三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計（第1課時）（高碩）-高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊小單元教學(xué)專家指導(dǎo)（視頻教案）

5.7三角函數(shù)的應(yīng)用第一課時教學(xué)設(shè)計一、內(nèi)容和及其解析（一）教學(xué)內(nèi)容本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第五章《三角函數(shù)》的第七節(jié)《三角函數(shù)的應(yīng)用》。（二）教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的前提下來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，通過例題,循序漸進(jìn)地介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實性和新穎性,同時又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識解決問題的能力.進(jìn)一步突出函數(shù)來源于生活應(yīng)用于生活的思想培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力.二、教學(xué)目標(biāo)及解析（一）教學(xué)目標(biāo)會通過建立三角模型，解決實際問題。體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．掌握對函數(shù)圖像的應(yīng)用，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng)能力。通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用，能使學(xué)生學(xué)會把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)解析①要讀懂題目所要反映的實際問題的背景，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，根據(jù)相等關(guān)系或不等關(guān)系列式.②在建立三角函數(shù)模型這一關(guān)鍵步驟上，要充分運用數(shù)形結(jié)合的思想來打開思路，解決問題.③在應(yīng)用研究數(shù)學(xué)知識解決實際問題時，應(yīng)當(dāng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助解決問題.④實際問題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此可能需要用到計算機(jī)或計算器.三、教學(xué)問題診斷分析問題1如何理解函數(shù)中，的物理意義．突破：通過對彈簧振子振動、及交變電流兩個物理問題來說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用．包括函數(shù)模型的擬合、作散點圖、確定參數(shù)從而確定出相應(yīng)的函數(shù)解析式．了解簡諧運動可以用函數(shù)表示，理解描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期、頻率等與這個解析式中常數(shù)有關(guān)，理解的物理意義．問題2三角函數(shù)模型的作用突破：三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中（周期現(xiàn)象）的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮著重要作用．

三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面：

①已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；

②把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．審題建模求解審題建模求解定論閱讀理解材料建立三角函數(shù)模型求解三角函數(shù)模型得出相應(yīng)結(jié)論突破：教學(xué)難點：重點：了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，并會用三角函數(shù)模型解決一些簡單的實際問題；難點：實際問題抽象為三角函數(shù)模型.教學(xué)支持條件PPT課件，視頻教學(xué)過程設(shè)計（主體內(nèi)容）（一）情景導(dǎo)入現(xiàn)實生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點的周期運動變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述.問題1：你能舉出生活中具有周期性現(xiàn)象的實例嗎？【學(xué)生經(jīng)過思考和討論之后，舉出一些生活中的實例，教師進(jìn)行補充】【預(yù)設(shè)的答案】：預(yù)想學(xué)生所舉周期性現(xiàn)象的例子可能包括以下幾方面：（1）勻速圓周運動。如表的指針的轉(zhuǎn)動，摩天輪等；（2）自然界中的周期性現(xiàn)象。如潮汐變化，日升日落，一天當(dāng)中的氣溫變化等；（3）物理學(xué)中的周期性現(xiàn)象。如鐘擺，彈簧振子運動，發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的交變電流等．【設(shè)計意圖】通過開門見山，提出問題，讓學(xué)生體會由實際問題建立三角函數(shù)模型的過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。師：這節(jié)課我們通過幾個具體的例子，一起來用數(shù)學(xué)的眼睛洞察我們身邊存在的周期現(xiàn)象-----三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用.（二）典例探究例一：某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間(單位)與位移(單位)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關(guān)于時間的函數(shù)解析式．請你查閱資料，了解振子的運動原理．問題2：畫出散點圖并觀察，位移隨時間的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型進(jìn)行刻畫？【讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.】【預(yù)設(shè)的答案】根據(jù)散點圖(如圖)，分析得出位移y隨時間t的變化規(guī)律可以用這個函數(shù)模型進(jìn)行刻畫．【設(shè)計意圖】通過散點圖，可以幫助學(xué)生較為直觀地分析兩個變量之間的關(guān)系，然后根據(jù)這種關(guān)系選擇一種合適的函數(shù)模型去刻畫問題.問題3：由數(shù)據(jù)表和散點圖，你能說出振子振動時位移的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)(t＝0)時的位移嗎？根據(jù)這些值，你能求出函數(shù)的解析式嗎？【學(xué)生觀察數(shù)據(jù)表和散點圖基礎(chǔ)上回答問題，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)求出函數(shù)的解析式．教師對學(xué)生的解答進(jìn)行點評之后，給出簡諧運動的有關(guān)概念．】【預(yù)設(shè)的答案】：A＝20mm，T＝0.6s，初始狀態(tài)的位移為－20mm．函數(shù)的解析式為.【設(shè)計意圖】通過設(shè)置問題，讓學(xué)生利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式.歸納總結(jié)現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標(biāo)的上下浮動，琴弦的振動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運動．在物理學(xué)中，把物體受到的力(總是指向平衡位置)正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運動可以用函數(shù)，x∈[0,+∞)（A>0，ω>0）來表示．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān)：A就是這個簡諧運動的振幅，它是做簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；這個簡諧運動的周期是，它是做簡諧運動的物體往復(fù)運動一次所需要的時間；這個簡諧運動的頻率由公式給出，它是做簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)；ωx＋φ稱為相位；x=0時的相位φ稱為初相.【設(shè)計意圖】在探究特例的基礎(chǔ)上，遵循從具體到抽象的思路，形成振幅、周期和頻率等概念.例二.用三角函數(shù)模型刻畫交變電流如圖（1）所示的是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的圖像，將測得得圖像放大，得到圖（2）（1）求電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式.（2）當(dāng)時，求電流i.問題4：觀察圖象，交變電流i隨時間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？【學(xué)生觀察圖（2），小組討論，合作探討，回答教師提出的問題.】【預(yù)設(shè)的答案】：由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時間t的變化規(guī)律可以用來刻畫．教師補充：其中A為振幅，為頻率，為相位，為初相．問題5：根據(jù)圖象，你能說出電流的的最大值A(chǔ)，周期T，初始狀態(tài)（t=0）時的電流嗎？由這些值，你能進(jìn)一步解決問題（1）、（2）嗎？【預(yù)設(shè)的答案】：A=5，T=s，初始狀態(tài)的電流為4.33A．由這些值可求得電流i隨時間t的變化的解析式是．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，歸納提升：解決函數(shù)圖象與解析式對應(yīng)問題的策略

