《向量的減法和向量的數(shù)乘》示范公開課教學(xué)設(shè)計(jì)【高中數(shù)學(xué)人教】

《向量的減法、向量的數(shù)乘》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1．掌握向量減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義，理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量相減的意義，提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)．2．能將向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算，提升直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)．3．通過實(shí)例分析，掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義，提升學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng)．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解數(shù)乘向量的概念，并理解這種運(yùn)算的意義．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量減法法則及向量數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用．課前準(zhǔn)備課前準(zhǔn)備PPT課件．教學(xué)過程教學(xué)過程一、整體概覽問題1：閱讀課本，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對(duì)象在高中的地位是怎樣的？師生活動(dòng)：學(xué)生帶著問題閱讀課本，老師指導(dǎo)學(xué)生概括總結(jié)章引言的內(nèi)容．預(yù)設(shè)的答案：（1）主要研究向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算（2）通過前面的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了向量，本節(jié)延續(xù)上一節(jié)的學(xué)習(xí)要求，開始向量的減法運(yùn)算，數(shù)乘運(yùn)算．理清楚本節(jié)和上節(jié)的關(guān)系，為后面后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊．設(shè)計(jì)意圖：通過章引言內(nèi)容的預(yù)習(xí)，讓學(xué)生明晰下一階段的學(xué)習(xí)目標(biāo)，初步搭建學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架．二、探索新知1、形成定義問題2：已知向量是向量與向量的和，如圖所示，你能作出表示向量的有向線段嗎？師生活動(dòng)：提示學(xué)生利用向量加法的三角形法則．預(yù)設(shè)的答案：由向量加法的三角形法則可知，向量實(shí)際上就是向量．設(shè)計(jì)意圖：通過向量加法的三角形法則，引出向量的減法實(shí)際上就是向量加法的逆運(yùn)算，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力．引語：而本節(jié)要講的內(nèi)容即額為向量的減法和向量的數(shù)乘．（板書：向量的減法和向量的數(shù)乘）教師講解：一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量，如果向量能夠滿足＝，則稱為向量的差，并記作＝不難看出，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，作出向量，注意到，因此向量就是向量的差（也稱為向量的差向量），即，當(dāng)不共線時(shí)，求的差可用圖6－1－17表示，此時(shí)向量正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量減法的三角形法則．給定一個(gè)向量，我們把與這個(gè)向量方向相反、大小相等的向量稱為它的相反向量，向量的相反向量記作－．因此，的相反向量是－，而且－＝．因?yàn)榱阆蛄康氖键c(diǎn)與終點(diǎn)相同，所以注意：（1）任何一個(gè)向量與它的相反向量的和都等于零向量．即（2）一個(gè)向量減去另一個(gè)向量，等于第一個(gè)向量加上第二個(gè)向量的相反向量．初步應(yīng)用例1已知平行四邊形ABCD中，，，用分別表示向量師生活動(dòng)：教師提示運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，學(xué)生觀根據(jù)提示自己解決問題．預(yù)設(shè)的答案：由向量加法的平行四邊形可知，，由減法的定義可知．設(shè)計(jì)意圖：給出兩個(gè)向量的和向量與差向量的關(guān)系，這一結(jié)論經(jīng)常用到，學(xué)生應(yīng)特別注意．例2已知求的取值范圍．師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生用幾何直觀進(jìn)行解釋，也可借助軟件制作動(dòng)畫，展示整個(gè)變化過程，教師給出答案．預(yù)設(shè)的答案：當(dāng)不共線時(shí)，由向量減法的三角形法則可知正好是一個(gè)三角形的三條邊，從而，因此，當(dāng)共線時(shí)，不難看出：如果方向相同，有，如果方向相反，有，綜上有設(shè)計(jì)意圖：揭示問題本質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．問題3：結(jié)果是向量嗎？如果是，那么結(jié)果向量的模是多少？方向如何？與向量的模及方向有什么關(guān)系？可否類比實(shí)數(shù)乘法的定義方法（5＋5＋5可以表示為3×5），把進(jìn)行簡(jiǎn)寫？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生給出問題答案，并自行定義歸納出數(shù)乘向量的定義．預(yù)設(shè)的答案：我們已經(jīng)知道，多個(gè)向量相加，結(jié)果是一個(gè)向量．特別地，給定一個(gè)向量，3個(gè)相加的結(jié)果，是一個(gè)模為3||、方向與相同的向量，通常這個(gè)向量簡(jiǎn)單記作3．設(shè)計(jì)意圖：揭示問題本質(zhì)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．問題4：你能根據(jù)上述實(shí)例，給出實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)向量的乘積λ的定義嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生自行思考并給出答案，教師給出正確答案．