2022屆全國普通高中招生高考核心預(yù)測卷全國卷數(shù)學(xué)（理）試卷

/13/13/2022屆高考數(shù)學(xué)核心猜題卷全國卷（理）【滿分：150分】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則()A. B. C. D.3.若非零向量a，b滿足，且，則a與b的夾角大小為()A.30° B.45° C.60° D.90°4.已知，，，則()A. B. C. D.5.若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是()A. B.0 C. D.126.為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅收進行適當(dāng)?shù)臏p免，某機構(gòu)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結(jié)論：①樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為0.45；②如果規(guī)定年收入在500萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計有的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅政策；③估計樣本的中位數(shù)為480萬元.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.37.設(shè)函數(shù).若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)，且，當(dāng)取最小值時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A.， B.，C.， D.，9.已知三棱柱的所有棱長均為2，平面ABC，則異面直線，所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2021項的和為()A. B. C. D.11.以橢圓的右焦點F為圓心、c為半徑作圓，O為坐標(biāo)原點，若圓F與橢圓C交于A，B兩點，點D是OF的中點，且，則橢圓C的離心率為()A. B. C. D.12.已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知函數(shù)，若，則___________.14.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則面積的最大值為____________.15.4位游客到某地旅游，若每人只能從A，B，C三個景點中選擇一處游覽，則每個景點都有人去的概率為___________.16.已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與C的左支交于P，Q兩點，，，則與的面積之比為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，且為數(shù)列的前n項和，求證：.18.（12分）已知直四棱柱中，，，.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.19.（12分）“雙減”政策明確指出要通過閱讀等活動，充分用好課后服務(wù)時間，為學(xué)有余力的學(xué)生拓展學(xué)習(xí)空間.某家庭有小明和小紅兩個孩子，父母每天為他們安排了自由閱讀的時間，約定周一到周日每天的閱讀時間不能比前一天少.為了調(diào)查兩人自由閱讀時間的情況，父親記錄了兩人某周每天的閱讀時間（單位：min），如下表所示，其中小明周日的閱讀時間a忘了記錄，但知道，.周一周二周三周四周五周六周日序號x1234567小明的閱讀時間y/min162020253036a小紅的閱讀時間z/min16222526323535（1）求小明這一周的閱讀時間超過小紅這一周的閱讀時間的概率；（2）根據(jù)小明這一周前6天的閱讀時間，求其閱讀時間y關(guān)于序號x的線性回歸方程，并估計小明周日閱讀時間a的值.參考公式：回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為，.20.（12分）已知拋物線上的點到其焦點F的距離為.（1）求拋物線C的方程；（2）點在拋物線C上，過點的直線l與拋物線C交于，，兩點，點H與點A關(guān)于x軸對稱，直線AH分別與直線OE，OB交于點M，N(O為坐標(biāo)原點)，求證：.21.（12分）已知函數(shù)，其中常數(shù).（1）若在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，求證：導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.（10分）[選修4–4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求A，B兩點間的距離.23.（10分）[選修4?–?5：不等式選講]已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)，對，，有，求實數(shù)k的取值范圍.2022屆高考數(shù)學(xué)核心猜題卷全國卷（理）參考答案一、選擇題1.答案：D解析：由，解得，，又，，故選D.2.答案：D解析：因為，所以，則，故選D.3.答案：C解析：由得，又，，，與b的夾角為60°，故選C.4.答案：C解析：由可得，因為，所以，則，由可得，故.故選C.5.答案：A解析：作出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由可得，作出直線并平移，由圖可知當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點時，z取得最小值，所以.故選A.6.