不定方程-利潤率相關(guān)問題 （教師版）

不定方程——利潤率問題

1.一家快餐店銷售A、B、C三種套餐，其中A套餐包含一縈兩素，B套餐包含兩輩一素，C套餐包含兩榮兩素，

每份套餐中一瑩的成本相同，一素的成本也相同，已知一份C套餐的售價是一份A套餐和一份B套餐售價之和的

一，一天下來，店長發(fā)現(xiàn)A套餐和B套餐的銷址相同，且A,B套餐的利潤和是C套餐利潤的兩倍，當天的總利潤率

是60%．第二天店內(nèi)搞活動，C套餐的售價打五折，A,B套餐的售價均不變，當A、B、C三種套餐的銷撇相同

時，總利潤率為.

【答案】28%

【解析】

【分析】

設(shè)榮菜的成本為m元，素菜的成本為n元，榮菜的利潤率為X,素菜的利潤率為y,A套餐和B套餐的數(shù)蜇為a

份，C套餐的數(shù)謚為b份，根據(jù)A,B套餐的利潤和是C套餐利潤的兩倍得到b=－a，再根據(jù)當天的總利潤率是60%

可求得mx+ny=0.6(m+n)，進而求出一份A、B、C的售價，設(shè)A、B、C三種套餐的銷量都為t份，根據(jù)新的售價

列出總利潤率的代數(shù)式，將代數(shù)式化簡即可求得答案

【詳解】

解：設(shè)一份縈菜的成本為m元，一份素菜的成本為n元，一份榮菜的利潤率為X,一份素菜的利潤率為y,A套餐

和B套餐的數(shù)量為a份，C套餐的數(shù)量為b份，

·:A,B套餐的利潤和是C套餐利潤的兩倍，

:.3(mx+ny)?a=2x2(mx+ny)·b,

整理得：b=~a,

？當天的總利潤率是60%,

:.3(mx+ny)·a+2(nu+ny)·b=60%·[3(m+n)葉2(m+n)·b],

整理得n江十ny=0.6(m+n),

:．一份A套餐和一份B套餐售價之和為3m(l+x)+3n(l+y)=3[(m+n)+(mx+ny)]=4.8(m+n)元，

2

？一份C套餐的售價是一份A套餐和一份B套餐售價之和的－，

3

2

:．一份C套餐的售價為－x4.8(m+n)=3.2(m+n)元，

3

7第二天店內(nèi)搞活動，C套餐的售價打五折，A,B套餐的售價均不變，

:．第二天的一份A套餐和一份B套餐售價之和為4.8(m+n)元，一份C套餐的售價為l.6(m+n)元，

·:A、B、C三種套餐的銷量相同，

:．設(shè)A、B、C三種套餐的銷量都為t份，

則總利潤率為：

t·4.8(m+n)+t·1.6(m+n)

-1

3t?(m+n)+21·(m+n)

t-6.4(m+n)

=-l

51-(m+n)

=1.28—l

=0.28

=28%,

故答案為：28%.

【點睛】

本題綜合性較強，考查了營銷問題中的利潤問題，用利潤的基本等量關(guān)系列出關(guān)系式，設(shè)出相應(yīng)的未知數(shù)，根據(jù)

利潤率＝利潤－成本＝售價－成本一1是解決本題的關(guān)鍵．

2.疫情期間，為了降低外出感染風險，各大超市開通了送貨到小區(qū)的便民服務(wù)．某超市推出A、B、C三種蔬菜，

并將A、B、C三種蔬菜搭配、裝袋，采用甲、乙、丙三種袋裝進行銷售．已知每袋的成本分別為袋中A、B、C三

種蔬菜的成本之和，且袋子的成本忽略不計．每袋甲分別裝A、B、C三種蔬菜3斤、1斤、1斤，每袋乙分別裝

A、B、C三種蔬菜1斤、2斤、2斤．每袋甲的總成本是每斤A成本的12倍，每袋甲的利潤率為25%．每袋甲比

每袋乙的售價低25%．每袋丙在成本上提高40％標價后打八折銷售，每袋的獲利為每斤A成本的1.2倍．當銷售

甲、乙、丙三種袋裝蔬菜的數(shù)攬之比為l:2:5時，則銷售的總利潤率為.

