平面向量典型例題

/平面向量經(jīng)典例題：已知向量a＝（1,２）,b=（2,０),若向量λa+b與向量c＝（1，-２）共線,則實數(shù)λ等于（)Ａ．－2 Ｂ．—eq\ｆ（1，３)Ｃ.－1 Ｄ.－eq\f（2,３)［答案］C［解析]λa+ｂ=(λ,２λ)＋（2，０)＝(２＋λ，２λ），∵λa+ｂ與c共線，∴—２（2＋λ）-２λ＝0,∴λ＝-１.(文）已知向量a＝(eｑ\r(3)，1）,b=(0,1），ｃ＝（ｋ，ｅｑ＼r（3））,若ａ＋2b與c垂直，則k=（)A。－1?Ｂ．-eｑ\r（3）Ｃ.－3?D.1［答案］C［解析］a+2b=(ｅq＼r（3),1)＋（0,２）＝（ｅq＼ｒ（３),3),∵a＋2b與c垂直，∴（a＋2b）·ｃ=eｑ\r(3）ｋ+3eq\ｒ(３）＝0,∴ｋ＝－3．（理)已知a＝(1,2），b＝(3，-1），且a+b與a－λｂ互相垂直,則實數(shù)λ的值為（)Ａ。-ｅq\f（６,11）?Ｂ.-eｑ\f(11,6）Ｃ。eq\f(6,1１） D.eq\f（11，６）［答案］C[解析]a+b=（４，1），a-λb＝（1—3λ,2＋λ),∵a＋b與a—λｂ垂直,∴（ａ＋ｂ）·(ａ—λｂ)＝4（1—3λ）+1×(２+λ)=6—1１λ=0，∴λ=eq\f(6，11）.設(shè)非零向量a、b、c滿足|a｜=|b|=｜ｃ｜,a＋ｂ＝c,則向量a、b間的夾角為（）A。1５0° B．120°Ｃ．６０° D．30°[答案]B[解析]如圖，在?ABＣＤ中,∵|a|=｜b｜＝｜c|，ｃ=a＋b,∴△ABＤ為正三角形，∴∠BAD=60°,∴〈a，b〉＝１20°，故選B.(理)向量ａ,b滿足|ａ|＝1,|ａ-b｜=eq＼f（\r(3),2)，ａ與b的夾角為6０°,則｜b|＝（）A.eq\f（1,2） B．eq＼ｆ(1,3）C。eq\ｆ(1，4） D．eq\f（1，５)［答案］A［解析］∵|a－ｂ|=eq\f（\ｒ（3),２),∴|a｜2+|b|２－2ａ·b＝eq＼f（３，４）,∵|ａ｜=1，<ａ，b〉＝60°，設(shè)｜ｂ|＝x,則1+x2－x＝eｑ\ｆ(3,4）,∵x＞０，∴x＝eq\f(1，2）．若eｑ\o（AB,\ｓ＼up6(→))·ｅq\o(BC，\s\up6(→))+eｑ\ｏ(AB，\ｓ\uｐ６（→)）2＝0，則△ABC必定是（)A。銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D.等腰直角三角形［答案]B［解析］eq\o(AB，\s\up6(→）)·eｑ＼o(BC,＼ｓ\up6(→）)＋eq\o（AB，\s\uｐ6（→）)2＝eq\ｏ（ＡＢ，\s\up６（→））·（eｑ\o(BC，\ｓ\ｕｐ6(→）)+ｅq\o(AB，＼s\ｕｐ6(→)））=eq＼o（AB，＼ｓ\up６（→））·eq＼o（AＣ,＼s\up6（→)）=0,∴eｑ\ｏ(ＡB,\s\up6（→））⊥ｅq\ｏ（ＡＣ,\ｓ\up6(→)），∴AB⊥AC，∴△ABC為直角三角形.若向量a＝(1，1）,ｂ=（1,—1),c=（－２，4)，則用a,b表示c為（）A．－a＋3ｂ?B．a(chǎn)—３bC．3ａ－b Ｄ。－3a［答案］B[解析]設(shè)c＝λa＋μb，則(－2，4）=（λ+μ，λ－μ）,∴eq\b\ｌc\{＼rc＼(＼a\vｓ4＼al\ｃｏ1(λ＋μ＝—2,λ-μ=4)),∴eｑ\b＼lc\{\ｒｃ＼(＼ａ＼ｖs4＼aｌ\co１(λ=１，μ=－3）)，∴ｃ＝a-３b,故選B。在平行四邊形ＡBCD中，AＣ與BD交于O,Ｅ是線段ＯＤ的中點，AE的延長線與ＣD交于點Ｆ，若ｅｑ\o(AＣ,\ｓ\up6(→）)=a，eq\o（BD，\s\up6（→))=ｂ，則eｑ\o（AF,\ｓ\up6（→）)等于（）A。eｑ＼f(1,４)ａ＋eq\f(1,2）b B．