極限的發(fā)展史

極限的發(fā)展史1.數(shù)學(xué)極限的起源與發(fā)展歷史高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，分別定義如下。首先介紹劉徽的"割圓術(shù)"，設(shè)有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算其面積。為此，他先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，內(nèi)接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數(shù)加倍，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，An無(wú)限接近于圓面積，他計(jì)算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+1<A<An+2[(An+1)-An](n=1,2,3。.)得到圓周率=3927/1250約等于3.14159265。數(shù)列極限：定義：設(shè)是一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限接近（或趨近）于a，則稱數(shù)列收斂，a稱為的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記為liman=a?；颍篴n→a，當(dāng)n→∞。函數(shù)極限：設(shè)f為定義在[a，+∞）上的函數(shù)，A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0，存在正數(shù)M(>=a)，使得當(dāng)x>M時(shí)有：|f(x)-A|<；ε。則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限，記作limf(x)=A或f(x)->A(x->；+∞)有關(guān)公式lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在時(shí)才成立========================================================================舉兩個(gè)例子說(shuō)明一下一、0.999999……=1?誰(shuí)都知道1/3=0.333333……，而兩邊同時(shí)乘以3就得到1=0.999999……，可就是看著別扭，因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)“有限”的數(shù)，右邊是“無(wú)限”的數(shù)。二、“無(wú)理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號(hào)2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個(gè)整數(shù)比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計(jì)算之后才能確定，且無(wú)窮無(wú)盡，這種沒(méi)完沒(méi)了的數(shù)，大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來(lái)界定和研究這種“沒(méi)完沒(méi)了”的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中（實(shí)際上，從科學(xué)發(fā)展的歷程來(lái)看，物理可能才是真正的發(fā)展動(dòng)力），比如瞬時(shí)速度的問(wèn)題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當(dāng)時(shí)是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，這對(duì)我們今天中學(xué)教師界而言，不能不說(shuō)是意味深長(zhǎng)的。最后再嘮叨一句，所謂“定義”極限，本質(zhì)上就是給“無(wú)限接近”提供一個(gè)合乎邏輯的判定方法，和一個(gè)規(guī)范的描述格式。這樣，我們的各種說(shuō)法，諸如“我們可以根據(jù)需要寫出根號(hào)2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)之上的意義。（此前，它們更多的只是被人“本能的”承認(rèn)而已。）。公元前770——前221年，在《莊子》“天下篇”中記錄：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。這句話的意思是：有一根一尺長(zhǎng)的木棍，如果一個(gè)人每天取它剩下的一半，那么他永遠(yuǎn)也取不完。莊子這句話充分體現(xiàn)出了古人對(duì)極限的一種思考，也形象的描述出了“無(wú)窮小量”的實(shí)際范例。迄今為止，微積分中也常常用這個(gè)例子來(lái)進(jìn)行教學(xué)的導(dǎo)入。公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家安提豐（antiphon，約公元前430年）提出了“窮截法”，即在求解圓面積時(shí)提出用成倍擴(kuò)大圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)，通過(guò)求正多邊形的面積來(lái)近似代替圓的面積。