【答案】l1%

【解析】

【分析】

分別設(shè)每斤A、B、C三種蔬菜的成本為a、b、C,設(shè)丙每袋成本為m，然后根據(jù)題意將甲、乙、丙三種袋裝的每

袋成本和利潤用a表示出來即可求解．

【詳解】

解：設(shè)每斤A、B、C三種蔬菜的成本分別為a、b、c,依題意得：

3a+b+c=12a,

:.b+c=9a,

:．每袋甲的銷售利潤＝12a?25%=3a,

:．每袋甲的銷售價為：12a+3a=15a,

依題意得，乙種袋裝每袋成本＝a+2b+2c=a+18a=19a,

？每袋甲比每袋乙的售價低25%,

:．乙種袋裝每袋售價＝15a+(1-25%)=20a,

．＼每袋乙的銷售利潤＝20a-19a=a,

設(shè)每袋丙成本為m,依題意得：m0+40%)?0.8-m=l.2a,

解得m=10a.

:．當銷售甲、乙、丙三種袋裝蔬菜的數(shù)量之比為1:2:5時，

總成本為：12a?1+I9a?2+10a?5=IOOa,

總利潤為：3a?l+a?2+1.2a?5=IIa,

Ila

銷售的總利潤率為——X100%=11%,

lOOa

故答案為：11%.

【點睛】

本題主要考查了三元一次方程的實際應(yīng)用，解題時要認真審題，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)

鍵．

3.2021年11月2日，重慶市九龍坡區(qū)、長壽區(qū)分別新增1例新冠本土確診．當疫情出現(xiàn)后，各級政府及有關(guān)部

門高度重視，堅決阻斷疫情傳播．開州區(qū)趙家工業(yè)園區(qū)一家民營公司為了防疫需要，引進一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口

罩，該產(chǎn)品有三種型號，通過市場調(diào)研后，按三種型號受消費者喜愛的程度分別對A型、B型、C型產(chǎn)品在成本的

基礎(chǔ)上分別加價20%,30%,45％出售（三種型號的成本相同）．經(jīng)過一個月的經(jīng)營后，發(fā)現(xiàn)C型產(chǎn)品的銷址占總

銷晝的一，且三種型號的總利潤率為35%．第二個月，公司決定對A型產(chǎn)品進行升級，升級后A型產(chǎn)品的成本提

高了25%，銷謚提高了20%:B型、C型產(chǎn)品的銷謚和成本均不變，且三種產(chǎn)品在第二個月成本基礎(chǔ)上分別加價

20%,30%,50％出售，則第二個月的總利潤率為.

【答案】34%

【解析】

【分析】

由題意得出A型、B型、C型三種型號產(chǎn)品利潤率分別為20%,30%,45%，設(shè)A型、B型、C型三種型號產(chǎn)品原

來的成本為a,A產(chǎn)品原銷量為X,B產(chǎn)品原銷量為y,C產(chǎn)品原銷量為z，由題意列出方程組，解得｛xy=},',第二

y=z

個月A產(chǎn)品成本為(1+25%)a=~a.B、C的成本仍為a,A產(chǎn)品銷蜇為(1+20%)x=-;-x,B產(chǎn)品銷岱為y,C產(chǎn)

品銷記為Z,則可求得第二個月的總利潤率．

【詳解】

解：由題意得：A型、B型、C型三種型號產(chǎn)品利病率分別為20%,30%,45%,

設(shè)A型、B型、C型三種型號產(chǎn)品原來的成本為a,A產(chǎn)品原銷量為x,B產(chǎn)品原銷量為y,C產(chǎn)品原銷扯為z,

20%ax+30%ay+45%az=35°/oa(x+y+z)