ｅq\f(2,３）ａ+eq\f（1，3)ｂＣ.eq\f（1,2）a+eq\f(1,4)ｂ D.eq\f（1,3）ａ＋eq\ｆ（2，3）b［答案］B[解析]∵E為OD的中點，∴eq\o（BＥ，\ｓ\up6（→))=3eq＼o(EＤ,\s\up６（→）），∵DF∥AＢ，∴eｑ＼ｆ(｜ＡB｜，|DF|)=eq\ｆ（|EB|，|DE|),∴｜DF|=ｅq\f（1，3)|AB｜，∴|CF|＝eｑ\f(２，３)｜AＢ|=ｅｑ\f（2,３）｜CD｜,∴eq\o（ＡF,\s\ｕp６（→）)＝eq\o(AC，＼s\up６（→))＋ｅｑ\o（ＣF，＼s\up6（→）)=eq\o(ＡC，\s\ｕp6(→)）＋eｑ\f（2，3)ｅｑ\o(CD,\s\up6（→)）=a+eq\f(２，3)（eｑ\ｏ(OD，\s\uｐ6(→))—eｑ\o（OC,\s\up6(→）)）=a+eq\f(2,3）（eq＼ｆ（１，2)b－eq\f（1,2）a）＝eq\f（2，3）a+eq＼ｆ（1,3）ｂ。若△ABＣ的三邊長分別為ＡB＝７，BC=５，CA=6，則eｑ\o（AB，\s\up6（→)）·ｅｑ\o(BC，\s\up6(→））的值為（)A。1９?Ｂ．14C．-18?D．-１9［答案]Ｄ[解析］據(jù)已知得cosB＝eq\f(７2+52—6２，２×７×５）＝eq\ｆ（19，３5），故eq\o(AB，＼ｓ＼uｐ６（→))·eq\ｏ(ＢC，\s\up６（→））=｜eq\o（AB,\s＼up6（→)）｜×｜ｅq＼o(BC，\s＼ｕp6（→）)｜×(—cｏｓB)＝7×5×eｑ\ｂ\lc＼(＼ｒc\）（\a\vs４\al＼ｃｏ１(－\f(19，35）））=－19.若向量a＝(x－1，2），b＝(4，ｙ)相互垂直,則9x+3y的最小值為()A.１2?B．２eq\ｒ（3）Ｃ．３eｑ\ｒ(2） D.６［答案]D［解析]a·b=4(ｘ－1)＋2y＝0，∴2x+ｙ＝2，∴9x＋3y＝３2x＋3y≥2eq\r（32x+y）=６，等號在ｘ＝eq\f（1，2）,y=1時成立.若A,B,C是直線l上不同的三個點，若O不在ｌ上,存在實數(shù)x使得x2eｑ\o(OＡ，＼ｓ\up６(→））+xeｑ＼ｏ(OB，\s\up6（→）)+eｑ＼o（BC,\s\up6(→））＝0，實數(shù)x為()A.-1 B.0C.ｅq\f(－1＋\r（5)，2)?D.eq\f（1+\r(5)，２）[答案］A［解析]x2eq\o(OA,\s\uｐ6(→))＋xeq\ｏ（OB,\s\up６(→）)+ｅq＼o（OC，\s\uｐ6(→)）-eq\ｏ（ＯB，＼s\up6（→)）=0,∴x2eq\ｏ（OA,\s\ｕp6（→）)+(x-1）eq\o(ＯＢ，\ｓ\uｐ6(→）)+eq\o（ＯC，\s\up６（→）)=0,由向量共線的充要條件及A、B、C共線知,1－ｘ—x２＝１，∴x=0或—1，當x＝０時,eq\o(BC，\s\uｐ6（→))＝０,與條件矛盾,∴x=—1．（文）已知P是邊長為2的正△ABＣ邊BＣ上的動點，則ｅq\ｏ（ＡP,\s＼uｐ６（→）)·（eq＼o(ＡＢ,＼s\uｐ6（→）)+ｅq\o(AC,\ｓ\up6（→)））(）Ａ．最大值為8 B.最小值為2Ｃ．是定值6 D。與P的位置有關(guān)[答案］Ｃ[解析]以BC的中點O為原點，直線BＣ為x軸建立如圖坐標系，則Ｂ（－１，0），C(1，0)，A(０,ｅｑ\ｒ(3）),eｑ＼o(AB，\s\ｕp6（→)）+eq\o（AC,\ｓ\ｕp６（→））=（—1，—eq＼ｒ（3））＋(1,-ｅq\r(3)）＝（0，-2eｑ\r（3））,設(shè)P（x,０），－1≤ｘ≤1,則eq\ｏ(AP,\ｓ\up６(→）)＝(x，－ｅq\r(3）),∴ｅq\o（AP，\ｓ\ｕp６(→）)·（eq＼o（AB，＼s＼ｕp6（→))＋eq\ｏ(AC，\ｓ\up6(→)）)＝(x,-eｑ\r（3））·（0，－２eq＼r（3)）=6，故選C.