但安提豐的做法卻讓許多的希臘數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了“有關(guān)無(wú)限的困惑”，因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)誰(shuí)也不能保證無(wú)限擴(kuò)大的正多邊形能與圓周重合。通過(guò)多邊形邊數(shù)的加倍來(lái)產(chǎn)生無(wú)限接近的過(guò)程，從而出現(xiàn)“差”被“窮竭”的說(shuō)法雖然不合適，但在現(xiàn)在看來(lái)，這個(gè)所謂的“差”卻構(gòu)造出了一個(gè)“無(wú)窮小量”，因此也被認(rèn)為是人類最早使用極限思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法。在中國(guó)公元3世紀(jì)，劉徽（約225——295）在《九章算術(shù)注》中創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。用現(xiàn)代的語(yǔ)言來(lái)描述他的方法即是：假設(shè)一個(gè)圓的半徑為一尺，在圓中內(nèi)接一個(gè)正六邊形，在此后每次將正多邊形的邊數(shù)增加一倍，從而用勾股定理算出內(nèi)接的正十二邊、二十四邊、四十八邊等多邊形的面積。這樣就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象，當(dāng)邊數(shù)越多時(shí)，這個(gè)多邊形的面積就越與圓面積接近。劉徽運(yùn)用這個(gè)相當(dāng)于極限的思想求出了圓周率，并且由于與現(xiàn)在的極限理論的思想很接近，從而他也被譽(yù)為在中國(guó)史上第一個(gè)將極限思想用于數(shù)學(xué)計(jì)算的的人。為了擺脫極限定義的幾何直觀思維方法，19世紀(jì)后半期，德國(guó)的維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）研究出了一個(gè)純算術(shù)的極限定義。維爾斯特拉斯用實(shí)數(shù)描述出了極限定義。3.數(shù)學(xué)極限的起源與發(fā)展歷史高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，分別定義如下。首先介紹劉徽的"割圓術(shù)"，設(shè)有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算其面積。為此，他先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，內(nèi)接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數(shù)加倍，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，An無(wú)限接近于圓面積，他計(jì)算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+10，存在正數(shù)M(>=a)，使得當(dāng)x>M時(shí)有：|f(x)-A|A(x->+∞)有關(guān)公式lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)limg(x)不等于0lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在時(shí)才成立========================================================================舉兩個(gè)例子說(shuō)明一下一、0.999999……=1？誰(shuí)都知道1/3=0.333333……，而兩邊同時(shí)乘以3就得到1=0.999999……，可就是看著別扭，因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)“有限”的數(shù)，右邊是“無(wú)限”的數(shù)。二、“無(wú)理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號(hào)2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個(gè)整數(shù)比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計(jì)算之后才能確定，且無(wú)窮無(wú)盡，這種沒(méi)完沒(méi)了的數(shù)，大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來(lái)界定和研究這種“沒(méi)完沒(méi)了”的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中（實(shí)際上，從科學(xué)發(fā)展的歷程來(lái)看，物理可能才是真正的發(fā)展動(dòng)力），比如瞬時(shí)速度的問(wèn)題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當(dāng)時(shí)是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，這對(duì)我們今天中學(xué)教師界而言，不能不說(shuō)是意味深長(zhǎng)的。