2022屆廣西桂林崇左賀州河池來賓市高三聯(lián)合高考模擬考試數(shù)學（理）試題

/19/19/2022屆廣西桂林、崇左、賀州、河池、來賓市高三聯(lián)合高考模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知集合，則下列關(guān)系正確的是（???????）A． B． C． D．?【答案】C【分析】由子集的定義即可求解.【詳解】解：因為集合，所以根據(jù)子集的定義可知，故選：C.2．若復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（???????）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由，利用復(fù)數(shù)除法得到z，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷.【詳解】解：因為，所以，所以則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，故選：D3．已知命題，，命題，，則下列命題為真命題的是（???????）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷命題、的真假，利用復(fù)合命題的真假可判斷各選項中復(fù)合命題的真假，即可得出合適的選項.【詳解】因為對，，故為假命題，因為在上單調(diào)遞增，所以當時，，故為真命題，所以、、為假命題，為真命題．故選：D．4．橢圓的離心率為（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓方程求，，，再求離心率.【詳解】由橢圓方程可知，，所以，橢圓的離心率.故選：C5．若滿足，則的取值范圍是（???????）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，令，即，利用直線截距的幾何意義即可求解.【詳解】解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影所示，聯(lián)立，解得交點，令，即，由圖可知，當直線經(jīng)過點時在軸上的截距最小，截距沒有最大，所以，沒有最大值，所以的取值范圍是，故選：A.6．2021年元旦期間，某高速公路收費站的四個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)四個收費口均能正常工作，則這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率為（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合題意求出每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，再利用對立事件的概率公式可求得答案【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，所以這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率．故選：D．7．三棱錐中，平面，，，，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：分析可知球心在的中點．因為，，所以．所以．球的半徑．所以此球的表面積為．故A正確．【解析】三棱錐的外接球．8．中國代表團在2022年北京冬奧會獲得九枚金牌，其中雪上項目金牌為5枚，冰上項目金牌為4枚.現(xiàn)有6名同學要報名參加冰雪興趣小組，要求雪上項目和冰上項目都至少有2人參加，則不同的報名方案有（???????）A．35 B．50 C．70 D．100【答案】B【分析】根據(jù)要求雪上項目和冰上項目都至少有2人參加，可將6名同學分為和兩類，通過分步乘法計數(shù)原理，分別求出每一類組合有多少種，再由分類加法計數(shù)原理可得答案.【詳解】由題干可知，要求雪上項目和冰上項目都至少有2人參加，則組合為：和兩類，（1）若為“”組合，將6名同學分為兩組，一組2人，另一組4人，有種分組方式；將分好的2組在雪上項目和冰上項目進行全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理，則該組合有種；（2）若為“”組合將6名同學分為兩組，一組3人，另一組也為3人，有種分組方式，將分好的2組在雪上項目和冰上項目進行全排列有種，由分步乘法計數(shù)原理，則該組合有種；由分類加法計數(shù)原理，則不同的報名方式有種；故選：B.9．若正數(shù)a、b滿足，則的值為（???????）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，將對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用指數(shù)冪的運算法則即可求解.【詳解】解：令，則，所以.故選：A.10．已知函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，．則下列選項正確的是（???????）A．B．的圖象的對稱軸方程為（）C．的單調(diào)遞減區(qū)間為（）D．的解集為（）【答案】D【分析】由題意，求出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)余弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對A：因為函數(shù)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為，所以，故選項A錯誤；對B：因為，所以，因為，所以，所以，令（）得（），即的圖象的對稱軸方程為（），故選項B錯誤；對C：令（）得（），即的單調(diào)遞減區(qū)間為（），故選項C錯誤；對D：令，得，所以（），解得（），所以的解集為（），故選項D正確．