學(xué)們，上嘴尖到地面的距離是

3

．于是，他們很快就算出了的長．你也算算？（結(jié)果精確到

．參考數(shù)據(jù)：

，，40

.

21.41,31.73

）【答案】的長約為【解析】【分析】

0.6

．作

BFCE

于，據(jù)正弦的定義求出BF利用余弦的定義求出CF，利用正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計算即可．【詳解】解：作

BFCE

于，在

BFC

中，

BF＝BC3.20

，CFBC

，在ADEE中

DE

AB3tan3

，＝BFHF，AH＝EFCDCF由勾股定理得，AB

BHAH，答：AB的長約為0.6．

四邊形OPEGOEG四邊形OPEGOEGOEGeq\o\ac(△,)OPCPCEeq\o\ac(△,)OEC【點睛】考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．已知：如圖，在四邊形ABCD中AB，，AB=10cm，，直平分A．點從點B出發(fā)，沿方勻速運動，速度為1cm/s；時，點Q從出發(fā)，沿DC方向勻速運動，速度為1cm/s；一個點停止運動，另一個點也停止運動．過點P作AB，交BC于，點作QF，分別交ADOD于，G連接OP，．運動時間為ts)（t＜，答下列問題：（）t為值時，點在

的分上？（）四邊形PEGO的積為2)，求S與t的數(shù)關(guān)系式；（）運動過中，是否存在某一時刻，四邊形PEGO的積大？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（）接，，運動過程中，是否存在某一時刻，使？存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（）t=；（）

PEGO

t

t，(0

；（）t時

四邊PEGO

取得最大值；（）

t

時，OEOQ.【解析】【分析】（）點在BAC的平分線上時，因為AB，AC，可得，此構(gòu)建方程即可解決問題．（）據(jù)=S

=S++S）構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式即可．（）用二次數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．（）明EOC=，得EOC=tan，出可解決問題．【詳解】（）eq\o\ac(△,)ABC中，ACB=90°，AB=10cm，，

ECOC

，由此構(gòu)建方程即

10

=6（）OD垂平分線段，OC=OA=3（），DOC=90°，

+（）+（）CDABDCO，ACB，DOC，

ACABBCOCCDOD

，

CDOD

，CD=5（cm），（），，AB易知：

，，4當(dāng)點BAC的分線上時，EPAB，AC，PE=EC，

5t=8-，t=4．當(dāng)為4秒時，點E在BAC的分線上．（）圖，連，．S

四

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)OPCeq\o\ac(△,)OEC=

4153188ttt522=

t

t

．（）在．

St5)，3t=

時，四邊形的面積最大，最大值為．（）在．如，連接．

4t4tOEOQ，EOC+，，EOC=QOG

GQOG

，

58tt435

，整理得5t，解得

t

或10舍棄）當(dāng)

秒時，OQ．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，多邊形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問.3．如圖（）在平面直角坐標(biāo)系中，點A（，6）點B（0．eq\o\ac(△,)CDE中，，，，角邊CD在y軸上，且點與重合．eq\o\ac(△,)CDE沿y軸正方向平行移動，當(dāng)點C運到點時停止運動．解答下列問題：（）圖2）當(dāng)eq\o\ac(△,)CDE運動到點與O重時，設(shè)CE交AB于M求BME的度數(shù)．（）圖3）在eq\o\ac(△,)CDE的運動過程中，當(dāng)CE經(jīng)點時求BC的．（）eq\o\ac(△,)CDE的動過程中，設(shè)AC=heq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的疊部分的面積為，請寫出S與之的函數(shù)關(guān)系，并求出面積S的大值．【答案】（）BME=15°；（2BC=4

；（）≤2時S=﹣當(dāng)≥2時S=18﹣．

h+4h+8，

【解析】試題分析：1）圖2，對頂角的定義知BME=，BME的度數(shù)，需先求出的數(shù)．根據(jù)三角形外角的定理進行解答即可；（）圖3，已知可OBC=，OB=6，通過解直eq\o\ac(△,)BOC就求出BC的長度；（）要分類論≤2時如4作MNy軸交軸于點，MFDE交DE于點F，EDC﹣eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM；當(dāng)≥2時，如圖3，OBC．試題解析：解：1）圖，在面直角坐標(biāo)中，點（，6）點B（，）．OA=OB，，，