最后再嘮叨一句，所謂“定義”極限，本質(zhì)上就是給“無(wú)限接近”提供一個(gè)合乎邏輯的判定方法，和一個(gè)規(guī)范的描述格式。這樣，我們的各種說(shuō)法，諸如“我們可以根據(jù)需要寫出根號(hào)2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)之上的意義。（此前，它們更多的只是被人“本能的”承認(rèn)而已。）。4.極限概念的產(chǎn)生及發(fā)展極限在高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，分別定義如下。首先介紹劉徽的"割圓術(shù)"，設(shè)有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算其面積。為此，他先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，內(nèi)接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數(shù)加倍，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，An無(wú)限接近于圓面積，他計(jì)算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+1極限的性質(zhì)：1.唯一性：若數(shù)列的極限存在，則極限值是唯一的；2.改變數(shù)列的有限項(xiàng)，不改變數(shù)列的極限。幾個(gè)常用數(shù)列的極限：an=c常數(shù)列極限為can=1/n極限為0an=x^n絕對(duì)值x小于1極限為0函數(shù)極限的專業(yè)定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x。|時(shí)的極限。函數(shù)極限的通俗定義：1、設(shè)函數(shù)y=f(x)在（a，+∽）內(nèi)有定義，如果當(dāng)x→+∽時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x趨于+∽時(shí)函數(shù)f(x)的極限。記作limf(x)=A,x→+∽。2、設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)a左右近旁都有定義，當(dāng)x無(wú)限趨近a時(shí)（記作x→a），函數(shù)值無(wú)限接近一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為當(dāng)x無(wú)限趨近a時(shí)函數(shù)f(x)的極限。記作limf(x)=A,x→a。函數(shù)的左右極限：1：如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0的左側(cè)（即x〈x0）無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a，就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左極限，記作x→x0-limf(x)=a.2：如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x0右側(cè)（即x>x0）無(wú)限趨近于點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a，就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.函數(shù)極限的性質(zhì)：極限的運(yùn)算法則（或稱有關(guān)公式）：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)不等于0)lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在時(shí)才成立lim(1+1/x)^x=ex→∞lim(1+1/x)^x=ex→0無(wú)窮大與無(wú)窮?。簝蓚€(gè)重要極限：1、limsin(x)/x=1,x→02、lim(1+1/x)^x=e,x→0(e≈2.7182818。無(wú)理數(shù))========================================================================舉兩個(gè)例子說(shuō)明一下一、0.999999……=1？誰(shuí)都知道1/3=0.333333……，而兩邊同時(shí)乘以3就得到1=0.999999……，可就是看著別扭，因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)“有限”的數(shù)，右邊是“無(wú)限”的數(shù)。