預(yù)設(shè)的答案：一般地，給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)向量，規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量，記作，其中（1）當(dāng)λ≠0且≠0時(shí)，A的模為λ||，而且λ的方向如下：①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反（2）當(dāng)λ＝0或＝0時(shí)，λ＝0設(shè)計(jì)意圖：通過上述問題的討論，滲透類比、分類討論以及數(shù)形結(jié)合的思想，加深學(xué)生對(duì)數(shù)乘向量的理解與認(rèn)識(shí)．教師講解：上述實(shí)數(shù)λ與向量相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量．由定義不難看出，數(shù)乘向量的結(jié)果是一個(gè)向量，而且這個(gè)向量與原來的向量共線（平行），即λ∥；數(shù)乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小，特別地，一個(gè)向量的相反向量可以看成－1與這個(gè)向量的乘積，即－＝（－1）．當(dāng)設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則①（λ＋μ）a＝λa＋μa；②λ（μa）＝（λμ）a；③λ（a＋b）＝λa＋λb．?dāng)?shù)乘向量的定義說明，如果存在實(shí)數(shù)λ，使得則．例3已知其中為非零向量，判斷是否平行，并求的值．師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：由得，代入得，因此，且＝3∶2設(shè)計(jì)意圖：判斷兩個(gè)向量是否平行，可以考慮其中一個(gè)向量是否可以寫成另一個(gè)向量與數(shù)的乘積．例4已知判斷A，B，C是否共線，如果共線，求出AB∶AC．師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：由已知得因此A，B，C三點(diǎn)共線，且AC＝5AB，即AB∶AC＝1∶5設(shè)計(jì)意圖：利用數(shù)乘的方法給出了判斷三個(gè)不同的點(diǎn)是否共線的方法．鞏固練習(xí)1．下列各式中不表示向量的是（）A．0·a B．a(chǎn)＋3bC．|3a| D．eq\f(1,x－y)e（x，y∈R，且x≠y）師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：C[向量的數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果仍為向量，顯然只有|3a|不是向量．]2．4（a－b）－3（a＋b）－b等于（）A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn)C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b師生活動(dòng)：學(xué)生自行解答，由老師指定學(xué)生回答．預(yù)設(shè)的答案：D[4（a－b）－3（a＋b）－b＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．]設(shè)計(jì)意圖：通過鞏固訓(xùn)練的設(shè)置，加深概念的理解和應(yīng)用．四、歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題5：（1）向量減法的三角形法則是什么？（2）什么是數(shù)乘向量？師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試總結(jié)，老師適當(dāng)補(bǔ)充．預(yù)設(shè)的答案：（1）一般地，平面上任意給定兩個(gè)向量，如果向量能夠滿足＝，則稱為向量的差，并記作＝不難看出，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作，作出向量，注意到，因此向量就是向量的差（也稱為向量的差向量），即，當(dāng)不共線時(shí)，求的差可用圖6－1－17表示，此時(shí)向量正好能構(gòu)成一個(gè)三角形，因此上述求兩向量差的作圖方法也常稱為向量減法的三角形法則．（2）一般地，給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與任意一個(gè)向量，規(guī)定它們的乘積是一個(gè)向量，記作，其中（1）當(dāng)λ≠0且≠0時(shí)，A的模為λ||，而且λ的方向如下：①當(dāng)λ＞0時(shí)，與的方向相同②當(dāng)λ＜0時(shí)，與的方向相反（2）當(dāng)λ＝0或＝0時(shí)，λ＝0實(shí)數(shù)λ與向量相乘的運(yùn)算簡(jiǎn)稱為數(shù)乘向量設(shè)計(jì)意圖：通過梳理本節(jié)課的內(nèi)容，能讓學(xué)生更加明確向量減法和數(shù)乘向量的概念的有關(guān)知識(shí)．五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．若兩個(gè)非零向量a與（2x－1）a方向相同，則x的取值范圍為________．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)向量的運(yùn)算的混合運(yùn)算能力．2．O為平行四邊形ABCD的中心，eq\o(AB,\s\up8(→))＝4e1，eq\o(BC,\s\up8(→))＝6e2，則3e2－2e1＝________．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)數(shù)乘向量的簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．若平面內(nèi)不共線的四點(diǎn)O，A，B，C滿足eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，則eq\f(|\o(AB,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)＝________．設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生對(duì)混合運(yùn)算的應(yīng)用．參考答案：1．x＞eq\f(1,2)解析：由定義可知，2x－1＞0，即x＞eq\f(1,2)．2．eq\o(OD,\s\up8(→))（或eq\o(BO,\s\up8(→))）解析：設(shè)點(diǎn)E為平行四邊形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AB邊中點(diǎn)，則3e2－2e1＝eq\o(BE,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\o(OD,\s\up8(→))．3．2解析：因?yàn)閑q\o(OB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，所以eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))，即eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o