（理)在△ＡBＣ中,D為ＢC邊中點，若∠Ａ＝１２0°，ｅq\o（AB，＼s\ｕp６(→））·ｅq＼o(AＣ，\ｓ\up６（→））=-1,則｜eｑ\ｏ（AD，\s\up6（→））|的最小值是（)A。eｑ\f(1，2） Ｂ。ｅq＼f(3，2）C．eq\r(2）?Ｄ。eq\f（\r（2),2)[答案］D[解析］∵∠A＝１２0°，eq\ｏ(AB,\s\uｐ６(→)）·eq\o(AC,＼s\ｕp6（→))＝—1，∴｜ｅq\o(AB，＼s\up６（→）)｜·｜ｅq＼o(AC，＼s\up6（→）)|·ｃos1２０°＝－１,∴|ｅq\ｏ(AB,\s\uｐ6（→)）｜·|eq\o（ＡＣ,\ｓ\up６（→））｜＝２，∴｜eq\o（AB,\s＼up6（→））|2＋｜ｅq\o(AC，\s\up６（→)）|2≥2｜eq\o（AB，\s\up6(→)）｜·|ｅq\o（AC，\s＼up6(→））|＝4，∵D為BC邊的中點,∴eq\o(AD,\s\ｕp6(→））=eｑ＼f（１，2）（eq\ｏ(AＢ，＼s＼uｐ６（→))+eq＼o（AC，＼s\uｐ6（→）)），∴|eq＼o（AD，＼s\ｕp6(→)）｜２=eq\f(１,4）(｜eq\o（AB，\s＼uｐ６(→)）|２+｜ｅq\o(ＡC,＼s＼up6（→))|２＋２eq\o（AB，\s＼up6(→））·eｑ＼o（AC，\s\up6（→）)）=eq\f（１，4）（|eq\ｏ(ＡB,\s\up6(→））|2＋|eq\o（AC,＼s\up６（→)）｜2－2）≥eq\f(1，４）（4－2）=eｑ\ｆ(1,2),∴|eq＼o（AD,\s\up6（→)）｜≥ｅｑ\f（\r（2），2)。如圖所示,點P是函數(shù)y＝2sｉｎ（ωx＋φ)(x∈Ｒ,ω〉0）的圖象的最高點，M，N是該圖象與x軸的交點，若eq\o(PM，\s\ｕｐ6(→))·eq＼ｏ（PN,\s\up6(→)）=0,則ω的值為(）A.ｅｑ＼f(π，8) Ｂ.ｅq＼f(π,４)C．4Ｄ.８［答案]B［解析］∵ｅｑ\ｏ（PM,\ｓ\ｕｐ６（→))·ｅｑ\ｏ（PN，＼s＼up6(→）)＝０,∴PM⊥PN，又P為函數(shù)圖象的最高點，Ｍ、N是該圖象與x軸的交點，∴PM＝PN，ｙP=2，∴MN＝4,∴Ｔ＝ｅq\f（2π,ω）=8，∴ω=eq\f(π，4）。如圖,一直線EF與平行四邊形ABCＤ的兩邊AB，AD分別交于E、F兩點，且交其對角線于K,其中ｅｑ\o（AＥ，＼ｓ\ｕp6(→）)=ｅｑ\f（１，3）eq\o(ＡB，\ｓ\ｕp６(→））,eq\ｏ(AF,＼ｓ＼ｕp6(→)）＝ｅq\f（1，２）ｅｑ＼o(ＡD,\s\uｐ6（→）)，eq\o（AＫ,＼s＼up6（→））＝λeq＼o（AＣ，＼ｓ\up6（→))，則λ的值為（)A。ｅq\f（1,5) B．eq\f（１,4）Ｃ.eq＼f（1，3) D。ｅq＼f(1，2）[答案]A[解析]如圖,取CD的三等分點M、N,BＣ的中點Q，則EF∥DＧ∥BＭ∥NQ，易知eq\ｏ（AK,＼s\ｕp6（→）)=ｅq\f(1,5）eq＼ｏ（AC，＼ｓ\up６（→)），∴λ=eq\ｆ(1,5）。已知向量ａ=（2，3)，b＝（－１,2),若ma＋4b與a—2b共線,則ｍ的值為（）A．ｅq\f（1,２)?B．2C.-2?D.—eq＼ｆ（１，2）[答案］C[解析］ma＋４b＝（2ｍ-４，3ｍ＋8)，a-2由條件知(２m－4)·（-1)—（3ｍ＋８）×4＝0，∴在△ABC中,C＝９０°，且CA＝CB＝3，點Ｍ滿足ｅq＼ｏ(BM，\s\up6(→))=2eq\ｏ(MA，＼s＼ｕｐ6（→）），則eq\ｏ(CM，\ｓ＼ｕｐ6(→））·ｅq\o（ＣB,\s\up6（→)）等于()A．2?Ｂ．3C。４?D．