二、“無(wú)理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號(hào)2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個(gè)整數(shù)比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計(jì)算之后才能確定，且無(wú)窮無(wú)盡，這種沒(méi)完沒(méi)了的數(shù)，大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來(lái)界定和研究這種“沒(méi)完沒(méi)了”的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中（實(shí)際上，從科學(xué)發(fā)展的歷程來(lái)看，哲學(xué)才是真正的發(fā)展動(dòng)力，但物理起到了無(wú)比推動(dòng)作用），比如瞬時(shí)速度的問(wèn)題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)切線斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當(dāng)時(shí)是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，這對(duì)我們今天中學(xué)教師界而言，不能不說(shuō)是意味深長(zhǎng)的。幾個(gè)常用數(shù)列的極限an=c常數(shù)列極限為can=1/n極限為0an=x^n絕對(duì)值x小于1極限為0/view/17644.。5.有哪位大俠知道數(shù)學(xué)中極限的具體發(fā)展史以及極限的重要作用真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當(dāng)時(shí)是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師.所謂“定義”極限，本質(zhì)上就是給“無(wú)限接近”提供一個(gè)合乎邏輯的判定方法，和一個(gè)規(guī)范的描述格式。這樣，我們的各種說(shuō)法，諸如“我們可以根據(jù)需要寫出根號(hào)2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在堅(jiān)實(shí)的邏輯基礎(chǔ)之上的意義。舉兩個(gè)例子說(shuō)明一下一、0.999999……=1?誰(shuí)都知道1/3=0.333333……，而兩邊同時(shí)乘以3就得到1=0.999999……，可就是看著別扭，因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)“有限”的數(shù)，右邊是“無(wú)限”的數(shù)。二、“無(wú)理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號(hào)2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個(gè)整數(shù)比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計(jì)算之后才能確定，且無(wú)窮無(wú)盡，這種沒(méi)完沒(méi)了的數(shù)，大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來(lái)界定和研究這種“沒(méi)完沒(méi)了”的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中（實(shí)際上，從科學(xué)發(fā)展的歷程來(lái)看，物理可能才是真正的發(fā)展動(dòng)力），比如瞬時(shí)速度的問(wèn)題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。6.極限運(yùn)動(dòng)的歷史極限運(yùn)動(dòng)是指人類在與自然的融合過(guò)程中，借助于現(xiàn)代高科技手段，最大限度地發(fā)揮自我身心潛能，向自身挑戰(zhàn)的娛樂(lè)體育運(yùn)動(dòng)。它除了追求競(jìng)技體育超越自我身理極限“更高、更快、更強(qiáng)”的精神外，更強(qiáng)調(diào)參與和勇敢精神，追求在跨越心理障礙時(shí)所獲得的愉悅感和成就感，同時(shí)，它還體現(xiàn)了人類返璞歸真、回歸自然、保護(hù)環(huán)境的美好愿望，因此已被世界各國(guó)譽(yù)為“未來(lái)體育運(yùn)動(dòng)”。極限運(yùn)動(dòng)的項(xiàng)目許多都是近幾十年剛誕生的、方興未艾的體育項(xiàng)目，根據(jù)季節(jié)可分為夏季和冬季兩大類，運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域涉及“海、陸、空”多維空間。夏季極限運(yùn)動(dòng)主要比賽和表演項(xiàng)目有：難度攀巖、速度攀巖、空中滑板、高山滑翔、滑水、激流皮劃艇、摩托艇、沖浪、水上摩托、蹦極跳、滑板（輪滑、小輪車）的U臺(tái)跳躍賽和街區(qū)障礙賽等運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目。由于極限運(yùn)動(dòng)有其“融入自然（自然、環(huán)境、生態(tài)、健康）、挑戰(zhàn)自我（積極、勇敢、愉悅、***）”的“天人合一”的特性，使得極限運(yùn)動(dòng)在歐美各國(guó)的風(fēng)靡程度簡(jiǎn)直可以用瘋狂、魔力來(lái)形容。以滑水和滑板為例，僅在美國(guó)，滑水愛(ài)好者目前就有110萬(wàn)之名，職業(yè)滑水隊(duì)、表演隊(duì)更是星羅棋布，已經(jīng)成為許多城市重要的都市文化“大餐”；而滑板運(yùn)動(dòng)的發(fā)燒友更是多達(dá)450萬(wàn)之眾。說(shuō)到年紀(jì)，輪滑可要算極限運(yùn)動(dòng)中的“老爺爺”了。