，OCE=60°，CMA=OCE﹣﹣，BME=CMA=15°；如圖，，，OBC=DEC=30°，OB=6，

，BC=4

；（）≤2時，如圖4，作MNy軸交y軸點，MFDE交DE于，

eq\o\ac(△,)EFMS=S1221eq\o\ac(△,)EFMS=S1221CD=4，

，，AN=NM﹣FM，AN=MN=4+hFMCMN，

，

，解得﹣

，S=SEDC

﹣=

×4×4

﹣（）×（﹣）﹣

h+4h+8，②如3，≥2時OBC

=OC×OB=

（﹣）×6=18﹣．考點：、角的外角定理2、似、解直角三角形4．已知：如圖，在eq\o\ac(△,)ABC中，M是邊AB的點BC，且，AB于點，結(jié)、CD．（）證eq\o\ac(△,)BCA；（）證eq\o\ac(△,)CMD；（）eq\o\ac(△,)MDE的面積為S，四邊形BCMD的積為，=值．

S時求ABC的【答案】（）明見解析；2）明見解析；）

.

1111【解析】【分析】（）證，ACB=MED=90°從而可證eq\o\ac(△,)MED△BCA；（）由，點是斜邊AB的點，可知，而可證明AMD=CMD從而可利用全等三角形的判定證eq\o\ac(△,)AMDCMD；（）證，由（）知eq\o\ac(△,)△BCA，所以

V

MD1AB

，所以eq\o\ac(△,)

=

eq\o\ac(△,)

=2S，而可求出1

eq\o\ac(△,)

=S﹣2

eq\o\ac(△,)

S﹣S，于1，而可VEBD知

MEEB

，設(shè)ME=5x，而可求出AB=14xBC=，后根據(jù)銳角角函數(shù)的定義即可求出答案．【詳解】（）MD，，ACB=MED=90°，MED；（），M是斜邊AB的中點，，MCB=MBCMBC，MCB=，AMD=180°，﹣MCB﹣MBC+﹣MBC，，eq\o\ac(△,)AMDeq\o\ac(△,)中，MDCMD

，

AMAMDCMD（）（）AM=MC=MD=MB，，由（）知eq\o\ac(△,)△

SSV

1AB4

，

eq\o\ac(△,)

=4S，1CM是ACB的中線，

1111

eq\o\ac(△,)

=

eq\o\ac(△,)

=2S

，1

eq\o\ac(△,)

﹣eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)﹣=

S，

S

S1VEBD

MEEB

，

ME1EB，

MEEB

，設(shè)ME=5x，，MB=7x，，

MDAB2

，BC=10x，ABC=

BC10x5ABx

.【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)及定理進行解題是關(guān).5．下圖是某兒童樂園為小朋友設(shè)計的梯平面.已BC=6m,間平臺寬度1m,EN,CB為根垂直于的支柱垂分別為,MB,EAB=31°,DFBC于,CDF=求和BC的平距離BM的度(結(jié)精到01.參數(shù)sin52,cos31°86,tan.【答案2.5m.【解析】試題分析：設(shè)，eq\o\ac(△,)DFC中可得CF=DF=x，，據(jù)線段的和可得，－，在eq\o\ac(△,)中值．試題解析：解：設(shè)，eq\o\ac(△,)DFC中CDF=CF=tan·DF=，

，利用EAB的切值解得x的，

又CB=4，BF=4－，，DE=1，DF=，AN=5－，－，在eq\o\ac(△,Rt)中，

，－，－，tan=

=0．解得=2．，答：DM和BC的水平距離BM為25米．考點：解直角三角形．6．如圖13，矩形

的對角線，

相交于點，

關(guān)于

的對稱圖形為．（）證：四形

是菱形；（）接①求

，若的值；

，．②若

為線段

上一動點（不與點

重合），連接

，一動點

從點

出發(fā)，以的速度沿線段

勻速運動到點

，再以

的速度沿線段

勻速運動到點，到達點

后停止運動．當(dāng)點

沿上述路線運動到點

所需要的時間最短時，求

的長和點走完全程所需的時間．【答案】（）見解析；2①

②

和

走完全程所需時間為【解析】試題分析：1）用四邊相等的四邊形是菱形；2）①造直角三角形求

；②先定點

沿上述路線運動到點

所需要的時間最短時的位置，再計算運到的時.試題解析：解：1）明：

四邊形

是矩形與四邊形

交于點且是菱形

關(guān)于

對稱（）連接

,直

分別交

于點

,交

于點

關(guān)于

的對稱圖形為在矩形為同理可得：

為

中，為的中位線的中點，

的中點，且O為AC的中點②過作

交

于點由

運動到

所需的時間為由可，點以即：

的速度從到A所的時間等于以

從M運動到A由運動到所需的時間就是OP+MA和小如下圖，當(dāng)P運動到在中，設(shè)