利用圖象確定函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，實質(zhì)就是確定其中的參數(shù)A，ω，φ.其中A由最值確定；ω由周期確定，而周期由特殊點求得；φ由點在圖象上求得，確定φ時，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.（三）課堂練習(xí)1．下列說法正確的個數(shù)是()①三角函數(shù)是描述現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．②與周期有關(guān)的實際問題都必須用三角函數(shù)模型解決．③若一個簡諧振動的振動量的函數(shù)解析式是y＝3sin(4x＋eq\f(π,6))，則其往復(fù)振動一次所需時間為eq\f(1,2)秒．④若電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系是I＝4sin200πt，t∈[0，＋∞)，則電流的最大值為4A.A．1 B．2C．3 D．4[解析]①④正確，②③錯誤，故選B.2．電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系是I＝3sin100πt，t∈[0，＋∞)，則電流I變化的周期是()A．eq\f(1,50)s B．50sC．eq\f(1,100)s D．100s[解析]T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)s，故選A.3.如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系式為s＝6sin(2πt＋eq\f(π,6))，那么單擺來回擺動一次所需的時間為()A．2πs B．πsC．0.5s D．1s[解析]本題已給出了單擺離開平衡位置O的距離scm和時間ts的函數(shù)關(guān)系式，單擺來回擺一次所需的時間即為此函數(shù)的一個周期．即ω＝2π，所以T＝eq\f(2π,ω)＝1.4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，勞動節(jié)某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列哪個時間段內(nèi)人流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20][解析]由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．目標(biāo)檢測設(shè)計練習(xí)1：如圖3所示是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個簡諧運動的解析式．【預(yù)設(shè)的答案】：（1）振幅A＝3，周期T＝4，頻率f＝．（2）設(shè)這個簡諧運動的函數(shù)表達(dá)式為．練習(xí)2：商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，五一某商場的人流量滿足函數(shù)，則下列時間段內(nèi)人流量是增加的是()A. B. C. D.【預(yù)設(shè)的答案】：C解析：由，，得，，所以函數(shù)的增區(qū)間為，.當(dāng)時，，而，故選C.練習(xí)3.如圖表示電流強(qiáng)度I與時間t的關(guān)系在一個周期內(nèi)的圖象,則該函數(shù)解析式可以是()A. B.C. D.【預(yù)設(shè)的答案】：C解析：由題圖得,,,.又函數(shù)圖象過點,則，，取，.故選C.【設(shè)計意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，鞏