故選：D．11．平面直角坐標系中有兩點和，以為圓心，正整數(shù)i為半徑的圓記為，以O(shè)2為圓心，正整數(shù)j為半徑的圓記為.對于正整數(shù)（），點是圓與圓的交點，且，，，，都位于第二象限，則這5個點都在同一（???????）A．直線上 B．橢圓上C．拋物線上 D．雙曲線上【答案】D【分析】分別求得和的方程和，聯(lián)立方程組求得，代入，求得，化簡得到，即可求解.【詳解】由題意，圓的方程為，即，圓的方程為，即，聯(lián)立可得，即，解得，代入的方程得，即，解得，又由，所以，即，所以這5個點都在同一個雙曲線上.故選：D.12．某一年是閏年，當且僅當年份數(shù)能被400整除（如公元2000年）或能被4整除而不能被100整除（如公元2012年）.閏年的2月有29天，全年366天，平年的2月有28天，全年365天.2022年2月7日星期一是小說家狄更斯誕辰210周年紀念日.狄更斯的出生日是（???????）A．星期五 B．星期六C．星期天 D．星期一【答案】A【分析】由題意，這210年有52個閏年，158個平年，從而計算出總天數(shù)，再根據(jù)一周有7天，利用周期性即可求解.【詳解】解：因為2022年2月7日星期一是小說家狄更斯誕辰210周年紀念日，所以小說家狄更斯出生于1812年2月7日，其中1812年為閏年，1900不是閏年，又，所以這210年有52個閏年，158個平年，所以共有天，因為，所以狄更斯的出生日是星期五，故選：A.二、填空題13．已知菱形的邊長為2，E是的中點，則__________．【答案】【分析】利用平面向量的線性運算，將轉(zhuǎn)化為，進而求得答案.【詳解】依題意，，因為菱形的邊長為2．所以．故答案為：-3.14．二項式展開式中的常數(shù)項是___________．【答案】540【分析】首先寫出二項式展開式的通項，再令求出，再代入計算即可；【詳解】解：二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為．故答案為：15．已知銳角的面積為9，，點D在邊上，且，則的長為__________．【答案】4【分析】先求出，利用面積為9求出，在中，由余弦定理求出．【詳解】因為，所以，所以，則，所以，所以，，所以．在中，由余弦定理得，解得．故答案為：416．在三棱錐ABCD中，對棱，當平面α與三棱錐ABCD的某組對棱均平行時，則三棱錐ABCD被平面α所截得的截面面積最大值為___________.【答案】3【分析】每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設(shè)長寬高分別為x，y，z，求出，由線面平行得線線平行，證明當是所在棱中點時面積最大，按截面與哪對棱平行分類討論求得截面面積的最大值.【詳解】因為每組對棱棱長相等，所以可以把三棱錐ABCD放入長方體中，設(shè)長寬高分別為x，y，z，則，則.當平面α與三棱錐ABCD的對棱AB，CD均平行時，截而為四邊形EFGH，，，設(shè)，則，，同理，（或其補角）是異面直線所成的角，，其中為定值，，時，取得最大值，即截面面積最大，此時是所在棱中點，由長方體性知最大面積為長方體上下底面面積的一半，同樣地，當平面a與三棱錐ABCD的對棱AC，BD均平行時，截面最大面積為；當平面α與三棱錐ABCD的對棱AD，BC均平行時，截面最大面積為.故答案為：3.三、解答題17．某學校為了對教師教學水平和教師管理水平進行評價，從該校學生中選出100人進行統(tǒng)計，其中對教師教學水平滿意的學生人數(shù)為總數(shù)的60%，對教師管理水平滿意的學生人數(shù)為總數(shù)的75%，對教師教學水平和教師管理水平都滿意的有40人．(1)完成對教師教學水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認為對教師教學水平滿意與教師管理水平滿意有關(guān)；對教師管理水平滿意對教師管理水平不滿意合計對教師教學水平滿意對教師教學水平不滿意合計(2)若將頻率視為概率，隨機從學校中抽取3人參與此次評價，設(shè)對教師教學水平和教師管理水平都滿意的人數(shù)為隨機變量X；求X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，有；(2)分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)題意，對教師教學水平滿意有60人，對教師管理水平滿意有75人，從而可完成22列聯(lián)表，根據(jù)參考公式求出的值，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)即可作出判斷；（2）由題意，對教師教學水平和教師管理水平都滿意的概率為，且，從而可得X的分布列，根據(jù)期望公式即可求解X的數(shù)學期望.【詳解】(1)解：由題意可得關(guān)于對教師教學水平和教師管理水平評價的22列聯(lián)表：對教師管理水平滿意對教師管理水平不滿意合計對教師教學水平滿意402060對教師教學水平不滿意35540合計7525100，所以有97.5%的把握認為教師教學水平滿意與教師管理水平滿意有關(guān)；(2)解：對教師教學水平和教師管理水平都滿意的概率為，且隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，其中；；；；所以隨機變量X的分布列為：X0123P則．