河北省2023中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三單元函數(shù)第14講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用試題

PAGEPAGE4第14講二次函數(shù)的綜合應(yīng)用1．(2022·河北)某種正方形合金板材的本錢(qián)y(元)與它的面積成正比，設(shè)邊長(zhǎng)為x厘米，當(dāng)x＝3時(shí)，y＝18，那么當(dāng)本錢(qián)為72元時(shí)，邊長(zhǎng)為(A)A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米2．(2022·石家莊模擬)如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線(xiàn)形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4m時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2m，當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的寬度為(B)A．3mB．2eq\r(6)mC．3eq\r(2)mD．2m3．生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無(wú)利潤(rùn)時(shí)就會(huì)及時(shí)停產(chǎn)．現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，其中一年獲得的月利潤(rùn)y與月份n之間函數(shù)關(guān)系為y＝－n2＋14n－24，那么該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是(C)A．1月、2月、3月B．2月、3月、4月C．1月、2月、12月D．1月、11月、12月4．(2022·淄博模擬)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向B以2mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊BC向C以4mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過(guò)________秒，四邊形APQC的面積最小．(C)A．1B．2C．3D．45．(2022·濰坊模擬)心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念的時(shí)間x(分)之間的關(guān)系式為y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，假設(shè)要到達(dá)最強(qiáng)接受能力59.9，那么需13分鐘．6．(2022·營(yíng)口)某服裝店購(gòu)進(jìn)單價(jià)為15元童裝假設(shè)干件，銷(xiāo)售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)為25元時(shí)，平均每天能售出8件，而當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價(jià)為22元時(shí)，該服裝店平均每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．7．(2022·溫州)某農(nóng)場(chǎng)擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長(zhǎng))，中間用一道墻隔開(kāi)，并在如下圖的三處各留1m寬的門(mén)．方案中的材料可建墻體(不包括門(mén))總長(zhǎng)為27m，那么能建成的飼養(yǎng)室面積最大為75m2.8．(2022·泉州)某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，帶隊(duì)老師考問(wèn)學(xué)生：基地方案新建一個(gè)矩形的生物園地，一邊靠舊墻(墻足夠長(zhǎng))，另外三邊用總長(zhǎng)69米的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個(gè)寬為3米的出入口，如下圖，如何設(shè)計(jì)才能使園地的而積最大？下面是兩位學(xué)生爭(zhēng)議的情境：請(qǐng)根據(jù)上面的信息，解決問(wèn)題：(1)設(shè)AB＝x米(x＞0)，試用含x的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)；(2)請(qǐng)你判斷誰(shuí)的說(shuō)法正確，為什么？解：(1)設(shè)AB＝x米，可得BC＝69＋3－2x＝(72－2x)米．(2)小英說(shuō)法正確.矩形面積S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648,∵72－2x＞0，∴x＜36.∴0＜x＜36.∴當(dāng)x＝18時(shí)，S取最大值．此時(shí)x≠72－2x.∴面積最大的不是正方形．9．(2022·河北考試說(shuō)明)根據(jù)對(duì)市場(chǎng)物價(jià)調(diào)研，預(yù)計(jì)進(jìn)入夏季后的某一段時(shí)間，某批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)的甲種蔬菜的銷(xiāo)售利潤(rùn)y1(千元)與進(jìn)貨量x(噸)之間的函數(shù)y1＝kx的圖像如圖1所示，乙種蔬菜的銷(xiāo)售利潤(rùn)y2(千元)與進(jìn)貨量x(噸)之間的函數(shù)y2＝ax2＋bx的圖像如圖2所示．圖1圖2(1)分別求出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果該市場(chǎng)準(zhǔn)備進(jìn)甲、乙兩種蔬菜共10噸，設(shè)乙種蔬菜的進(jìn)貨量為t噸，寫(xiě)出這兩種蔬菜所獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)之和W(千元)與t(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出這兩種蔬菜各進(jìn)多少?lài)崟r(shí)，獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)由題意，得5k＝3，解得k＝0.6，∴y1＝0.6x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,25a＋5b＝6，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝2.2.))∴y2＝－0.2x2＋2.2x.(2)W＝0.6(10－t)＋(－0.2t2＋2.2t)＝－0.2t2＋1.6t＋6＝－0.2(t－4)2＋9.2.∴t＝4時(shí)，W最大＝9.2，此時(shí)10－t＝6.∴甲種蔬菜進(jìn)貨量為6噸，乙種蔬菜進(jìn)貨量為4噸時(shí)，獲得的銷(xiāo)售利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是9200元．10．(2022·臺(tái)州)豎直上拋的小球離地高度是它運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二次函數(shù)．小軍相隔1秒依次豎直向上拋出兩個(gè)小球．假設(shè)兩個(gè)小球離手時(shí)離地高度相同，在各自?huà)伋龊?.1秒時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度．第一個(gè)小球拋出后t秒時(shí)在空中與第二個(gè)小球的離地高度相同，那么t＝1.6．提示：設(shè)各自?huà)伋龊?.1秒時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度為h，這個(gè)最大高度為h，那么小球的高度y＝a(t－1.1)2＋h，由題意，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h，解得t＝1.6.故第一個(gè)小球拋出后1.6秒時(shí)在空中與第二個(gè)小球的離地高度相同．故答案為1.6.11．