{3

由題意得：::-(x+y+z)=z

x=-z

{

解得：y=z

第二個月A產(chǎn)品的成本提高了25%，成本為：(1+25%)a=~a,B、C的成本仍為a,

6

A產(chǎn)品銷量為(1+20%)x=-;-x,B產(chǎn)品銷量為y,C產(chǎn)品銷量為Z,

5

:．第二個季度的總利潤率為：

56

20%x-=:--ax—x+30%ay+45%az

45

56

-:ax-:-x+ay+az

45

0.3x+0.3y+0.45z

=

l.Sx+y+z

1

0.3x-=-z+0.3z+0.45z

3

l.5x~z+z+z

=0.34

=34%.

故答案為：34%.

【點睛】

本題考查了利用三元一次方程組解實際問題，正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)列出方程組是解題的關(guān)鍵．

4.沁園銷售A、B、C三種型號的蛋糕，三月份每個A型蛋糕售價比成本碌10%，每個B型蛋糕售價比成本高

50%，每個C型蛋糕售價是成本的2倍，經(jīng)計算，發(fā)現(xiàn)三月份三種類型的蛋糕總利潤率為25%；四月份B型蛋糕

成本降為三月的80%，但售價仍比四月份成本高50%，結(jié)果銷蜇比三月B型蛋糕少－，而C型蛋糕成本不變，售

8

9

價是三月份售價的—，結(jié)果銷量比三月C型蛋糕多一，若四月份A型蛋糕成本、售價、銷量均與三月份A型蛋糕

lO4

相同，且四月份B、C型號蛋糕總利潤率為60%，則四月份A、C型號蛋糕的總利潤率為．（總利潤率＝總

利潤動總成本）

【答案】16%

【解析】

【分析】

設(shè)三月份A、B、C三種型號的每個蛋糕的成本分別為X,y,Z,則每個A型蛋糕售價為l.lx,每個B型蛋糕售價

為15y，每個C型蛋糕售價為2z;四月份A、B、C三種型號的每個蛋糕的成本分別為x,0.8y,z,A、B、C三種

9

型號的每個蛋糕的售價分別為l.lx,l.5x0.8y,—Z;設(shè)三月份A、B、C三種型號蛋糕的銷量分別為a,b,c,則

10

匹月份A、B、C三種型號蛋糕的銷謚分別為a,(I-::)b,(t+-=:-)c;利用三月份三種類型的蛋糕總利潤率為

25％和四月份B、C型號蛋糕總利潤率為60%，列出方程組，得出關(guān)系式即可得出結(jié)論．

【詳解】

解：設(shè)三月份A、B、C三種型號的每個蛋糕的成本分別為X,y,Z,

則每個A型蛋糕售價為1.lx，每個B型蛋糕售價為l5y，每個C型蛋糕售價為2z;

匹月份A、B、C三種型號的每個蛋糕的成本分別為X,0.8y,Z,

9

A、B、C三種型號的每個蛋糕的售價分別為］lx,J.5x0.8y=l.2y,一x2z;

10

設(shè)三月份A、B、C三種型號蛋糕的銷量分別為a,b,c,

則四月份A、B、C三種型號蛋糕的銷雖分別為a,(1-.:::.)b=-b,(l+-)c=-c;

88.44

？三月份三種類型的蛋糕總利潤率為25%，四月份B、C型號蛋糕總利潤率為60%,

a(l.lx-x)+b(l.Sy-y)+c(2z-z)

=25%

ax+by+cz

5(9

:.?~%b(l.2y-0.8y)+?c［而x2z-z)

=60%

5.5

0.8yx~b+zx—C

84

整理得：{0.6ax=by+3cz

by=5cz

40

:.ax=—CZ.

