等差數(shù)列的前n項和教學(xué)設(shè)計

PAGE2.2.2等差數(shù)列的前n項和教學(xué)設(shè)計【課程分析】本節(jié)是高考中的重點內(nèi)容之一，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和通項公式的基礎(chǔ)上，進一步解決有關(guān)的計算和實際問題.重點為等差數(shù)列的前n項和公式及其推導(dǎo)過程.難點為靈活運用等差數(shù)列的求和公式解決相關(guān)問題.【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項公式，有了一定的準(zhǔn)備知識，但對等差數(shù)列的求和的方法和公式還是一無所知。針對學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學(xué)方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識，為學(xué)生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學(xué)生去感悟倒序相加法的使用范圍.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導(dǎo)公式的思想方法和過程.2、能用等差數(shù)列求和公式進行有關(guān)的計算，會運用公式解決有關(guān)的實際問題.3、在解決實際問題的過程中，體會如何去分析問題，解決問題，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高綜合能力.4、體會數(shù)學(xué)的文化價值，增強自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【設(shè)計理念】從實例引出求等差數(shù)列前n項和的問題，通過這個實例的解答，使學(xué)生了解“等差數(shù)列的前n項和公式”的意義，并給出倒序相加求和的方法，增強學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建能力.例2及“思考與討論”討論的是同一個問題，設(shè)計的意圖是先借助實例，從具體到抽象，研究下面一組問題：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn公式，這個數(shù)列是確定的，并且這個數(shù)列的通項公式可以表示成an=eq\b\lc\{(\a\al(S1（n=1）,Sn－Sn-1（n≥2）))，當(dāng)n=1時，如果Sn－Sn-1的值等于S1，那么an=Sn－Sn-1（n∈N+）即為所求通項公式.學(xué)生比較容易接受，另外，通過組織學(xué)生的討論，能增強學(xué)生的合作意識.【教學(xué)流程】一、復(fù)習(xí)舊知每個學(xué)生發(fā)一張白紙，同時讓兩個學(xué)生在黑板上板演，教師說檢測內(nèi)容：①等差數(shù)列的定義及定義式；②等差數(shù)列的通項公式；③等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法.（設(shè)計意圖：檢查學(xué)生掌握上節(jié)知識的情況，為本節(jié)新課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備.）（簡要實錄：學(xué)生認(rèn)真做答，教師巡視，2分鐘后，看到學(xué)生做答完畢，讓學(xué)生將檢測紙收起來.之后，教師和學(xué)生一起對黑板上的做答評價，訂正.）二、引入新課1、創(chuàng)設(shè)情境：出示投影：如圖1堆放著一堆鋼管，最上層放了4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層，這堆鋼管共有多少根？圖1圖2（設(shè)計意圖：從實例引出求等差數(shù)列前n項和的問題，通過這個實例的解答，使學(xué)生了解“等差數(shù)列的前n項和公式”的意義.）（簡要實錄：教師引導(dǎo)學(xué)生，這堆鋼管從上至下每層的數(shù)量組成首項a1=4，公差的等差數(shù)列.求這堆鋼管有多少根，就是求這個等差數(shù)列前8項的和，怎樣求這8項的和？學(xué)生開始小組討論，3分鐘后，小組代表紛紛發(fā)言，說出自己的思路.有的學(xué)生提出，可以聯(lián)系三角形面積的得出辦法，補成平行四邊形，利用平行四邊形面積的一半得出.）教師小結(jié)：很好，借助此思路，在這堆鋼管旁，再堆放同樣數(shù)量的鋼管，如圖2這時每層都有鋼管（4＋11）根，因此這堆鋼管的總數(shù)是（4＋11）×8÷2=eq\f(4＋11,2)×8=60（根）.