輪滑運(yùn)動(dòng)時(shí)從滑冰運(yùn)動(dòng)過(guò)渡而來(lái)，據(jù)有關(guān)資料記載，十八世紀(jì)有位荷蘭的滑冰運(yùn)動(dòng)員，為了在不結(jié)冰的季節(jié)繼續(xù)進(jìn)行訓(xùn)練，嘗試把木線軸安在皮鞋下在平坦的地面上滑行，他的試驗(yàn)在不斷失敗和改進(jìn)后終于取得成功，創(chuàng)造了用輪子鞋“滑冰”的歷史，從此輪滑運(yùn)動(dòng)在歐洲誕生、興起并得到了較快的發(fā)展。1860年，比利時(shí)有一位樂(lè)器制造工人約瑟夫默林，用手工制作了一雙輪滑鞋，但是當(dāng)他把自己的杰作帶到英國(guó)倫敦的世界博覽會(huì)上，展示給熱情的倫敦觀眾時(shí)，卻出現(xiàn)了意外：他由于無(wú)法剎車而把一面大鏡子打破了，人也受傷。這件事被媒體爆炒之后，引起了人們的巨大的震動(dòng)。因此，輪滑運(yùn)動(dòng)也被視為一項(xiàng)“危險(xiǎn)的運(yùn)動(dòng)”而被冷落了相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間。第一雙真正意義上的輪滑鞋是由美國(guó)的詹姆斯·普利姆普頓于1863年發(fā)明的。他的發(fā)明推動(dòng)了各國(guó)輪滑運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，他也由此發(fā)了大財(cái)。1866年，詹姆斯在紐約投資開辦了第一座室內(nèi)輪滑場(chǎng)，并組織紐約輪滑運(yùn)動(dòng)協(xié)會(huì)，首次將輪滑運(yùn)動(dòng)正式列入體育運(yùn)動(dòng)的正式比賽項(xiàng)目。同時(shí)輪滑運(yùn)動(dòng)迅速傳到歐洲各國(guó)。因?yàn)槠涓呒记尚院陀^賞性，在經(jīng)歷了長(zhǎng)期的發(fā)展后，單排輪滑成為極限運(yùn)動(dòng)街頭賽的重要項(xiàng)目之一。無(wú)數(shù)的極限發(fā)燒友們?yōu)橹偪癫灰选?.極限概念的產(chǎn)生及發(fā)展極限在高等數(shù)學(xué)中，極限是一個(gè)重要的概念。極限可分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，分別定義如下。首先介紹劉徽的"割圓術(shù)"，設(shè)有一半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法的情況下，要計(jì)算其面積。為此，他先作圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，內(nèi)接二十四邊形的面積記為A3，如此將邊數(shù)加倍，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，An無(wú)限接近于圓面積，他計(jì)算到3072=6*2的9次方邊形，利用不等式An+1x0）無(wú)限趨近于點(diǎn)x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a，就說(shuō)a是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的右極限，記作x→x0+limf(x)=a.函數(shù)極限的性質(zhì)：極限的運(yùn)算法則（或稱有關(guān)公式）：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)不等于0)lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)都存在時(shí)才成立lim(1+1/x)^x=ex→∞lim(1+1/x)^x=ex→0無(wú)窮大與無(wú)窮?。簝蓚€(gè)重要極限：1、limsin(x)/x=1,x→02、lim(1+1/x)^x=e,x→0(e≈2.7182818。，無(wú)理數(shù))========================================================================舉兩個(gè)例子說(shuō)明一下一、0.999999……=1？誰(shuí)都知道1/3=0.333333……，而兩邊同時(shí)乘以3就得到1=0.999999……，可就是看著別扭，因?yàn)樽筮吺且粋€(gè)“有限”的數(shù)，右邊是“無(wú)限”的數(shù)。二、“無(wú)理數(shù)”算是什么數(shù)？我們知道，形如根號(hào)2這樣的數(shù)是不可能表示為兩個(gè)整數(shù)比值的樣子的，它的每一位都只有在不停計(jì)算之后才能確定，且無(wú)窮無(wú)盡，這種沒(méi)完沒(méi)了的數(shù)，大大違背人們的思維習(xí)慣。結(jié)合上面的一些困難，人們迫切需要一種思想方法，來(lái)界定和研究這種“沒(méi)完沒(méi)了”的數(shù)，這就產(chǎn)生了數(shù)列極限的思想。類似的根源還在物理中（實(shí)際上，從科學(xué)發(fā)展的歷程來(lái)看，哲學(xué)才是真正的發(fā)展動(dòng)力，但物理起到了無(wú)比推動(dòng)作用），比如瞬時(shí)速度的問(wèn)題。我們知道速度可以用位移差與時(shí)間差的比值表示，若時(shí)間差趨于零，則此比值就是某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題：趨于無(wú)限小的時(shí)間差與位移差求比值，就是0÷0，這有意義嗎（這個(gè)意義是指“分析”意義，因?yàn)閹缀我饬x頗為直觀，就是該點(diǎn)切線斜率）？