橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算

橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算及應(yīng)用昭通市巧家縣第一中學(xué)侯成順云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院朱維宗(教授)摘要：本文通過類比圓錐曲線內(nèi)接焦點三角形面積的計算,利用代數(shù)方法來探討橢圓內(nèi)接四邊形面積的計算,主要討論了兩種橢圓內(nèi)接四邊形的面積計算,一種是橢圓內(nèi)接焦點四邊形,另外一種是橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形.關(guān)鍵詞：橢圓；焦點；面積1.橢圓內(nèi)接焦點四邊形(過一個焦點,以右焦點為例)x2y21.1定義：在橢圓一+1=1(a>b>0)中,AB,CD為過橢圓一個焦點的兩條弦，故四邊形a2b2ACBD為橢圓內(nèi)接焦點四邊形.1.2性質(zhì)ACBD為橢圓內(nèi)接焦點四邊形.1.2性質(zhì)：(1)四邊形ACBD的面積SACBD=2a2b4sin9其中X=(k2+1)(kX=(k2+1)(k2+1),X=(a2k2+b2)(a2k2+b2)).112212證明：如右圖所示，有F(c,0)，并且設(shè)AB,2CD的斜率分別為ki,k2，故有:AB:y=竹-c) CD：22聯(lián)立方程x2 y2y=k(x—c)及+—=1(a>b>0)1 a2b22a2k2cnx+x= 1——1 2 a2k2+b21胡=2a-e(分x2)=誥錯1同理有：CD=2胡=2a-e(分x2)=誥錯1同理有：CD=2ab叫+1)(a2k2+b2)

21故二SACBD=2ABICDIsin9=2"2加(k]2+1)(k22+1)sin9 (0為AB與CD的夾角)，(a2k2+b2)(a2k2+b2)12令X=(k2+1)(k2+1),X=(a2k2+b2)(a2k2+b2)就有：11221SACBD⑵推論A:當k.k=—1時,.S122a2b4〉8a2b4AcBDt c4 (a2+b2)2a2b2+ —v 72+k2+丄1k21b：當k+k=0時，s=2,j4(k節(jié)[)2，并且有k +k=0,k+k1 2 ACBD (a2k2+b2)2 ACBD ADBC=0.推論證明A：當仁=—1時,說明AB,CD相互垂直,有sin9=sin=1,k2=1T~2,代入面積 公 式 就 有 SACBD2a2b4再利用均值不等式有SACBD2a積 公 式 就 有 SACBD2a2b4再利用均值不等式有SACBD2a2b4k21當k+k=0時,12a2b2— —2+k2+丄1k21〉8a2b4(a2—b2)2有k12二佇，代入就有SACBD2a2b4(k2+1)2=(a2k2—b2)2成立-以下證明k+k=0,k+kACBD ADBC證明：不妨把橢圓的方程化為ax2+Py2二1（a與0不同是為零），已知有AB,CD與x軸的夾角相等，設(shè)A、B、C、D四個點的坐標為A"人）,Bq，打，CL叮，D（xry4）?直線a(x+x)i<,同理可得卩(y+y)13AB、DC、AC、BD的斜率分別為kAB,kDC，kAC，kBD?又點A、a(x+x)i<,同理可得卩(y+y)13（1）及笨2+PyJ=1（2）,用（2）帶入（1）有kACa(x+x)k—— 2 4 .BD 0(y+y)24已知有AB,CD與x軸的夾角相等「IkAc=—k,k+k=已知有AB,CD與x軸的夾角相等「IkAc=—k,k+k=0BDACBD.y一y丄y一y+ 3+2 4—0(3)及x—xx—x1 3 2 4y+y1 3x+x13y+y+厶4—0（4）由這兩個式子得:x+x24(xy+xy+xy+xy)—(xy+xy+xy+xy)=012 21 34 43 14 23 32 415）(xy+xy+xy+xy)+(xy+xy+xy+xy)=012 21 34 43由(5)及(6)得到：14xy+xy+xy+xy=0122134437）=0a(x+x)同理有：k=—— <AB0(y+y)12kDCa(x+x)3 4—卩(y+y)34..k+k —~2 —+~4 3ABDCx—xx—x2 1 4 3(x—x)(x—x)2 1 4 3[(xy+xy+xy+xy)一(xy+xy+xy+xy)]1324314214233241將（8）代入有：9）TOC\o"1-5"\h\z(xy+xy+xy+xy)k+k= -^-3 24 ^-1 42—將（8）代入有：9）ABDC (x-x)(y-y)2 1 4 3, , azx+x x+x、又k+k=-(t 2+3 4) 再將(8)代入得到:ABDC卩y+yy+y12 3 4k+kABDCa(xy+xy+xy+xy)^-3 24 3-1 42—卩k+kABDCa(xy+xy+xy+xy)^-3 24 3-1 42—卩(y+y)(y+y)1 2 3 410)用（9）-（10）得到:(x-y3+x2y4+x3叮x4y2)[(x-x)(x-x)2 1 4 3a1卩(y+y)(y+y)1 2 3 41a1右 + =o(x-x)(x-x)卩(y+y)(y+y)2 1 4 3 1 2 3 4故有:yy+yy=0 結(jié)合平行截割線定理有：ab與dc平行,并且都平行于x軸，它與14 23AB,AC,DC,DB的斜率不為零矛盾,xy+xy+xy+xy=0 /.k+k=013 24 31 42 ABDC說明直線AB,DC與x軸的夾角相等.同理可證明AD,BC與x軸的夾角也相等，有k+k=0,k+k=0.ACBDADBC1.3實例應(yīng)用x2 y2 2已知橢圓—+—=l（a>b>0）的離心率為丁，過右焦點F的直線L與曲線相交于A、Ba2b2 3兩點.當L的斜率為1時,C（0,b）到AB的距離為2邁,延長CF交橢圓于點B,求ACBD的面積.解：由于e=-=2并且k=1、F(c,0)故AB的方程為：y=x-c又C(0,b)a3ABb+c■所以C到AB的距離為d=兀=2^2.b+c=4,.c=2,b=2,a=3故橢圓的標準方x2y2程為：W+~~=1又k=1,k=-1 .°.ZAFC=90即AB與CD垂直,代入公式有:94ABCDSACBD2a2b4139c4a2b2+ —2+k2+11k212橢圓內(nèi)接焦點四邊形(過兩個焦點)x2y22.1定義：在橢圓一+》=1(a>b>0)中,AB,CD為過橢圓右左兩焦點的弦,并且交橢圓于a2b2四點A、B、C、D.則有四邊形ACBD為過橢圓兩個焦點的內(nèi)接焦點四邊形.2.2性質(zhì)(1)SACBD2a3b2九+2SACBD2a3b2九+2a2b4 + sin0[九-k2(a2+c2)(k2+c),九-(a2k2+b2)(a2k2+b2)]九 1 2證明：如右圖所示，有Fi(-c,0),F2(c'O)，并且設(shè)AB,CD的斜率分別為ki,k2，故有AB：y二k(x—c)cd： y二k(x+c).12212xx2x2y2聯(lián)立方程：y=卩-c)及-+厲=1(a>b>0)2a2k2cnx+x= 1——1 2 a2k2+b21|AB|二|AB|二2a—e(x+x)二2ab2(k2+1)(a2k2+b2)1同理有：(同理有：(a2k2+b2)22ak2(a2+c2)+2ab2CD=2_ABAB與CD的夾1.SACBD=2AB Sin°=2a3b2九+2a2b4角)[九=k2(a2+c2)(k2+c),九=(a2k2+b2)(a2k2+b2)].121212+c)+2a2b42a3b2k2(a2+c)+2a2b4⑵推論A：當仁=-⑵推論A：當仁=-1時，SACBD (a2k2+b2)(a2 sin0 (9為+b2 sin0 (9為1 k21B:k+kB:k+k二0時，S12ACBD2a3b2k2(a2+c2)(k2+c)+2a2b41 1 sin0 ,并且有(a2k2+b2)2 ，1kkA2.3實例應(yīng)用二0,k+k二0.BDADBCx2 y2設(shè)橢圓一+1=1(a>b>0)的左右焦點分別為F(-1,0),F2(1,0).右準線交x軸a2 b2 1 2