(2022·保定一模)如圖1所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線(xiàn)BE－ED－DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒．設(shè)P，Q同時(shí)出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2.y與t的函數(shù)關(guān)系圖像如圖2(曲線(xiàn)OM為拋物線(xiàn)的一局部)，那么以下結(jié)論：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝eq\f(3,5)；③當(dāng)0＜t≤5時(shí)，y＝eq\f(2,5)t2；④當(dāng)t＝eq\f(29,4)秒時(shí)，△ABE∽△QBP.其中正確的結(jié)論是(C)A．①②③B．②③C．①③④D．②④提示：根據(jù)圖2可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C，從而得到BC，BE的長(zhǎng)度，再根據(jù)M，N是從5秒到7秒，可得ED的長(zhǎng)度，然后表示出AE的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各小題分析解答即可．12．(2022·十堰)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線(xiàn)y＝ax2＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－3)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)(0，2)且垂直于y軸的直線(xiàn)，過(guò)P作PH⊥l，垂足為H，連接PO.(1)求拋物線(xiàn)的解析式，并寫(xiě)出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)處時(shí)，計(jì)算：PO＝5，PH＝5，由此發(fā)現(xiàn)，PO＝PH(填“＞〞“＜〞或“＝〞)；②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜測(cè)PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測(cè)；(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)C(1，－2)，問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．圖1圖2解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝ax2＋1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4，－3)，∴－3＝16a＋1.∴a＝－eq\f(1,4).∴拋物線(xiàn)解析式為y＝－eq\f(1,4)x2＋1，頂點(diǎn)B(0，1)．(2)②結(jié)論：PO＝PH.理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m，－eq\f(1,4)m2＋1)，∵PH＝2－(－eq\f(1,4)m2＋1)＝eq\f(1,4)m2＋1，PO＝eq\r(m2＋〔－\f(1,4)m2＋1〕2)＝eq\f(1,4)m2＋1，∴PO＝PH.(3)∵BC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AB＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴BC＝AC.∵PO＝PH，又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∴PH與BC，PO與AC是對(duì)應(yīng)邊．∴eq\f(PH,HO)＝eq\f(BC,BA).∵P(m，－eq\f(1,4)m2＋1)，∴eq\f(\f(1,4)m2＋1,\r(m2＋4))＝eq\f(\r(10),4\r(2)).解得m＝±1.∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(1，eq\f(3,4))或(－1，eq\f(3,4))．13．(2022·唐山路南區(qū)二模)某公司銷(xiāo)售的一種時(shí)令商品每件本錢(qián)為20元，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析，5月份的日銷(xiāo)售件數(shù)為－2t＋96(其中t為天數(shù))，并且前15天，每天的價(jià)格y1(元/件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式為y1＝eq\f(1,4)t＋25(1≤t≤15，且t為整數(shù))，第16天到月底每天的價(jià)格y2(元/件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式為y2＝－eq\f(1,2)t＋40(16≤t≤31，且t為整數(shù))．根據(jù)以上信息，解答以下問(wèn)題：(1)5月份第10天的銷(xiāo)售件數(shù)為76件，銷(xiāo)售利潤(rùn)為570元；(2)請(qǐng)通過(guò)計(jì)算預(yù)測(cè)5月份中哪一天的日銷(xiāo)售利潤(rùn)W最大，最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？(3)在實(shí)際銷(xiāo)售的前15天中，該公司決定每銷(xiāo)售一件商品就捐贈(zèng)m元利潤(rùn)(m＜4)給希望工程．公司通過(guò)銷(xiāo)售記錄發(fā)現(xiàn)，前15天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷(xiāo)售利潤(rùn)W隨t的增大而增大，求m的取值范圍．解：(2)設(shè)前15天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W1，后15天日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W2.當(dāng)1≤t≤15時(shí)，W1＝(－2t＋96)(eq\f(1,4)t＋5)＝－eq\f(1,2)t2＋14t＋480＝－eq\f(1,2)(t－14)2＋578，∴當(dāng)t＝14時(shí)，W1有最大值578元；當(dāng)16≤t≤31時(shí)，W2＝(－2t＋96)(－eq\f(1,2)t＋20)＝t2－88t＋1920＝(t－44)2－16，∵16≤t≤31且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t＝44，∴函數(shù)W2在16≤t≤31上隨t的增大而減小．∴當(dāng)t＝16時(shí)，W2有最大值為768元．∵768＞578，故第16天時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，為768元．(3)W3＝(－2t＋96)(eq\f(1,4)t＋5－m)＝－eq\f(1,2)t2＋(14＋2m)t＋480－96m，∴對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)t＝14＋2m.∵1≤t≤15，∴14＋2m≥15，∴m≥0.5時(shí)，W3隨t的增大而增大．又∵m＜4，∴0.5≤m＜4.14．(2022·紹興)課本中有一個(gè)例題：有一個(gè)窗戶(hù)形狀如圖1，上部是一個(gè)半圓，下部是一個(gè)矩形，如果制作窗框的材料總長(zhǎng)為6m，如何設(shè)計(jì)這個(gè)窗戶(hù)，使透光面積最大？這個(gè)例題的答案是：當(dāng)窗戶(hù)半圓的半徑約為0.35m時(shí)，透光面積的最大值約為1.05m2.我們?nèi)绻淖冞@個(gè)窗戶(hù)的形狀，上部改為由兩個(gè)正方形組成的矩形，如圖2，材料總長(zhǎng)仍為6m利用圖3，解答以下問(wèn)題：(1)假設(shè)AB為1m，求此時(shí)窗戶(hù)的透光面積；(2)與課本中的例題比擬，改變窗戶(hù)形狀后，窗戶(hù)透光面積的最大值有沒(méi)有變大？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明．圖1圖2圖3解：(1)由得AD＝eq\f(5,4)，∴S＝eq\f(5,4)m2.(2)