點(diǎn)線面位置關(guān)系例題及練習(xí)含答案

-.z.點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系知識梳理〔一〕.平面公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)。公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個平面.推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個平面.推論2：兩條相交直線確定一個平面.推論3：兩條平行直線確定一個平面.公理3：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，則它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線〔二〕空間圖形的位置關(guān)系1.空間直線的位置關(guān)系：相交，平行，異面1.1平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。1.2等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)。1.3異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；1.4異面直線所成的角：〔1〕*圍：；〔2〕作異面直線所成的角：平移法.2.直線與平面的位置關(guān)系：包含，相交，平行3.平面與平面的位置關(guān)系：平行，相交〔三〕平行關(guān)系〔包括線面平行，面面平行〕1.線面平行：=1\*GB3①定義：直線與平面無公共點(diǎn).=2\*GB3②判定定理：=3\*GB3③性質(zhì)定理：2.線面斜交：=1\*GB3①直線與平面所成的角〔簡稱線面角〕：假設(shè)直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角。*圍：3.面面平行：=1\*GB3①定義：；=2\*GB3②判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，則兩個平面互相平行；符號表述：判定2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：.=3\*GB3③面面平行的性質(zhì)：〔1〕；〔2〕〔四〕垂直關(guān)系〔包括線面垂直，面面垂直〕1.線面垂直=1\*GB3①定義：假設(shè)一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述：假設(shè)任意都有，且，則.=2\*GB3②判定：=3\*GB3③性質(zhì)：〔1〕；〔2〕；3.2面面斜交=1\*GB3①二面角：〔1〕定義：【如圖】*圍：=2\*GB3②作二面角的平面角的方法：〔1〕定義法；〔2〕三垂線法〔常用〕；〔3〕垂面法.3.3面面垂直〔1〕定義：假設(shè)二面角的平面角為，則；〔2〕判定定理：〔3〕性質(zhì)：=1\*GB3①假設(shè)，二面角的一個平面角為，則；=2\*GB3②熱點(diǎn)例析【例1】熱點(diǎn)一有關(guān)線面位置關(guān)系的組合判斷假設(shè)a，b是兩條異面直線，α，β是兩個不同平面，a?α，b?β，α∩β＝l，則()．A．l與a，b分別相交B．l與a，b都不相交C．l至多與a，b中一條相交D．l至少與a，b中的一條相交解析：假設(shè)l與a，b均不相交，則l∥a，l∥b，從而a∥b與a，b是異面直線矛盾，故l至少與a，b中的一條相交．選D.熱點(diǎn)二線線、線面平行與垂直的證明【例2】如圖，在四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD．(1)方法一：因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因?yàn)锳B＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD方法二：因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD(如圖)，所以BD⊥D1D.取AB的中點(diǎn)G，連接DG(如圖)．在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD(2)如圖，連接AC，A1C1設(shè)AC∩BD＝E，連接EA1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以EC＝eq\f(1,2)AC.由棱臺定義及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1所以四邊形A1ECC1為平行四邊形．因此CC1∥EA1.又因?yàn)镋A1?平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD.熱點(diǎn)三面面平行與垂直的證明【例3】在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝4，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA＝PB，PD＝PC，N為CD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD⊥平面ABCD；(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP？假設(shè)存在，說明理由并確定E點(diǎn)的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．(1)證明：取AB中點(diǎn)M，連接PM，PN，MN，則PM⊥AB，PN⊥CD.又ABCD為直角梯形，AB⊥BC，∴MN⊥AB.∵PM∩MN＝M，∴AB⊥平面PMN.又PN?平面PMN，∴AB⊥PN.∵AB與CD相交，∴PN⊥平面ABCD.又PN?平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD.(2)解：假設(shè)存在．在PC，PB上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，使BF＝eq\f(1,4)BP，CE＝eq\f(1,4)CP，連接EF，MF，NE，則EF∥BC且可求得EF＝eq\f(3,4)BC＝3.∵M(jìn)N＝3且MN∥BC，∴EF∥MN且EF＝MN.∴四邊形MNEF為平行四邊形，∴EN∥FM.又∵FM?平面PAB，∴在線段PC上存在一點(diǎn)E使得NE∥平面ABP，此時CE＝eq\f(1,4)PC.熱點(diǎn)四折疊問題例4如下圖，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC、PD、CB的中點(diǎn)，將沿CD折起，使得平面ABCD．ADPCBGEFADPCBGEFPDABGCEF(Ⅱ)求二面角的大小．解:(Ⅰ)證明:連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO．∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//,//四邊形EFOG是平行四邊形,平面EFOG．又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點(diǎn),PA//EO平面EFOG,PA平面EFOG,PA//平面EFOG,即PA//平面EFG．方法二)連AC,BD交于O點(diǎn),連GO,FO,EO．