于點A,Apf=2AF_?過F,F分別作兩條直線與橢圓相交于四個點D、E、M、N.并且DE1212兀 1與x軸的夾角為—.MN與直線L交于點G,并且有|AG|=2AF|.求：(1)橢圓的標準方程.⑵四邊形DMEN的面積.a2解：(1)由于F(-1,0),???c二1.又有A( ,0),F2(1,0)1 c2故有：|af|故有：|af|=~2-1同理=-2+1?a+1=2(生一1)na=3,b2=2所以橢圓x2y2的標準方程為：+~2=1(2)由于已知了DE與x軸的夾角所以有k(2)由于已知了DE與x軸的夾角所以有kMN兀4_1--,故設(shè)AN與DE的夾角為9,???tan9=32.32c 48(72+V6)代入公式有：SdmeN553橢圓內(nèi)接以焦點為頂點的四邊形x2y23.1定義在橢圓-+-=1(a>b>0)中，F(xiàn)F2為其左右焦點‘A、B為橢圓上任意的兩點.則四邊形￥bF2稱為雙曲線以焦點為頂點的內(nèi)接四邊形3.2性質(zhì)(1)面積3.2性質(zhì)(1)面積四邊形的面積為SAF1BF2二b2(tan|+tan與證明：由橢圓的定義可知道：|AF+|A￡|=2a(1)由余弦定理有:|AF|2+|AF|2-21AF||AFIcosa=4c2(2)由(1)與(2)?S=—|AFIAFIsina=b2tanaAF1F22122同理有：S=b2tan?S =b2(tana+tan卩)BF1F2 2 AF1BF2 22(a為年與aF2的夾角；0為BF1與HF?的夾角).

c a a(2)推論：當a與P互為補角時，有：S 二b2(tan+tan-i)>2b2.AF1BF2 2 2a+P兀證明：當a與P互為補角時,a+卩二兀n產(chǎn)二-,所以有：tani=tan(2cot=a=tan-tani=tan(22a2TOC\o"1-5"\h\zc a a、… c兀S =b2(tan+tan-i)>2b2，(當a=P=時取到“二”).AFiBF2 2 2 23.3實例應(yīng)用x2 y2已知F,f2為橢圓77+P=1的兩個焦點,A、B為橢圓上任意的兩個焦點，并且ZA與26425上B為補角，求：25當S二 3時，求S 的值.aff2 3 AFB2AFBF當S 取得最小值時，ZA與ZB的度數(shù)分別為多少？此時面積的最小值為多少？AFBFAFF 2 2 3所以有：SAFBF解:(1)由已知a=8,b=5，又S 二b2tan孚二25tan竽AFF 2 2 3所以有：SAFBF(2)由推論可以知道:S =2b2=50nZA=ZB(2)由推論可以知道:AF1BF2(min) 2參考