這也迫使人們?nèi)榇碎_發(fā)出合乎理性的解釋，極限的思想呼之欲出。真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的，他當(dāng)時(shí)是一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師，這對(duì)我們今天中學(xué)教師界而言，不能不說(shuō)是意味深長(zhǎng)的。幾個(gè)常用數(shù)列的極限an=c常數(shù)列極限為can=1/n極限為0an=x^n絕對(duì)值x小于1極限為0/view/17644.。8.極限思想的演變過(guò)程高等數(shù)學(xué)研究Vol14,No1340STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSSep.,2001微積分史話Ξ極限概念發(fā)展的幾個(gè)歷史階段王曉碩（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，大連，116029）極限概念是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定變化過(guò)程中的終極狀態(tài)。極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。從古至今，人們對(duì)于極限概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一段漫長(zhǎng)的過(guò)程。從最初時(shí)期樸素、直觀的極限觀經(jīng)過(guò)了2000多年的發(fā)展，演變成為近代嚴(yán)格的極限理論，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，人們又引進(jìn)了更廣泛和更一般的極限概念。這其中的思想演變是漸進(jìn)的、相互推動(dòng)的。本文針對(duì)極限概念在不同時(shí)期的特點(diǎn)給予粗略的概述。一、樸素的、直觀的極限觀（這種極限觀在我國(guó)古代的文獻(xiàn)中就有記載，最著名的是《莊子·天下篇》中記載的惠施約前）[4]370——約前310的一段話：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭。”公元3世紀(jì)，中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽（）263年左右成功地把極限思想應(yīng)用于實(shí)踐，其中最典型的方法就是在計(jì)算圓的面積時(shí)建立的“割圓術(shù)”。由于劉徽所采用的圓的半徑為1，這樣圓的面積在數(shù)值上即等于圓周率，所以說(shuō)劉微成功地創(chuàng)立了科學(xué)的求圓周率的方法。劉徽采用的具體做法是：在半徑為一尺的圓內(nèi)，作圓的內(nèi)接正六邊5（)形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出內(nèi)接正6邊形、正12邊形、…、直至6*2192邊形的面積。他利r·ln（)用公式2n=·n為內(nèi)接正邊形的邊長(zhǎng)，2n為內(nèi)接2邊形的面積來(lái)求正多邊形的面積。SnlnSn2劉徽認(rèn)為，割得越細(xì)，圓內(nèi)接正多邊形與圓面積之差越小，即“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓和體，而無(wú)所失矣”。這就是割圓術(shù)所反映的樸素的極限思想。劉徽的極限觀念與古希臘的安蒂豐不謀而合。智人學(xué)派的安蒂豐（，約前480——約Antiphon前410）在討論化圓為方的問(wèn)題時(shí)想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來(lái)接近圓面積，而內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在的空隙當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時(shí)被逐漸“窮竭”。后來(lái)，希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus約前400——約前347）建立了下列原理：“對(duì)于兩個(gè)不相等的量，若從較大量中減去大于其半的量，再?gòu)乃嗔恐袦p去大于其半的量。繼續(xù)重復(fù)這個(gè)步驟，則必有某個(gè)余量小于原來(lái)較小[1]的量?！边@就是近代分析中的阿基米德公理“∏>0,>0，？∈，使>”的原形。著名希臘數(shù)abnNnab學(xué)家阿基米德（，約前287——約前212）把上述方法成功地應(yīng)用于許多面積和體積的計(jì)Archimede算。例如，在《方法》一書中，他證明了“拋物線弓形面積是同底等高三角形的三分之四”的結(jié)果。阿（）基米德是根據(jù)力學(xué)原理去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，然后用歐多克索斯的原理和反證法雙重歸謬法來(lái)證明有關(guān)結(jié)論的。從阿基米德的工作中，可以看到近代積分學(xué)中微元法基本思想的雛形，但是還沒(méi)有求極限的觀念。盡管如此，阿基米德所創(chuàng)造的極富啟發(fā)性的方法，獲得了大量的輝煌成果，為后人開辟了廣闊的領(lǐng)域。由安蒂豐提出，歐多克索斯完善的方法經(jīng)阿基米德的工作發(fā)展到一個(gè)高峰。