教師提出問題：對于等差數(shù)列{an}的前n項和Sn怎樣求解？教師提示：a1＋an=a2＋an－1=a3＋an－2=…，學(xué)生小組討論，由小組代表發(fā)言，說出推導(dǎo)思路：Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an，①再把項的順序反過來，Sn又可寫成Sn=an＋an－1＋an－2＋…＋a1，②把①②兩邊分別相加，得2Sn=n（a1＋an），由此得到，求等差數(shù)列前n項和Sn公式Sn=eq\f(n（a1＋an）,2).若將an=na1＋（n－1）d代入得等差數(shù)列前n項和的又一公式Sn=na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.教師讓學(xué)生記憶公式并在筆記本上默寫.出示投影：例1：等差數(shù)列{an}的公差為2，第20項a20=29，求前20項的和S20.（設(shè)計意圖：此題屬于在等差數(shù)列中的五個量a1，an，n，d，Sn“知三求二”的題目，目的在于訓(xùn)練學(xué)生對等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的綜合應(yīng)用能力.）（簡要實錄：教師引導(dǎo)，讓學(xué)生得出解題的關(guān)鍵是通過通項公式解出a1，之后2個學(xué)生板演，其他同學(xué)在習(xí)題本上做，最后讓學(xué)生看課本上的解答過程并進行訂正.）出示投影：例2：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2－30n.（1）這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？求出它的通項公式；（2）求使得Sn最小的序號n的值.（設(shè)計意圖：讓學(xué)生認(rèn)識到：如果數(shù)列{an}的前n項和Sn已定，那么這個數(shù)列就確定了，利用二次函數(shù)來解決等差數(shù)列的前n項和的最值問題.）（簡要實錄：教師引導(dǎo)，讓學(xué)生得出解題的關(guān)鍵是通過通項公式解出a1，之后2個學(xué)生板演，其他同學(xué)在習(xí)題本上做，最后看課本解答過程訂正.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮其他解決辦法，有一個小組的學(xué)生代表得出解決等差數(shù)列的前n項和存在最值問題.方法一：類似于二次函數(shù)，利用配方法求頂點坐標(biāo)，但數(shù)列中n∈N+.方法二：先求通項公式，若eq\b\lc\{(\a\al(an≥0,an＋1＜0))，則數(shù)列的前項和最大；若eq\b\lc\{(\a\al(an≤0,an＋1＞0))，則數(shù)列的前n項和最小.全體同學(xué)都表示贊同，并給予熱烈的掌聲.教師也給予肯定，指出方法一抓住了前n項和公式的結(jié)構(gòu)特點，轉(zhuǎn)化到學(xué)生最熟悉的一元二次函數(shù)，通過配方法來解決；方法二是找項值的正、負(fù)分界點，計算簡單.）出示投影：思考與討論：1、如果已知數(shù)列{an}的前n項和Sn公式，那么這個數(shù)列確定了嗎？如果確定了，那么如何求它的通項公式？應(yīng)注意一些什么問題？2、如果一個數(shù)列的前n項和Sn=an2＋bn＋c（a、b、C為常數(shù)），那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？（設(shè)計意圖：從例2到“思考與討論”，是讓學(xué)生從具體到抽象，借助實例研究問題.）（簡要實錄：學(xué)生分成小組討論，氣氛非?；钴S，各小組的成員紛紛發(fā)表自己的想法.結(jié)合例2，最終得出正確結(jié)論：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn公式，這個數(shù)列是確定的，并且這個數(shù)列的通項公式可以表示成an=eq\b\lc\{(\a\al(S1（n=1）,Sn－Sn-1（n≥2）))，當(dāng)n=1時，如果Sn－Sn-1的值等于S1，那么通項公式才能寫成an=Sn－Sn-1（n∈N+）.）教師強調(diào)：等式an=Sn－Sn-1中的限制條件為n≥2，同學(xué)們易忽視而導(dǎo)致有些題目得出錯誤的通項公式.出示投影：例3：李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”.