,即

時，所用時間最短.解得：和

走完全程所需時間為

考點：菱形的判定方法；構(gòu)造直角三角形求三角函數(shù)值；確定極值時動點的特殊位置7．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量校主教學(xué)樓的高度，由于教學(xué)樓底部不能直接到達，故興趣小組在平地上選擇一點，測角器測得主教樓頂端A的角為，再向主教學(xué)樓的方向前進24米，到達點處，，三在同一直線上），又測得主教學(xué)樓頂端的仰角為60°，知測角器CD的度為1.6米，請計算主教學(xué)樓AB的度．（3≈1.73，果精確到0.1米）【答案22.4m【解析】【分析】首先分析圖形，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形．本題涉及多個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系，進而求解．【詳解】解：在eq\o\ac(△,)AFG中AFG，F(xiàn)G=

tanAFG

，在eq\o\ac(△,)ACG中tanACG=

AGCG

，=

AG

=3AG．又CG﹣m，即﹣

3

=24mAG3AB=123

m，+1.6≈22.4m．

8．2018年12月10日，鄭州市城鄉(xiāng)規(guī)劃局網(wǎng)站掛出《鄭州都市區(qū)主城區(qū)停車場專項規(guī)劃》，將停車納入城市綜合交通體系，計劃到2030年在主城區(qū)新建停車泊位33.04萬個，年初，某小區(qū)擬修建地下停車庫，如圖是停車庫坡道入的設(shè)計圖，其中MN是水平線，，ADDE，AB垂足分別為，，坡道的坡度為1：3，＝米，點C在上，＝米，CD是高標(biāo)志屏的高度（標(biāo)志牌上寫有：限高米），如果進入該車庫車輛的高度不能超過線段CF的，則該停車庫限高多少米？（結(jié)果精確到0.1米參考數(shù)據(jù)

≈1.41

3）【答案】該停車庫限高約為米．【解析】【分析】據(jù)題意得出tan，即可得出tan，在eq\o\ac(△,)中，根據(jù)勾股定理可求得，即可得出的切值，再在eq\o\ac(△,)CEF中設(shè)＝，可求出x，從而得出CF＝的長．【詳解】解：由題意得，BMN，A＝B，

＝

，DE，在eq\o\ac(△,)中，tan＝DE＝，又DC0.5＝，

，

CF，+＝90°DE，A＝90°，A＝，F(xiàn)CE＝

．在eq\o\ac(△,)中，設(shè)EF＝＝x（x＞），CE＝2.5，代入得（

）＝+3x2解得x1.25，CF＝3

≈2.2，該車庫限高約米【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，坡面坡角問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是坡度等于坡角的正切值．9．如圖所示的是一個地球儀及它的平圖，在平面圖中，點A、分別為地球儀的南、北極點，直線AB與放置地球儀的平面交于點，夾的角度約為67°，徑所在的直線與放置它的平面垂直，垂足為點E，=15cm，ADcm（）半徑的長（結(jié)果精確到0.1cm，考數(shù)據(jù)sin67°，，tan67°）（）扇形BOC的積（取3.14，果精確到1cm）【答案】半OA的約為24.5cm

；扇BOC的積約為822cm．【解析】【分析】(1)在eq\o\ac(△,)中，DE=15ODE=67°，據(jù)的弦值，即可求得OD長，減去即為．(2)用形面積公式即可求.【詳解】(1)在中，DE15cm

，67

．

，

,7777,7777OD

0.39

，

OAODAD

，答：半徑

OA

的長約為

．(2)ODE67

，

，

S

扇形BOC

n360

3.1424.52360

822答：扇形

BOC

的面積約為2

．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，本題把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)中余弦定義來解題是解題關(guān)鍵．10．圖，正方形的點O與原點重合，點A，分在x軸軸正半軸上，點的坐標(biāo)為4，）點D在AB上且AOD＝