叩lx-x)+?c(~z45-z)0.l釭＋CZ。lx墮cz+cz

:．四月份A、C型號蛋糕的總利潤率為：=16%

5405

ax+zg-;--cax+—CZ—CZ+—CZ

34

故答案為：16%.

【點睛】

本題主要考查了三元一次方程組的使用，解題的關(guān)鍵在千能夠準確找到等岱關(guān)系列出方程求解．

5.重陽佳節(jié)來臨之際，某糕點店對桂圓味、核桃味、綠豆味重陽糕（分別記為A,B,C)進行混裝，推出了甲乙

兩種盒裝重陽糕．盒裝重陽糕的成本是盒中所有A,B,C的成本與盒裝包裝成本之和．每盒甲裝有6個A,2個

B,2個C,每盒乙裝有2個A,4個B,4個C.每盒甲中所有A,B,C的成本之和是1個A成本的l5倍，每盒

乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的－倍，每盒乙的利潤率為20%．每盒乙的售價比每盒甲的售價高

20%．當該店銷售這兩種盒裝重陽糕的總銷售額為31000元，總利潤率為24％時，銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤

是＿元．

【答案】2500.

【解析】

【分析】

設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，C的單價為z元，求出乙每盒的重陽糕的成本是甲每盒的重陽糕的成本的

4

一，設(shè)甲每盒的成本為m,則乙每盒的成本為－m,當銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤率為24％時，該店銷售甲

的銷售量為a盒，乙的銷售量為b盒，根據(jù)題意列出方程，即可得出結(jié)果．

【詳解】

解：設(shè)A的單價為x元，B的單價為y元，C的單價為z元，當銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤率為24％時，該

店銷售甲的銷售量為a盒，乙的銷售量為b盒，

甲每盒裝的重陽糕的成本是：15x=6x+2y+2z,

化簡得y+z=4.5x,

乙每盒裝的重陽糕的成本是：2x+4y+4z=2.x+4(y+z)=2x+4X4.5x=20x,

20x4

=-

15x3

:．乙每盒的重陽糕的成本是甲每盒的重陽糕的成本的－，

？每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的－倍，

4

:．乙每盒的成本是甲每盒的成本的－，

設(shè)甲每盒的成本為m,則乙每盒的成本為－m,

4

乙每盒的售價為：-m(1+20%)=1.6m,

？每盒乙的售價比每盒甲的售價高20%,

l.6m4

:．甲每盒的售價為：=—,n,

1+20%3

根據(jù)甲乙的利潤得：

(—m-m)a+0.6m-—m)b=(ma+—mb)X24%,

化簡得0.28ma=0.16mb,

:.b=..:...a,

·:..:..ma+l.6mb=31000,

4

:...:..ma+1.6mX..:...a=31000,

解得：ma=7500,

:．銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤是：一皿i-ma=7ma=7X7500=2500（元），

故答案為：2500.

【點睛】

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識；由題意列出方程是解題的關(guān)鍵．

6.某食品公司為迎接端午節(jié)，特別推出三種新品粽子，分別是鮑魚粽、水果粽、香茅粽，并包裝成甲、乙兩種盒

裝禮盒．每盒禮盒的總成本是盒中鮑魚粽、水果粽、香宇粽三種粽子的成本之和（盒子成本忽略不計）．甲禮盒每

盒裝有3個鮑魚粽、2個水果粽和2個香蘋粽；乙禮盒每盒裝有1個鮑魚粽、4個水果粽和4個香蘋粽．每盒甲禮盒

11

的成本正好是1個鮑魚粽成本的—倍，而每盒甲禮盒的售價是在甲禮盒成本的基礎(chǔ)上增加了—．每盒乙禮盒的利

11

潤率為20%．當該公司銷售這兩種盒裝禮盒的總利潤為24%，且銷售甲禮盒的總利潤是4500元時，這兩種禮盒的

總銷售額是元．

【答案】37200

【解析】

【分析】

設(shè)設(shè)1個鮑魚粽的成本為a元