６[答案］B[解析］ｅq\o(ＣＭ,\s\up6(→））·eｑ\o（CB,\s\up６（→)）=（eｑ\o(ＣA，\ｓ＼up6（→))+eq＼o(AM，\s\up6（→））)·eq\o（CB，\ｓ\up６(→))＝（ｅq\o(CA，\s\up6（→)）＋eq＼f（1，3）ｅq\o(AB，\ｓ＼up6（→））)·ｅq\o(CＢ，\s＼up６(→)）＝ｅq\o（CA,\s\up6（→）)·eｑ\o（CB,\s\up6(→)）+ｅq\f(1,３）eq\o（AB，＼s\ｕp6(→）)·ｅq\o(CB,\s\up6(→))=ｅｑ\ｆ(1,3）｜eｑ\ｏ（AＢ，\ｓ\up6(→)）|·|ｅq\ｏ(CＢ，\ｓ\up6（→）)|·cｏｓ45°=eq\f(１,３）×3eq\r(2）×３×eq＼f（\r(2）,２)=3．在正三角形ABＣ中，D是ＢC上的點,ＡB＝3，BD＝１，則eｑ＼o(AB,\s\ｕp6（→））·eq\o(AD，\s\ｕｐ6（→))＝_＿＿＿_＿__．[答案］eq\f(1５，２）[解析]由條件知，|eｑ＼o(AB,\s＼ｕp６（→））|=|ｅｑ\o（ＡC,\s\up6（→))｜＝｜eq\o（BC，＼s\up6(→））｜=3，〈eq\o（AB,\s\uｐ6(→))，ｅｑ\o(ＡC,\ｓ\up6(→）)〉=６0°，〈eq\ｏ（ＡＢ，\s＼up6（→）)，eq\ｏ（CＢ，\s\ｕｐ6(→))〉＝60°，ｅq＼ｏ（CＤ，\s＼up6（→)）=ｅq\f（2,3）eｑ\o（ＣB,\ｓ\up6（→）)，∴eｑ\o(AB，\s\up６(→)）·eｑ\o(AD，\s＼uｐ６（→））=eq\o（AB，\s\up6(→）)·(ｅｑ\ｏ（AC,\s\uｐ6（→)）+ｅq\o（ＣＤ,\s\ｕp6(→）))=ｅq＼o（AB,＼s\up６(→））·eq\ｏ（ＡＣ,\s\up６(→)）＋eｑ\o（AＢ，\ｓ＼up6（→））·eｑ\ｆ（2,3)ｅｑ\o（CB,＼s＼ｕp6（→))＝3×3×cｏs60°＋eq\f（2,3)×3×3×ｃos60°=ｅｑ\f（15,2）．已知向量a＝（3，４），b=（－2,１），則a在b方向上的投影等于＿＿＿＿_＿__．［答案］－eq＼f(2\r(5）,5）。[解析］ａ在b方向上的投影為eq\ｆ(a·ｂ，|ｂ｜）＝eq＼ｆ（－2，\r（5）)=－eｑ\ｆ(２\ｒ(5)，5）。已知向量a與ｂ的夾角為eq\f（2π，３），且｜a｜＝1，｜ｂ|=4，若(2a＋λb）⊥a，則實數(shù)λ=___＿____。［答案]1[解析］∵〈a，b>=ｅq\f(2π，3)，｜a｜＝１,|b｜＝4,∴ａ·b＝|a｜·|b|·ｃｏs〈ａ，ｂ>＝1×4×coｓeq＼f(２π,３)=—2，∵（2a＋λb)⊥ａ，∴a·（2a＋λb)＝2|a｜2+λａ·b=2—2λ=0，∴λ=1。已知：｜eq\o(OA,\s\ｕp６(→)）｜＝１，｜eq\o（ＯB，＼s＼uｐ6（→）)|=eq＼r(３),eq＼o（ＯA,\ｓ\ｕp6(→)）·eq\ｏ(OB，\ｓ\up6（→)）＝0，點Ｃ在∠ＡＯB內(nèi),且∠AOC＝３0°，設(shè)ｅq\o(OC,＼s\up6（→)）=meq\o（OＡ,\ｓ\up6(→)）+nｅｑ\o(OB，\s\up6(→）)（m，n∈R＋），則eq\f(m,n)＝__＿_＿＿__。[答案］3[解析]設(shè)ｍeq\o（OA,＼s\ｕｐ6（→)）=eq\o（OF，＼s\ｕp６(→）），nｅｑ\o(OB，＼s＼up6（→））＝ｅq＼o（OE，\s\ｕp6（→）），則eq\ｏ（OＣ,\s\up6（→))=eq\o(OF,\s\ｕp6（→））+ｅq＼o(ＯE,\s＼up6（→）），∵∠AOC＝30°，∴｜eq\ｏ（OC,\s\up6（→))｜·ｃos３０°＝|ｅｑ\o（OF，＼s\up6（→））｜＝ｍ|eｑ\o（OＡ，\ｓ\uｐ6（→）)|=m,｜ｅq＼ｏ(OC,\s\uｐ6（→））｜·sin３０°=｜eq\o（OE，＼ｓ＼ｕｐ６（→)）|＝n｜eｑ\o（ＯB，\ｓ\ｕp6（→））|=eq\r（３)n，兩式相除得：eq＼f（m,\r(3）ｎ)=eq\f(｜\o（OC，\s＼uｐ６（→))|cos３0°,｜\o（ＯＣ,\s\uｐ6(→）)｜sin30°)=eq\ｆ(1,tan30°)＝ｅｑ\r（3)，∴ｅq\f（ｍ，n）＝3．