∵E,F分別為PC,PD的中點(diǎn),∴//,同理//又//AB,//平面EFG//平面PAB,又PA平面PAB,平面EFG．方法三)如圖以D為原點(diǎn),以為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系．則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為:設(shè)平面EFG的法向量為?。?又平面EFG．AP//平面EFG．(Ⅱ)由底面ABCD是正方形,又∵面ABCD又平面PCD,向量是平面PCD的一個法向量,=又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為結(jié)合圖知二面角的平面角為熱點(diǎn)五線線角線面角面面角例5正四棱錐中，側(cè)棱與底面所成角的正切值為。〔1〕求側(cè)面與底面所成二面角的大小；〔2〕假設(shè)E是PB中點(diǎn)，求異面直線PD與AE所成角的正切值；〔3〕在側(cè)面上尋找一點(diǎn)F，使得EF側(cè)面PBC。試確定點(diǎn)F的位置，并加以證明?！?〕連交于點(diǎn)，連PO，則PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是與底面所成的角，∴tan∠PAO=。設(shè)AB=1，則PO=AO?tan∠PAO=。設(shè)F為AD中點(diǎn)，連FO、PO，則OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是側(cè)面與底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面與底面所成二面角的大小為〔2〕由〔1〕的作法可知：O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以，?！嗑褪钱惷嬷本€PD與AE所成的角。在Rt中，?！?。由，可知：面。所以，。在Rt中，?！喈惷嬷本€PD與AE所成的角的正切是?！?〕延長交于點(diǎn)，連接。設(shè)為中點(diǎn)，連接?！咚睦忮F為正四棱錐且為中點(diǎn)，所以，為中點(diǎn)，∴，?！??！嗝妗??！?，，∴為正三角形?！?，∴。取AF中點(diǎn)為K，連EK，則由及得四邊形為平行四邊形，所以，?！?。學(xué)生練習(xí)一、選擇題1．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出以下四個命題：①假設(shè)，，則②假設(shè)，，，則③假設(shè)，，則④假設(shè)，，則其中正確命題的序號是()A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④2．假設(shè)長方體的三個面的對角線長分別是，則長方體體對角線長為〔〕A．B．C．D．3．在三棱錐中,底面,則點(diǎn)到平面的距離是()A．B．C．D．4．在正方體中，假設(shè)是的中點(diǎn)，則直線垂直于〔〕A．B．C．D．5．三棱錐的高為，假設(shè)三個側(cè)面兩兩垂直，則為△的〔〕A．內(nèi)心B．外心C．垂心D．重心6．在四面體中，棱的長為，其余各棱長都為，則二面角的余弦值為〔〕A．B．C．D．7．四面體中，各個側(cè)面都是邊長為的正三角形，分別是和的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角等于〔〕A．B．C．D．二、填空題1．點(diǎn)到平面的距離分別為和，則線段的中點(diǎn)到平面的距離為_________________．2．從正方體的八個頂點(diǎn)中任取三個點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，其中直角三角形的個數(shù)為_______。3．一條直線和一個平面所成的角為，則此直線和平面內(nèi)不經(jīng)過斜足的所有直線所成的角中最大的角是____________．

4．正四棱錐〔頂點(diǎn)在底面的射影是底面正方形的中心〕的體積為，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_____。5．在正三棱錐〔頂點(diǎn)在底面的射影是底面正三角形的中心〕中，,過作與分別交于和的截面，則截面的周長的最小值是________三、解答題1．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面ACM；(2)證明：AD⊥平面PAC．2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC與側(cè)面A1ACC1(1)求證：BE＝B1E；(2)假設(shè)AA1＝A1B1，求平面A1EC與平面A1B1C13如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點(diǎn)．(1)求證：AD⊥PC；(2)求三棱錐A－PDE的體積；(3)在AC上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面EDM？假設(shè)存在，求出AM的長；假設(shè)不存在，請說明理由．答案一、選擇題1．A③假設(shè)，，則，而同平行同一個平面的兩條直線有三種位置關(guān)系④假設(shè)，，則，而同垂直于同一個平面的兩個平面也可以相交2．C設(shè)同一頂點(diǎn)的三條棱分別為，則得，則對角線長為3．B作等積變換4．B垂直于在平面上的射影5．C6．C取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，7．C取的中點(diǎn)，則，在△中，，二、填空題1.或分在平面的同側(cè)和異側(cè)兩種情況2.每個外表有個，共個；每個對角面有個，共個3.垂直時最大4.60度5.11沿著將正三棱錐側(cè)面展開，則共線，且三、解答題：略1．證明：(1)連接BD，MO.在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又M為PD的中點(diǎn)，所以PB∥MO.因?yàn)镻B平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因?yàn)椤螦DC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.2[解析](1)取A1C1中點(diǎn)F，作EG⊥面AC1于Geq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(B1F∥EG,B1E∥面AC1?BE∥FG))?B1EGF為平行四邊形?FG⊥A1C1?G為A1C之中點(diǎn)．從而E為BB1之中點(diǎn)．∴BE＝B1E.(2)由(1)知G為矩形ACC1A1的中心，過G作直線平行于A1C1，交AA1于點(diǎn)P，交CC1于Q點(diǎn)，連結(jié)EP，EQ，則平面A1B1C1∥平面PEQ，即求平面AEC∵交線為EG，∴其平面角為∠A1GP，因AA1＝A1B1，則ACC1A1為正方形，則∠A1GP3．(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．又因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AD⊥CD．因?yàn)镻D∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD．又因?yàn)镻C?平面PCD，所以AD⊥PC．(2)解：由(1)知AD⊥平面PCD，所以AD是三棱錐A－PDE的高．因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a