，點E是線上動點，x軸于點F，射線OD于，過點G作GH軸交于點H．（），兩的坐標(biāo)；（）點在線段上運動時，求的大??；（）點G為心GH的為徑G．是否存在點使G與正方形OABC的角線所在的直線相切？若不存在，請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點E的標(biāo)．【答案】（）（4），D（2；）；（）存在，符合條件的點為8﹣24，﹣）或（8+42，）

或2,

，理由見解析

【解析】【分析】（）正方形質(zhì)知，，此得B（，）再tanAOD=

得

OA=2，此可得點D坐；（）

GOF

1知GF=，再由AOB=ABO=45°OF=EF，GF=

EF，據(jù)x軸為AE的點，結(jié)合為AB的點知DHeq\o\ac(△,)ABE的中位線，即HDBE，此可得答案；（）分與角線OB和角線AC相兩種情況，設(shè)PG=x，合題意建立關(guān)于x的方程求解可得．【詳解】解：（）A4，）＝，四形為正方形，AB＝4，＝，B（，），在eq\o\ac(△,)中，OAD90°，AOD＝

，AD＝

＝×4＝，D（，）（）圖1，eq\o\ac(△,)OFG中OFG90°＝

GF11＝，GF＝OF，OF22四形為正方形，＝ABO＝，＝，

GF＝

，G為EF的點，GHx軸交于，H為AE的點，B（，），D（，2），D為的點，DH是的位線，BE，HDA＝＝．（）若G與對角線OB相切，如圖，點在線段OB上，過點G作GPOB于，設(shè)＝，得PE＝，＝＝2，OFEF＝＝，AF4﹣

2x，2，G為EF的點H為的點，eq\o\ac(△,)AFE的中位線，GH＝

AF＝×（22）＝﹣，則＝﹣2x，解得：＝2﹣，E（﹣

2，﹣）如圖，點在線段OB的長線上時，

7777＝

﹣，解得：＝

2，E（

2，

2）②若G與角線AC相切，如圖，點在線段BM上時，對角線，相于點M，過點G作GPOB于，設(shè)＝，得PE＝，＝＝2x，OFEF＝2x，＝，AF4﹣

2x，G為EF的點H為的點，eq\o\ac(△,為)的中位線，GH＝

AF＝×（22）＝﹣，過點G作GQAC于點Q，則GQ＝＝x﹣，3x2

2＝﹣x，

x

，42

；

777777如圖，點在線段OM上，GQ＝PM＝

2﹣3，

2﹣x＝﹣2，解得

，E如圖，點在線段OB的長線上時，3﹣＝2x﹣，解得：x

（舍去）；綜上所述，符合條件的點為842，﹣2）（，2）4216【點睛】本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和直角三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義、三角形中位線定理及分類討論思想的運用．11．圖，在ABCD中與BD交于點，于C，eq\o\ac(△,)ABC沿AC翻得到AEC，連接．（）證：四形是矩形；

（）＝，BC＝，ABD的值．【答案】（）明見解析2

13【解析】【分析】（）據(jù)ABCD中ACBC，eq\o\ac(△,)ABC，不難證明；（）據(jù)已知件，eq\o\ac(△,)ABD或AOC作線AF或OF，求出相應(yīng)邊的長度，即可求出ABD的正弦值．【詳解】（）明eq\o\ac(△,)ABC沿AC翻得eq\o\ac(△,)，BC＝CE，CE，四形是行四邊形，，＝，＝，ADCE四形是行四邊形，CE四形是形．（）：方法、如圖所，過點作AFBD于點F，BE＝＝＝，＝＝，在eq\o\ac(△,)中BE

2DE2

eq\o\ac(△,)

＝

×DE＝AF，6＝eq\o\ac(△,)ABC中，＝

，2

2＝，eq\o\ac(△,)中AFABF＝ABD＝AB5

．方法二、如圖2所示，過點作于點F，同理可得，＝

13

，

eq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOB

＝OFOA

，OF

65

，在eq\o\ac(△,)中FBO＝

6OB

，sinABD＝

13

．【點睛】本題考查直角三角形翻折變化后所得圖形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形求線段的長度，關(guān)鍵是正確添加輔助線和三角形面積的計算公式求出ABD．12．米秒千/小時60千?。?/p>