(文）設(shè)i、j是平面直角坐標系(坐標原點為O）內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且eq＼ｏ（OＡ,\ｓ\ｕp6(→））＝－２i＋j，ｅq\o（OB,\s\up6（→）)=4ｉ+3ｊ，則△OAＢ的面積等于_____＿＿_．[答案］5[解析]由條件知，i2＝１,ｊ2=1，i·j=0,∴eq＼o(ＯA,＼ｓ\up6（→)）·eq\o(OB,＼ｓ\up6(→）)=（—2i+j）·（4i+３j）＝－8+3＝—５，又eq\ｏ(ＯＡ，\ｓ＼up6（→）)·eq\o(ＯB，\s\uｐ6(→））＝|ｅq\ｏ(OA，\s\uｐ６（→）)｜·|eｑ\o（OB,\s\up6(→））|·ｃｏｓ〈ｅｑ\o（OA,\ｓ\up6(→)）,eｑ＼ｏ(ＯＢ，\s＼up６（→）)〉=5ｅq＼r（5）cos〈eq\o（OA，\s\ｕp6（→)),ｅq\o（ＯB,\ｓ\ｕp６（→）)>，∴cos<eｑ＼o（OA，\ｓ\ｕｐ6(→）)，eｑ\o(OB,\ｓ＼ｕｐ6(→）)〉=—ｅq\ｆ（＼r（5），５），∴sin〈eq＼o（OA，\s\uｐ6(→）），eq\o（OB,＼s\ｕｐ6（→））〉＝eq＼f（2＼r（５），5），∴S△ＯAＢ＝ｅq＼ｆ（1,2）｜eq\o（OA，\s＼ｕp6(→）)|·｜eq\o(OB，\ｓ\up6(→）)|·sｉn〈eq＼o(OA，＼s＼up6(→)),eq\o（OB，\s\up6（→）)〉＝eq＼f（1，２)×eq\r(５）×5×eq\ｆ(2\ｒ（5),5)＝5.(理）三角形AＢC中，a，ｂ，c分別是角A，Ｂ，C所對的邊，能得出三角形ABＣ一定是銳角三角形的條件是___＿___＿（只寫序號)①ｓｉnA＋cosA＝eq＼f（1，5）②ｅｑ\ｏ(AB，\s\up6(→））·eq\o（ＢC，\ｓ＼up6(→））＜0③ｂ＝３，c=３eq\r（3),Ｂ=30°④taｎA(yù)＋tａnB＋taｎC>0.［答案］④[解析］若A為銳角，則sinA+ｃosA>1，∵ｓinA＋cosＡ＝eｑ＼f(1，５），∴A為鈍角，∵ｅq\o(AB,＼s\ｕp6（→)）·ｅq\o(ＢＣ，＼s\up６（→))〈0，∴eｑ\o(ＢA,\s\ｕp６（→））·ｅｑ\ｏ(BC,＼s\up6(→））〉0，∴∠B為銳角，由∠B為銳角得不出△ABC為銳角三角形；由正弦定理ｅq\f（ｂ，ｓinB)＝eｑ\f（c，sinC)得，eq\f（３,sin30°)=ｅq＼f(３\ｒ（3），sinC），∴siｎC＝eq\ｆ(\r（３），2),∴C=60°或12０°,∵c·ｓｉnＢ=eｑ\f（3＼r（3)，２），3〈ｅｑ\f（3\r（3）,２)<3eq\r（3)，∴△ＡBC有兩解，故①②③都不能得出△ABＣ為銳角三角形.④由tanA＋tａnB+ｔanC＝tａｎ（A＋Ｂ）（１－ｔanAtａnＢ)+taｎC＝-taｎC（1－tａnＡtanB）+ｔanC＝ｔaｎA(yù)tanBtａnC＞0，及A、Ｂ、C∈（0,π），Ａ＋B+C＝π知Ａ、B、Ｃ均為銳角,∴△ＡBC為銳角三角形.已知平面向量a=（1,x），ｂ=（2ｘ＋3，-x）．（1)若a⊥b，求ｘ的值。（2）若a∥ｂ，求｜a-b｜．［解析］（1)若a⊥ｂ，則a·b＝（1，x)·(２x+3,—x)=1×（2x+3）＋x（—x）＝0，整理得x2—2x－３＝0，解得x＝－1或ｘ=３．(2）若a∥ｂ，則有1×(－x）-x（2x＋３)=0,則ｘ（2x＋４)=0,解得ｘ＝0或x=—2,當x=０時,ａ＝（1,0）,b=(３，０)，∴|ａ－b|＝|（1,０）－(3，０）｜＝|（－2，0）｜=eｑ\r(—22+02）=２，當x=－2時，a＝（1，－２)，b=(－1，2）,∴｜a-b｜＝|（1,－2）-（－1，2）｜=｜(2,－4)｜=eq\ｒ(22+—４2)＝2eq\ｒ(５）。