他們的工作到17世紀(jì)被重新研究，歐多克索斯原理被稱為“窮竭法”。窮竭法所蘊(yùn)涵的思想就是近代極限概念的雛Ξ收稿日期：2001—05—14。(C)1995-2004TsinghuaTongfangOpticalDiscCo.,Ltd.Allrightsreserved.。9.能不能告訴我關(guān)于極限概念形成的歷史故事,200字,謝謝龐加萊說(shuō)過(guò)：能夠作出數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的人，是具有感受數(shù)學(xué)中的秩序、和諧、對(duì)稱、整齊和神秘美等能力的人，而且只限于這種人。數(shù)學(xué)中的概念、定理等無(wú)一例外都會(huì)經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程。毫無(wú)疑問(wèn)極限也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。一、中國(guó)古代極限思想“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。這是戰(zhàn)國(guó)時(shí)期莊子在他的《天下篇》記載的惠施的一段話。也就是說(shuō)一尺長(zhǎng)的木棒，第一天取去一半，還剩二分之一尺，第二天再在這二分之一尺中取去一半，還剩下四分之一尺……。按照這樣的分法分下去，長(zhǎng)度越來(lái)越小，但無(wú)論多小，永遠(yuǎn)分不完。也就是說(shuō)隨著分割的次數(shù)增加，棰會(huì)越來(lái)越短，長(zhǎng)度接近于零，但又永遠(yuǎn)不會(huì)等于零。墨家觀點(diǎn)與惠施不同，提出一個(gè)“非半”的命題，墨子說(shuō)“非半弗，則不動(dòng)，說(shuō)在端”。意思是說(shuō)將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。墨家有無(wú)限分割最后會(huì)達(dá)到一個(gè)“不可分”的思想，名家則有“無(wú)限分割”的思想。名家的命題論述了有限長(zhǎng)度“無(wú)限可分”性，墨家的命題指出了無(wú)限分割的變化和結(jié)果。顯然名家和墨家的討論，對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展具有巨大推動(dòng)作用?，F(xiàn)在看來(lái)，先秦諸子中的名、墨兩家，對(duì)宇宙的無(wú)限性與連續(xù)性認(rèn)識(shí)已相當(dāng)深刻，在那時(shí)這些認(rèn)識(shí)是片斷的、零散的，更多地屬于哲學(xué)范疇，但已反映出極限思想的萌芽，這無(wú)疑成為極限概念產(chǎn)生的豐厚的沃土。公元3世紀(jì)，我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時(shí)創(chuàng)立了有名的“割圓術(shù)”.他創(chuàng)造性地將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)領(lǐng)域。所謂割圓術(shù)，具體的方法是把圓周分割得越細(xì)，內(nèi)接多邊形的邊數(shù)越多，其內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無(wú)法再分割為止，當(dāng)?shù)搅藞A內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多的時(shí)候，它的周長(zhǎng)就與圓周幾乎“吻合”，進(jìn)而完全一致了。劉徽將正多邊形的面積算到了3072邊形，由此求出的圓周率為3.1416，是當(dāng)時(shí)世界上最早也是最準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。并且劉徽把這種思想方法推廣到圓的有關(guān)計(jì)算。劉徽的“割圓術(shù)”在人類歷史上首次將極限和無(wú)窮小分割引入數(shù)學(xué)證明，成為人類文明史中不朽的篇章。后來(lái)祖沖之用這個(gè)方法把圓周率的值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位。這種對(duì)于某個(gè)值無(wú)限接近的思想就是后來(lái)建立極限概念的基礎(chǔ).在中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上曾出現(xiàn)了劉徽、墨子、惠施等天才的數(shù)學(xué)家，但他們的數(shù)學(xué)研究和成就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及西方同時(shí)期的阿基米得、歐幾里德等數(shù)學(xué)家。主要原因是我國(guó)古代數(shù)學(xué)理論研究沒(méi)有受到相應(yīng)的重視。農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)使人們終日疲于勞作，經(jīng)濟(jì)的困頓使得沒(méi)有多少人來(lái)學(xué)文化，學(xué)數(shù)學(xué)的人自然更少，有限的經(jīng)濟(jì)狀況不允許人們的思想向?qū)嵱靡酝獾牡胤酵卣?