此車超過限制速度．分13．圖,在菱形

ABCD

中60

，點從

出發(fā)以每秒2個單位的速度沿邊終點運，過點P作PQAC交AB于，過點P向上作

，且PN

，以、為作矩形.設(shè)P的動時間為

t（秒），矩形PQMN與形ABCD重疊部分圖形的面積為S.（）含t的數(shù)式表示線段長.（）點落在邊

上，求t的.（）

時，求

與之的函數(shù)關(guān)系式，

（）圖若點O是AC的點，作直線.當(dāng)線OM將形PQMN分兩部分圖形的面積比為1，直接寫出t的【答案】（）PQ2t

；（）

；（）t

3；4t

23

或

87

．【解析】【分析】（）菱形性，AD=AB=CD=4eq\o\ac(△,)是邊三角形，證eq\o\ac(△,)APQ是等腰三角形，得出，PF=PA?sin60°=3t，可得出結(jié)果；（）點M落在邊BC上，由題意得eq\o\ac(△,)是等邊三角形，得出，已知得，得出PD=3t，由題意得出方程，解方程即可；（）＜≤

時，t，

，矩PQMN的=，即可得出結(jié)果；當(dāng)

＜＜時eq\o\ac(△,)是等邊三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t，F(xiàn)EN=PED=60°，出，2EFN的積，即可得出結(jié)果；

3NE=（）S=矩PQMN的面（）兩種情：當(dāng)0＜

時eq\o\ac(△,)是邊三角形，，得出，是MNH的中位線，得出，，面積關(guān)系得出方程，解方程即可；當(dāng)

EFEF＜時，由平行線得eq\o\ac(△,)，出，，MQEFtt解得

3ttt，得出EQ=tt4t

2

，由三角形面積關(guān)系得出方程，解方程即可．【詳解】（）在形中B=60°D=，，ACD是等邊三角形，，PQAC

是等腰三角形，PF=QF，PF=PA?sin60°=2t×PQ=23t；

=t，（）點M落在邊BC上，如圖所示：由題意得eq\o\ac(△,：)是邊三角形，PD=PN，PN=

3×23t=3tPD=3t，，即2t+3t=4解得：

．（）＜≤

時，如圖1所：t，

3×23t=3t，矩形PQMN的面積3t×3t=63t；當(dāng)

＜＜時，如圖3所示：

PDN是邊三角形，，PED=60°NE=PN-PE=3t-（），3NE=（）S=矩PQMN的面eq\o\ac(△,2)eq\o\ac(△,)EFN的面=6

3-2×

×（5t-4）=-19t+4033，即2+40；（）兩種情：當(dāng)0＜≤

時，如圖4所：ACD是等邊三角形，AC=AD=4是的中點，OA=2OGeq\o\ac(△,)MNH的位線，（），MNH的面積

1MN×NH=×2t×（）×62，3解得：

；當(dāng)

＜≤2時如圖所示：QM，OEF△，

EFEF2，即，MQEF3t解得：

3t34

，

EQ=

t

3tt

2

，MEQ

的面積

×3t×（3

ttt

2

）×6，解得：

；綜上所述，當(dāng)直線OM將形PQMN分成兩部分圖形的面積比為：時，的為．

或【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識；本題綜合性強，難度較大，熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，綜合運用知識，進行分類討論是解題的關(guān)鍵．14．知eq\o\ac(△,)ABC，＝90°點D是BC中點AD＝ACBC＝，A，兩點作O交于點，（）弦的長；（）圖1，圓心在上點O上動點，連接DM交AB于，求當(dāng)ON等于多少時，三點、、組成的三角形是等腰三角形？（）圖2，圓心不AB上動O與DB相于點Q時過D作（垂足為）交O于，問：O變動時DP﹣DQ的變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．【答案】（）（）ON等1或3﹣時，三點、EM組的三角形是等腰三角形（）變，理見解析【解析】【分析】（）據(jù)直角角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AD的長；（）DE、，得當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的腰，根據(jù)垂徑定理得論得OEDM，易得eq\o\ac(△,)為邊三角形，CAD=60°，DAO=30°，，后

3根據(jù)含30°的角三角形三邊