已知向量a=（ｓinｘ，－１）,b＝（eq\r(3）ｃosx，－eq＼f（1,2）），函數(shù)f（x）=（ａ+b）·a－2。(１）求函數(shù)f(ｘ）的最小正周期T；（２）將函數(shù)ｆ（x）的圖象向左平移eq\f（π，6)上個單位后,再將所得圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的３倍,得到函數(shù)g(ｘ）的圖象,求函數(shù)ｇ(x)的解析式及其對稱中心坐標.[解析](1)f（x)＝(a＋b)·a-２=a2＋a·b-2=sin2ｘ+1+ｅq＼r（3）sinxcosｘ＋eq\f(1,2)－２=eq\f(1－ｃos2ｘ，2）＋eq＼f（＼ｒ（3）,2)siｎ2ｘ-eq\f（1,2)＝eｑ\ｆ(\r（3)，2）ｓiｎ2x—eq\f（1,2)cos2ｘ=sｉn(２x－ｅq＼ｆ（π，６)）,∴周期T＝ｅｑ\f（2π，2）＝π。（2)向左平移eq\ｆ（π，6）個單位得，y＝ｓiｎ［2（x+eｑ\f(π，6）)—eq\f（π,6)]＝ｓｉｎ（２x＋ｅq＼ｆ（π，6)),橫坐標伸長為原來的３倍得，g(ｘ)=siｎ（eq\f(2，３)ｘ+ｅｑ＼f(π,6)），令eq\f（２，３）x+eq\f(π,６)＝kπ得對稱中心為(ｅｑ\f（3kπ，2）－eq＼f（π，４),0），k∈Z。（文)三角形的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，設(shè)向量m＝(ｃ-a,b－ａ)，n=(ａ＋b,c），若m∥ｎ。（1）求角B的大小;(2)若sｉｎA(yù)+sｉnC的取值范圍。[解析](１)由m∥n知eq\ｆ（c－a，ａ＋b）=eｑ\f(b-ａ，ｃ)，即得b2=a2＋c2－aｃ，據(jù)余弦定理知cosB＝eq\f(1，2),得Ｂ=ｅq\f（π,３).(2)sinA+sinC=siｎＡ＋sin(Ａ＋B）=siｎA(yù)+sin(A+eq\f（π，3))=sｉnA+ｅq\f（１，2)sinA＋eｑ\f（\ｒ(3),2)cｏsA=ｅq\f(3,2）sinＡ+ｅq\ｆ(\r（3)，２)cosA=eq\r（3)sin（A+eq\ｆ(π，6)）,∵Ｂ=eｑ\f(π,3），∴Ａ＋C=ｅq\f（2π，３）,∴A∈(0，eｑ\ｆ(2π,3)），∴A＋eq\ｆ（π，6）∈(eｑ\f（π,6)，ｅq\f(5π，6)）,∴sin（A+ｅq\f（π，6)）∈(eq\f（1，２)，1］，∴ｓiｎA(yù)＋siｎＣ的取值范圍為（ｅq\f（\ｒ（３）,2），eq\r（3)]．(理)在鈍角三角形AＢC中，a、ｂ、c分別是角A、Ｂ、C的對邊,ｍ＝(2b－c，cosＣ)，ｎ=（a，cosＡ),且m∥n。(1)求角A的大?。唬ǎ玻┣蠛瘮?shù)ｙ=2sｉn2B＋ｃoｓ（ｅq\ｆ(π，３）-２B）的值域．[解析］（1)由ｍ∥ｎ得(2b－c）cosA－acosＣ=0，由正弦定理得2ｓiｎBcosA－ｓｉｎCcoｓＡ－ｓinAcｏsC＝0，∵sin(Ａ+C)=ｓinB，∴2sｉnBcosA－siｎB＝0,∵B、Ａ∈(0，π），∴ｓinB≠０，∴A=eq＼f(π,3）。(2)y=1－cｏs2B+eq\f(1,2)cos2B+ｅq\ｆ（\ｒ（3），2）ｓｉn2B=1－eq\f（１，2）cｏs2Ｂ＋eｑ\ｆ(\ｒ（３)，2）sin2Ｂ=sin(2B-eq\f（π，6）)+１,當角B為鈍角時，角C為銳角,則eq\b\lc＼｛＼rc＼(＼a\ｖｓ4\ａｌ＼co1(\f（π，２)<Ｂ＜π,０<\ｆ（２π，3)－B〈\f(π,２）))?eｑ\f（π，2）<B<eq\f（2π,３）,∴eq＼ｆ(５π，6)＜2B－eｑ\f（π,6)<ｅｑ\ｆ（7π,6），∴sｉn（2B－ｅq＼f（π,6））∈（－eq＼ｆ(1,２），ｅq＼f（1,2)），∴y∈（ｅq\f(1，2），eq＼ｆ（3，2））．