；隋朝開始的科舉制度為“學(xué)而優(yōu)則仕”而奮斗的人們提供了搏殺的戰(zhàn)場(chǎng)，也扼殺了大批在數(shù)學(xué)研究上具有不凡才華的人；農(nóng)業(yè)社會(huì)的經(jīng)濟(jì)特點(diǎn)限制了人們對(duì)自然的探險(xiǎn)和對(duì)理論的求索，從而阻止了數(shù)學(xué)向理性的發(fā)展可能。二、極限概念的發(fā)展數(shù)學(xué)的發(fā)展與其社會(huì)背景緊密相關(guān)，社會(huì)的發(fā)展一方面為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了條件，另一方面又提出了大量的需要解決的問(wèn)題。數(shù)學(xué)這個(gè)科學(xué)之母自然被推動(dòng)向前發(fā)展。16世紀(jì)西方社會(huì)處于資本主義起步時(shí)期，也是思想與科學(xué)技術(shù)的爆發(fā)時(shí)期?？茖W(xué)、生產(chǎn)、技術(shù)中出現(xiàn)許多問(wèn)題。對(duì)此只研究常量的初等數(shù)學(xué)已面臨困境。大量的問(wèn)題涌出，象怎樣求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積這種無(wú)限、運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題困擾數(shù)學(xué)家。正是在這樣的時(shí)代背景下，極限概念被發(fā)展完善，微積分也形成系統(tǒng)的理論體系。十六世紀(jì)初極限概念仍停留在粗淺的描述上，由于人們習(xí)慣于常量數(shù)學(xué)的思維方法，對(duì)無(wú)限與有限的辯證關(guān)系仍然是模糊的。進(jìn)入十七世紀(jì)，特別是牛頓在建立微積分的過(guò)程中，由于極限的沒(méi)有準(zhǔn)確的概念，也就無(wú)法確定無(wú)窮小的身份，利用無(wú)窮小運(yùn)算時(shí)，牛頓做出了自相矛盾的推導(dǎo)：在用“無(wú)窮小”作分母進(jìn)行除法時(shí)，無(wú)窮小量不能為零；而在一些運(yùn)算中又把無(wú)窮小量看作零，約掉那些包含它的項(xiàng)，從而得到所要的公式，顯然這種數(shù)學(xué)推導(dǎo)在邏輯上是站不住腳的。那么，無(wú)窮小量是零還是非零？這個(gè)問(wèn)題困擾牛頓也困擾著與牛頓同時(shí)代的眾多數(shù)學(xué)家。僅用舊的概念說(shuō)不清“零”與“非零”的問(wèn)題。極限的本質(zhì)沒(méi)有被觸及到。真正意義上的極限概念是產(chǎn)生于十七世紀(jì)，由英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰瓦里斯提出了變量極限的概念，他認(rèn)為變量的極限是當(dāng)變量無(wú)限逼近的一個(gè)常數(shù)，它們的差是一個(gè)給定的任意小的量。他的這種描述，把兩個(gè)無(wú)限變化的過(guò)程表述出來(lái)，揭示了極限的核心內(nèi)容。約翰的這個(gè)表述將極限思想向前做了延伸。十九世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在《分析教程》中比較完整的說(shuō)明了極限概念及理論。他說(shuō)：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個(gè)定值就叫做所有其它值的極限?？挛鬟€指出數(shù)零是無(wú)窮小的極限。這個(gè)思想已經(jīng)擺脫。10.cx極限賽在中國(guó)的歷史與發(fā)展2008-第10屆CX極限賽CX10周年超炫呈獻(xiàn)，精彩不容錯(cuò)過(guò)！2008CX極限賽競(jìng)賽項(xiàng)目滑板街區(qū)賽直排輪滑街區(qū)賽小輪車街區(qū)賽小輪車平地花式賽自行車障礙攀爬20式自行車障礙攀爬26式26單車街區(qū)賽2008CX賽程安排預(yù)選賽5月31日-6月1日成都賽區(qū)待定6月7日-8日武漢賽區(qū)待定6月14日-15日上海賽區(qū)待定6月21日-22日廣州賽區(qū)待定6月28日-29日沈陽(yáng)賽區(qū)待定7月5-6日北京賽區(qū)待定巡回賽9月13日-14日上海站待定9月29日-30日廣州站待定10月11日-12日北京站待定總決賽10月17日-18日北京待定全明星賽10月19日北京待定參賽資格1、選手以俱樂(lè)部或個(gè)人名義參賽均可2、參賽選手不受性別/年齡/籍貫的限制3、在華留學(xué)/工作或生活的外籍選手可持外卡報(bào)名參賽4、參加全明星賽外籍選手由大賽組委會(huì)負(fù)責(zé)邀請(qǐng)，5、在總決賽中獲得滑板/BMX小輪車/直排輪滑3個(gè)項(xiàng)目街區(qū)賽前三名的選手可獲得參加全明星賽資格競(jìng)賽器材與裝備參賽各俱樂(lè)部/隊(duì)及選手自備，并保證其安全性；所有器材與設(shè)備不得加裝或外帶動(dòng)力設(shè)備競(jìng)賽辦法1、本屆大賽分為預(yù)選賽/巡回賽/總決賽/全明星賽四個(gè)階段進(jìn)行2、預(yù)選賽采用公開賽賽制，（除26街車外）所有選手可報(bào)名參加任何一站預(yù)選賽的比賽3、各站預(yù)選賽單項(xiàng)前6名選手獲得晉級(jí)巡回賽的資格；其中前三名由組委會(huì)提供參加（1站）巡回賽的交通費(fèi)用4、已獲得巡回賽參賽資格的選手不得再參加其它預(yù)選賽站的比賽5、獲得巡回賽資格的選手可報(bào)名參加任一或全部巡回賽站的比賽；在任一巡回賽站中獲得前三名的選手將晉級(jí)總決賽6、已在某一站巡回賽中獲得總決賽資格的選手可繼續(xù)報(bào)名參加其它巡回賽站的比