18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分【答案】答案見解析【分析】選①②作條件證明③時，設(shè)，結(jié)合和的關(guān)系，求出，進而求證；選①③作條件證明②時，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，列出，進而求證數(shù)列是等比數(shù)列；選②③作條件證明①時，設(shè)，結(jié)合和的關(guān)系，求出，然后可證數(shù)列是等比數(shù)列.【詳解】解：選①②作條件證明③：設(shè)，則，.當時，.當時，；因為也是等比數(shù)列，所以也滿足上式，解得.所以，則，.所以.選①③作條件證明②：因為，是等比數(shù)列，所以公比，所以.即，因為.所以是等比數(shù)列.選②③作條件證明①:設(shè)，則，.當時，當時，.因為，所以，解得.所以，.則.所以為等比數(shù)列.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，，E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC上的動點.(1)求證：平面AEF⊥平面PBC；(2)試確定點F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.【答案】(1)證明見解析；(2)點F為BC中點.【分析】（1）證明．，推出平面．得到．證明，得到平面．然后證明平面平面．（2）分別以的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為2，求出為平面的法向量，平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．【詳解】(1)∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，∵ABCD為正方形，∴AB⊥BC，又PA∩AB=A，PA，AB平面PAB，∴BC⊥平面PAB，∴AE平面PAB，∴AE⊥BC，∵PA=AB，E為線段PB的中點，∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，PB，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC，又AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC；(2)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1），∴，，，設(shè)F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴，設(shè)平面AEF的一個法向量為，則，∴，令y1=2，則，∴，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，∴，令y2=1，則，∴，∵平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°，∴，解得λ=1，∴當點F為BC中點時，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.20．已知圓和拋物線，是圓上一點，過作拋物線的兩條切線，分別為切點.(1)當時，求切線的方程；(2)求證：存在兩個，使得面積等于.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當時，可得，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合，求得的值，即可求解；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程組，由，得到，同理得到，得出時方程的兩個實數(shù)根，求得，進而求得A(，)和B(，)，得到，求得的方程，求得，進而求得，再由與，結(jié)，和零點的存在定理，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，圓和拋物線，當時，可得，設(shè)切線方程為，代人，可得，則，解得，所以切線的方程為.(2)解：因為是圓上一點，所以，設(shè)直線方程為，代入，整理得，則，即，同理，直線方程為，則有，可得時方程的兩個實數(shù)根，所以因為與拋物線相切，則中，，則，所以A(，)，同理B(，)，所以，直線方程為，即，所以，則，又由到直線AB的距離，所以，所以，與，聯(lián)立得，所以或，設(shè)，顯然，設(shè)，可得當，可得，所以單調(diào)遞增，即在上遞增，所以在上有唯一零點所以存在兩個，使得面積等于.21．已知函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，對分、、、四種情況討論即可求解；（2）由（1）問結(jié)論，對分、、、、討論即可得答案.【詳解】(1)解：，若，則當時，，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由得或，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，則，當時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③若，則，當時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)解：當時，由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且)，則，所以有兩個零點；當時，令，解得，所以只有一個零點；當時，令，