答案：D解析：由，得，所以數(shù)據(jù)在區(qū)間的頻率為，①正確；數(shù)據(jù)在區(qū)間的頻率為，②正確；數(shù)據(jù)在區(qū)間的頻率為0.3，數(shù)據(jù)在區(qū)間的頻率為0.55，故估計中位數(shù)為，③正確.故選D.7.答案：C解析：由題意得的定義域是R，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以，則，所以，又，所以切線方程是，即.故選C.8.答案：A解析：因為，所以為函數(shù)的一個對稱中心，為其一條對稱軸，要使最小，則周期最大，此時與為相鄰對稱軸與對稱中心，所以，所以，，因為，所以，.令，，則，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故選A.9.答案：A解析：如圖，設(shè)F是線段BC的中點，連接交于點N，連接NF，AF，由題意知，四邊形為正方形，是的中點，，是異面直線，所成的角或其補角，平面ABC，三棱柱的所有棱長均為2，，，，，，異面直線，所成角的余弦值為.故選A.10.答案：D解析：因為，故數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由，，得，所以，則，所以，故選D.11.答案：C解析：由橢圓與圓的對稱性不妨令點A在第一象限，由D是OF的中點，且，可知是正三角形，則，將點A坐標(biāo)代入橢圓C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因為，所以，則.故選C.12.答案：A解析：易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即，設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有一個交點，作出的圖象如圖所示，由圖得或.當(dāng)時，恒成立，所以無極值，所以.故選A.二、填空題13.答案：6解析：因為當(dāng)時，，，所以，所以，所以.14.答案：解析：由題意可知，，，又，.又，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則的面積，即面積的最大值為.15.答案：解析：由題意知，4位游客從A，B，C三個不同的景點中選擇一處游覽的方案有(種).首先從三個不同的景點中選出一個景點有2位游客去游覽的方案有種，然后從4位游客中選2位到已選出的一個景點去游覽的方案有種，最后余下的2位游客到余下的兩個景點游覽的方案有種，所以每個景點都有人去的游覽方案有(種)，故所求概率.16.答案：解析：由知，又，則，設(shè)，則，，由，得，，則，解得，則，于是.三、解答題17.解析：（1）由題意知，即，………………3分即，所以，所以.……………6分（2）由（1）得，………………9分所以.…………12分18解析：（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.平面ABCD，.…………2分在四邊形ABCD中，，，.又，平面.……………………4分（2）如圖，連接，記，，連接，則平面ABCD，且.……………………5分以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)A，OB，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，.，，.……6分設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，是平面的一個法向量.…………………8分設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，是平面的一個法向量.……………10分.由圖知，二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.…………………12分19.解析：（1）由題意知，，所以a的取值一共有25種情況.令，解得，…………………3分又，，所以當(dāng)小明這一周的閱讀時間超過小紅這一周的閱讀時間時，a的取值一共有16種情況.所以小明這一周的閱讀時間超過小紅這一周的閱讀時間的概率為.…5分（2）由題可得，…………………6分，，，………8分所以，則，……………10分所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.當(dāng)時，.故估計小明周日閱讀時間a的值為38.……………………12分20.解析：（1）由點在拋物線上可得，，解得.由拋物線的定義可得，…………3分整理得，解得或(舍去).故拋物線C的方程為.…………………5分（2）由在拋物線C上可得，解得，所以，直線OE的方程為.………6分易知，，均不為0.由題意知直線l的斜率存在且大于0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立得，消去y得.則，得，所以，.……………8分由直線OE的方程為，得.易知直線OB的方程為，故.數(shù)形結(jié)合可知，要證，即證，…………10分即證，即證，即，則，此等式顯然成立，所以.……………12分21.解析：（1）因為在上是增函數(shù)，所以在上恒成立，即恒成立，只需使即可.……………2分設(shè)，則當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，……………4分所以的最小值為，所以，解得，故實數(shù)a的取值范圍是.………………6分（2）當(dāng)時，.令，則.……………8分令得；令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取極小值，.……………10分因為，，所以存在，，使得，，所以有兩個零點，即導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點.…………………12分22.解析：（1）由題意知，曲線C的普通方程為，………………2分由可知直線l的直角坐標(biāo)方程為.………………5分（2）由（1）知曲線C的圓心坐標(biāo)為，半徑，