當角Ｂ為銳角時，角C為鈍角,則eq＼b\ｌc\{\rｃ\（\a\ｖｓ４\al\cｏ１(０<Ｂ〈\f（π,2），\f(π,2）〈\f（2π,3)—Ｂ〈π)）?0〈B〈ｅq\f（π,６)，∴-eｑ\ｆ(π,6）＜２B－eq\ｆ（π，6)<ｅｑ\f(π,６），∴sin(2B—eq＼f(π，6））∈（—eq\f(１，2）,ｅｑ\f（1，2)）,∴y∈（ｅq\f（1,2),eq\f(３，2）)，綜上，所求函數(shù)的值域為（ｅq\f（1，2),eq\f(３,2）)．設(shè)函數(shù)f（x）=ａ·b,其中向量a＝（２cosx，1），b＝（coｓx，eq\r（3）ｓin2x）,ｘ∈R。（1）若f（ｘ）＝１－eq＼r(3)且ｘ∈［—eｑ\f(π，3），ｅq\ｆ（π,3）］,求x；（2)若函數(shù)y＝2sin2x的圖象按向量c＝(m,ｎ）（｜m｜<eq＼f(π，2））平移后得到函數(shù)y=ｆ（ｘ）的圖象，求實數(shù)m、n的值.[解析]（1）依題設(shè)，f(ｘ)=2cos2x+eq\r（3)ｓin2x=１＋２sｉn(2x+eq\ｆ（π，6))。由1＋2sin（2x+eq\f（π,6)）＝1－eq\ｒ（3),得siｎ（２x＋eｑ\f（π，6)）=－eq\f(\r（3)，2），∵－ｅq\f(π，3)≤x≤ｅq\ｆ（π，3），∴－eｑ＼ｆ(π,2)≤2x+ｅq\f（π，6)≤ｅq\f（5π,６)，∴2ｘ＋eq\ｆ（π，6)=—eq＼ｆ(π，３)，即x=－ｅq\f(π，４).（2)函數(shù)y=２sin2x的圖象按向量c＝(m,ｎ)平移后得到函數(shù)ｙ＝2ｓin２（ｘ－m）＋ｎ的圖象，即函數(shù)y＝f（x)的圖象．由(1）得ｆ(x）=2sin2（x+ｅｑ\f(π，12））+1。∵|m｜<ｅq\f（π，2），∴m=－eq\f（π，1２),n＝1.已知向量eq\o（OＰ,\s\up6(→）)=(２cosx＋1，cｏs２x-ｓｉｎx＋１），eq\o（OQ,\s\up6(→))＝（ｃoｓx，－１）,f（x）＝eq＼o（OP，\s\ｕp6(→))·eq\o（OＱ,\ｓ\up６(→）)．（１）求函數(shù)f(ｘ)的最小正周期；（２）當x∈［０，eｑ\f（π，2)]時,求函數(shù)ｆ（ｘ）的最大值及取得最大值時的x值．［解析］(1）∵ｅq＼o(ＯＰ，\s\ｕｐ6（→）)=（２cosx+1，cos2x-ｓｉnx＋1）,ｅq\ｏ（OＱ,＼ｓ\ｕp6(→）)＝（cosｘ，—1），∴ｆ(x)＝eq＼o(ＯP,\s\up6（→）)·eq\o（OQ，\s\up6（→））=（2cosx+１)cｏｓx-(cos２x—siｎx＋1）＝2cｏs2x＋cｏsｘ—cｏs2x＋sinx—1=ｃｏsx＋sinｘ＝eq\r（２）ｓｉn（x＋eｑ\ｆ(π,4)）,∴函數(shù)f（x）最小正周期T=２π。(2）∵x∈［0,eq\ｆ(π，2）］，∴x＋eq\f（π，４）∈[eｑ\ｆ（π，4)，eq＼ｆ(３π，4)］，∴當x＋eｑ＼ｆ(π，４）＝ｅq\f（π，2)，即x＝eq\ｆ（π,4)時,ｆ（x)=eq\r(２)ｓin（x＋eｑ＼f（π,４）)取到最大值eq\r（2).△ABC的三個內(nèi)角A、Ｂ、C所對的邊分別為a、ｂ、c,向量ｍ＝(—1，１）,ｎ=(ｃosＢｃoｓＣ，ｓｉｎBsｉnC－eq\ｆ(\r（３),2）)，且m⊥n。（1）求Ａ的大?。唬?）現(xiàn)在給出下列三個條件：①a=１；②2ｃ－(eｑ＼r（3)+1）b=0；③Ｂ=４５°,試從中選擇兩個條件以確定△ＡBC,求出所確定的△ABC的面積．(注：只需要選擇一種方案答題，如果用多種方案答題，則按第一方案給分)。[解析］(1）因為m⊥n，所以—cｏsＢcosC＋sｉnBsinＣ-ｅq\f(\ｒ(3)，2）=0，即cosBｃｏｓC—ｓinBsiｎC＝－eｑ＼f（\r(3)，2)，所以cos(B＋C）=－eq\f（\r（3），2），因為A＋Ｂ＋Ｃ=π，所以coｓ（B＋C)＝-cｏｓA,所以cosＡ＝eｑ\f（\r（3），2）,Ａ=30°。