從8月1號開始，每個月的1號都存入100元，存期三年.（1）已知當(dāng)年“教育儲蓄”存款的月利率是2.7‰，問到期時，李先生一次可支取本息共多少元？（2）已知當(dāng)年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725‰，問李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益多少元？（設(shè)計意圖：存款問題是數(shù)列中非常典型的應(yīng)用問題，通過此題讓學(xué)生認(rèn)識到“等差數(shù)列的前n項和公式”在解決實際問題中的作用，會選擇最佳方案.體會知識是由實踐到理論，再作用于實踐不斷循環(huán)提煉而成的辨證唯物主義觀點.）（簡要實錄：教師引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生思考并積極發(fā)言.教師點出解決的關(guān)鍵是將實際問題化成數(shù)學(xué)問題，最后投影完整的解答過程.）3.鞏固反饋：（課后練習(xí)A、B中部分題目）1、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn：（1）a1=6，d=3，n=10；（2）a1=2，an=6，n=8；（3）a4=10，a10=－2，n=12；2、計算1＋3＋5＋…＋（2n＋3）.3、求等差數(shù)列63，60，…，－12的各項的和.4、在2位正整數(shù)中，有多少個除以3余1的數(shù)？求它們的和.5、等差數(shù)列4，3，2，1，…前多少項的和是－18？6、求集合{m|m=7n，n∈N＋，且m＜100}的元素個數(shù)，并求這些元素的和.7、等差數(shù)列14，11，8，…前多少項的和最大？為什么？8、數(shù)列{an}中，已知Sn=eq\f(n＋1,n)，求{an}的通項公式.（設(shè)計意圖：講練結(jié)合，提高學(xué)生動手解題的能力，并把當(dāng)堂知識鞏固好，加強知識的落實.）（簡要實錄：點名讓8名同學(xué)到黑板板演，其他同學(xué)在習(xí)題本上做.學(xué)生都在迅速做答，10分鐘后，教師讓板演的學(xué)生講解自己的解題思路，師生共同訂正，點評出現(xiàn)的錯誤和解決的關(guān)鍵.）投影答案：1、（1）195；（2）72；（3）60.2、項數(shù)為n＋2，很多學(xué)生錯認(rèn)為n項.3、項數(shù)為26，和為663.4、項數(shù)為18，和為945.5、12.6、14，和為735.7、an=17－3n，∵a5＞0，a6＜0，∴前5項的和最大.8、an=eq\b\lc\{(\a\al(2（n=1）,eq\f(1,n)－eq\f(1,n－1)（n≥2）)).有些學(xué)生錯解為an=eq\f(1,n)－eq\f(1,n－1).4.反思小結(jié)：（設(shè)計意圖：提高學(xué)生對本節(jié)課的整體印象，鞏固知識要點，學(xué)會歸納系統(tǒng)知識.）（簡要實錄：教師讓學(xué)生思考1分鐘，讓學(xué)生自己來總結(jié)本節(jié)課的知識要點.學(xué)生主動站起來口述，其他學(xué)生補充.得出本節(jié)課的知識要點為（出示投影）：①等差數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)公式——倒序相加求法；②等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=eq\f(n（a1＋an）,2)=na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，a1，an，n，d，Sn中“知三求二”.③掌握求等差數(shù)列的前n項和最值問題的方法：方法一：類似于二次函數(shù)，利用配方法求頂點坐標(biāo)，但注意數(shù)列中n∈N+.方法二：先求通項公式，若eq\b\lc\{(\a\al(an≥0,an＋1＜0))，則數(shù)列的前項和最大；若eq\b\lc\{(\a\al(an≤0,an＋1＞0))，則數(shù)列的前n項和最小.）5.探究性作業(yè)（出示投影）1、已知兩個等差數(shù)列和的前n項和之比為eq\f(7n＋1,4n＋27)（n∈N*），則eq\f(a11,b11)等于（）A.eq\f(7,4)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,3)D.eq\f(78,71)2、設(shè)f（x）=eq\f(1,2x＋eq\r(2))，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的