2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)解析幾何?？紗?wèn)題第1講中心弦與中點(diǎn)弦

/14/14/第1講中心弦與中點(diǎn)弦典型例題【例1】已知橢圓,點(diǎn)為其長(zhǎng)軸的6等分點(diǎn),分別過(guò)這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線,交橢圓于點(diǎn),則直線,這10條直線的斜率的乘積為（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖,由橢圓對(duì)稱性知,,所以它們的斜率兩兩相等,由橢圓中心弦性質(zhì),所求的10條直線的斜率乘積為【例2】曲線的頂點(diǎn)為為雙曲線右支上一點(diǎn),直線交曲線的一條漸近線于點(diǎn).若的斜率分別為,且,則雙曲線的離心率為（ ）【答案】【解析】由于是雙曲線的中心弦,所以,所以,所以.【例3】已知是橢圓上的兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)在直線上,則直線與軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)取值范圍是（ ）【答案】【解析】解法記的中點(diǎn)為.由點(diǎn)差法得,所以.所以的方程.令,所以.又中點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部,故有,所以.所以.解法2由題意知的斜率存在,設(shè)直線方程為.由線段的中點(diǎn)在直線上,所以.【例4】過(guò)點(diǎn)的兩條直線分別與雙曲線相交于點(diǎn)和點(diǎn),滿足且.若直線的斜率,則雙曲線的離心率是（ ）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】1由且1),得.由雙曲線的平行弦性質(zhì)得,所以,所以.【解析】2設(shè)點(diǎn),.因?yàn)?所以則,兩式相減得(2)又，兩式相減得.將(1)式代人得(3)由(2)(3)兩式得.【例5】如圖,過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)分別作軸、的垂線交橢圓于點(diǎn),連結(jié)交于點(diǎn).若,則橢圓的離心率是（ ）【答案】【解析】設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),.,則.再由三點(diǎn)共線,則.故,即.又由中心弦的性質(zhì)知,.所以,故橢圓的離心率是.【例6】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,直線與橢圓交于兩點(diǎn),且的重心恰為點(diǎn),則直線的斜率為（ ）【答案】.【解析】解法1：易知點(diǎn),延長(zhǎng)交于點(diǎn),故為的中點(diǎn)..所以點(diǎn),由橢圓中的中點(diǎn)弦性質(zhì)知,,所以.解法2：點(diǎn).設(shè)直線. 得.又解得.【例7】已知橢圓上的三點(diǎn),斜率為負(fù)數(shù)的直線與軸交于點(diǎn).若原點(diǎn)是的重心，且與的面積之比為,試求直線的斜率.【答案】【解析】如圖,延長(zhǎng)交于點(diǎn),則為的中點(diǎn).由于與的面積之比為,所以.因?yàn)?所以.設(shè)點(diǎn),則點(diǎn).由得點(diǎn),所以,即由中點(diǎn)弦性質(zhì)知,,所以.【例8】如圖,已知橢圓,過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為.設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為,連結(jié)得到直線,交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn).(1)若,求直線的斜率;(2)分別記的面積為,求的最大值.【答案】;2.【解析】(1)方法1點(diǎn),,所以直線的方程為. 則,解得,因此,直線的斜率為.方法2設(shè)點(diǎn),.由中心弦性質(zhì)得.又因?yàn)辄c(diǎn),所以點(diǎn).所以,于是.(2)由題意得點(diǎn),,則.又因?yàn)?所以,所以.故直線的方程為.令,得點(diǎn).令,得點(diǎn).所以.又因?yàn)?所以.所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào),所以的最大值為.【例9】已知為橢圓的左、右頂點(diǎn),為橢圓的上頂點(diǎn),為直線上的動(dòng)點(diǎn),與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程;(2)證明直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1);(2).【解析】(1)由題意得點(diǎn),1),則.因?yàn)?即,所以.故橢圓的方程為.(2)方法1由橢圓中心弦性質(zhì)得.設(shè)點(diǎn),所以,所以,所以.設(shè)點(diǎn),直線的方程為.,得.從而.因?yàn)?所以.所以直線的方程為,即直線過(guò)定點(diǎn).方法2由題意知點(diǎn).設(shè)點(diǎn),則直線的方程為..所以,得,即點(diǎn).由題意得點(diǎn),所以直線的方程為..所以,得,所以點(diǎn).所以直線的斜率為所以直線的方程為,顯然過(guò)定點(diǎn).【例10】如圖,是橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且線段的中點(diǎn)在直線上.(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的取值范圍.【答案】(1)或；(2).【解析】1(1)因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以可設(shè)點(diǎn).代人橢圓方程,得或,則點(diǎn)坐標(biāo)為或,所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.(2)方法1當(dāng)直線垂直于軸時(shí),直線的方程為,此時(shí).當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的斜率為,點(diǎn).點(diǎn),由中點(diǎn)弦性質(zhì)知,,所以.此時(shí),直線的方程為,即.得.故,所以..于是.令,所以.于是方法當(dāng)直線垂直于軸時(shí),直線的方程為,此時(shí).當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè)直線的斜率為,點(diǎn).由點(diǎn)差法得.此時(shí),直線的方程為.記直線.得,,..而,所以.令,所以.