（2)方案一：選擇①②，可確定△ＡＢC,因為A＝3０°，a=１，2c-(eq\r（3)+1）b=0，由余弦定理得,１2＝ｂ2＋(eｑ\f(\r(3)＋１，2）ｂ）2-2b·eq＼f(\r（3）＋1,２)b·eq\f（\r(3),２）解得b=eq\r(2），所以c=eq\f(\ｒ（６)+＼r(2),2），所以S△ABC=eq\f(１，2）ｂcsiｎA(yù)＝eｑ＼f（1,2)·eq\ｒ（2）·ｅq\ｆ(\r（6）＋\r（２），２）·eq\f（1，2)＝eｑ\f（\ｒ（3）+1,4),方案二：選擇①③,可確定△ABＣ，因為Ａ=30°,ａ＝１，Ｂ=45°，Ｃ＝105°，又sin１05°＝sin(４５°＋60°）＝sｉn45°coｓ6０°＋cos45°ｓｉn60°=eｑ＼ｆ（＼r(6）+＼r(2），4)，由正弦定理c=eq\f(asinC,sinＡ）＝eq\f（１·sin1０５°，sin30°)＝eｑ\f(\r(6)＋\r（2）,2），所以Ｓ△AＢＣ＝eq\f(1,2)acsinB=eq\f（1,2）·1·eq\f(＼r(6)+\r(２)，2)·eq\f(\r（2），２）＝ｅq\f(\ｒ(3）+１，4)．（注意:選擇②③不能確定三角形)（理）如圖,⊙O方程為x２＋ｙ2＝4,點Ｐ在圓上，點Ｄ在x軸上，點Ｍ在DP延長線上,⊙Ｏ交y軸于點N，eq\o（DＰ,\s\up6（→））∥eq\o(ＯN，\ｓ\ｕｐ6（→)）,且ｅq\o（DM,＼s\uｐ6（→）)=eｑ\f（3，2)eq\ｏ(DP,＼ｓ＼uｐ6(→）).（1)求點M的軌跡C的方程;（2)設(shè)Ｆ1（０，eq\r(5))、F2（0,－eq＼r（5))，若過F1的直線交(１）中曲線C于A、B兩點,求ｅq\o（F2A，\s\ｕp6（→）)·eq\o(F2B,＼s＼up６（→)）的取值范圍.［解析］（1）設(shè)P（x0，y0），M（x，y）,∵eｑ\o(DM,\s\up6（→））=eq\f(3,２）ｅq＼o（ＤP,\s\ｕp6（→))，∴eq\b\ｌc\｛＼rc\（＼ａ＼vs4＼ａl\co1（y=＼ｆ（3，2）ｙ0，x=ｘ０)），∴eq\b\lc\{＼ｒｃ\（\ａ＼vｓ4＼ａｌ\cｏ１(y0=＼ｆ(2,３)ｙ，ｘ0=x）），代入xeｑ\o＼aｌ(2，0)＋yeq\o\aｌ(2,0)＝4得,ｅｑ＼f(x2,4)+ｅq\f(y２，9)＝１．(2）①當直線AB的斜率不存在時,顯然eq\o(Ｆ2A，\s\ｕｐ6(→)）·eq＼o（F2B,\s＼ｕp6（→））＝－4，②當直線ＡＢ的斜率存在時，不妨設(shè)ＡB的方程為:y＝kｘ＋eq\r(５)，由eq\b＼lc\｛＼ｒc\(\ａ\vs4\al＼co1（y=kｘ+\r(5），＼f（x2，4)+＼ｆ（y２，9)＝1)）得,(9＋４k２)x2＋8eｑ\r（5）ｋx-１6=0，不妨設(shè)A1（ｘ１,y1）,B（ｘ2,ｙ2)，則eq\b\lc\｛\rc＼(＼a\vｓ4＼al＼cｏ1（ｘ1+x2=\f（—8\r（5）ｋ,9＋4k2)，ｘ1x2=\ｆ（-1６，9＋4k2）)）,eq\o（F２A，\s\ｕｐ6(→）)·eq\ｏ(F2B,\ｓ\up６（→））＝（x1，y1＋eq\ｒ（５）)·(x２，y２＋eq\r（5）)=（x１,kｘ1+2ｅq\ｒ(5））·（ｘ2,ｋｘ2＋2ｅq＼r(5））=（１＋k２）x1x2+2eq\r(5）k（x1+x2）+20=eq\f（－161+k2,９＋4k2)+eq\ｆ（－80k2，9＋4k2）+20＝eq＼f(-96k2-1６，9＋4ｋ2）＋20＝－4+eｑ\f（２00,9＋4k2),∵ｋ2≥0,∴9+４ｋ２≥9,∴0＜eq\f（2０0，9＋4k2）≤eq\f（20０，９），∴-４〈ｅq\o(F2A，\s\ｕｐ6（→)）·eq\o