專(zhuān)題04解三角形大題最值型歸類(lèi)

/27/27/專(zhuān)題4解三角形大題最值型歸類(lèi)目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】角與對(duì)邊型求周長(zhǎng)范圍最值 1【題型二】角與對(duì)邊型求面積范圍最值 3【題型三】角非對(duì)邊型求面積范圍 5【題型四】角非對(duì)邊型求周長(zhǎng)范圍 6【題型五】有角無(wú)邊型求角的函數(shù)范圍最值 7【題型六】有角無(wú)邊求邊比值型 9【題型七】邊系數(shù)非對(duì)稱(chēng)型求范圍最值 10【題型八】無(wú)角求范圍最值 11【題型九】中線(xiàn)高角平分線(xiàn)系型求最值 13【題型十】雙三角形面積型求范圍 14培優(yōu)拔尖練 16【題型一】角與對(duì)邊型求周長(zhǎng)范圍最值【典例分析】在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知.（1）求角A的值；（2）若，求三角形周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求，結(jié)合的范圍可求的值.（2）由正弦定理可求，設(shè)周長(zhǎng)為，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)得，可求范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求取值范圍.【詳解】（1），由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，整理可得：，，，可得：，，（2），，，，，設(shè)周長(zhǎng)為y，則，，，，，.周長(zhǎng)的取值范圍是.【提分秘籍】基本規(guī)律三角形中最值范圍問(wèn)題的解題思路：要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題．涉及求范圍的問(wèn)題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．注意要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大．【變式訓(xùn)練】已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B；(2)若b=4，求周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)；(2)12.【分析】（1）利用差角的余弦公式，結(jié)合正弦定理，化簡(jiǎn)計(jì)算作答.（2）利用余弦定理，結(jié)合均值不等式求出a+c的最大值(1)因?yàn)椋瑒t，在中，由正弦定理得，，而，即，整理得，即，又，解得，所以.(2)在中，由余弦定理得：，即，而，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=4時(shí)取“=”，因此，當(dāng)a=c=4時(shí)，a+c取最大值8，從而a+b+c取最大值12，所以周長(zhǎng)的最大值為12.【題型二】角與對(duì)邊型求面積范圍最值【典例分析】在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿(mǎn)足(1)設(shè)，，過(guò)B作BD垂直AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，求的值；(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理求出，進(jìn)而由余弦定理求出，利用三角形面積公式得，利用平面向量基本定理及數(shù)量積運(yùn)算法則得到答案；（2）由正弦定理得到，利用銳角三角形，求得，進(jìn)而求出，由面積公式求得.(1)，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，其中，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，所以，由題意得：，所以.(2)由（1）知：，又，由正弦定理得：，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，解得：，則，，，故，面積為故面積的取值范圍是.【提分秘籍】基本規(guī)律最值范圍型，多從兩個(gè)方面考慮：余弦定理+均值不等式型正弦定理消邊化角→消角，確定角的范圍→→輔助角型求范圍最值【變式訓(xùn)練】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，設(shè)．(1)若，求；(2)若，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）結(jié)合正、余弦定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由余弦定理，即可得解；（2）由余弦定理得出，再結(jié)合三角形面積公式和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，推出關(guān)于的函數(shù)，從而得解．(1)解：，結(jié)合正、余弦定理，可得，化簡(jiǎn)得，，代入，得，由余弦定理知，，，．(2)解：由（1）知，，由余弦定理知，，的面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，即．【題型三】角非對(duì)邊型求面積范圍【典例分析】在中，設(shè)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別為，，，已知.（1）求角的值；（2）若為銳角三角形，且，求的面積的取值范圍.廣東省深圳市寶安中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用已知和正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合余弦定理可得角的值；（2）由于，，利用正弦定理，可得，以及的面積，利用為銳角三角形，可得面積的取值范圍．【詳解】（1）由已知及正弦定理，得，即，即，即.由余弦定理，得，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，，由正弦定理，?所以.因?yàn)闉殇J角三角形，則，從而，所以.【變式訓(xùn)練】.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角；（2）若且是銳角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，然后結(jié)合余弦定理求解出角；（2）先根據(jù)三角形面積公式表示出面積，然后根據(jù)正弦定理結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)求解出的取值范圍，由此可求三角形面積的取值范圍.【詳解】（1）由及正弦定理，得，即，再由余弦定理可得，因?yàn)?，所以．?）．由正弦定理可知，又，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，故，，所以，所以，從而，故，【題型四】角非對(duì)邊型求周長(zhǎng)范圍【典例分析】在銳角三角形中，、、分別是角、、的對(duì)邊，，且.（Ⅰ）若，求與；（Ⅱ）求的周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先利用化簡(jiǎn)已知式求得，再利用余弦定理得到，即解得與；（Ⅱ）先利用，結(jié)合正弦定理進(jìn)行邊化角求得，再利用正弦定理得到，整理周長(zhǎng)為關(guān)于角A的函數(shù)關(guān)系式，利用角的范圍求得周長(zhǎng)取值范圍即可.解：（Ⅰ）因?yàn)?，，所以，故，即，又C是銳角，，，故，即，由余弦定理可知，，即，故，由解得，故；（Ⅱ）因?yàn)?，，所以由正弦定理可知，，因?yàn)?，所以，而，故，即，故，又B是銳角，，，故，即，，由正弦定理可知，，即，故，周長(zhǎng)為，由銳角三角形知得，故，故，所以，即周長(zhǎng)的取值范圍為.【變式訓(xùn)練】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化邊為角，再由三角恒等變換可求得角；（2）由銳角三角形求得的范圍，再利用正弦定理求得，并化為的函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可得其取值范圍．解：（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由為三角形?nèi)角得，；（2）由為銳角三角形，得，解得，所以，，由正弦定理得，，所以．故的范圍．【題型五】有角無(wú)邊型求角的函數(shù)范圍最值【典例分析】在銳角三角形中，，，分別是角，，的對(duì)邊，（1）求角；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1），所以整理得到條件：，即，根據(jù)余弦定理，又因?yàn)槭卿J角三角形，所以，本問(wèn)主要是將題中已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到，從而利用余弦定理可以求出B角的大小。（2）由（1）知，所以，，所以轉(zhuǎn)化為，根據(jù)兩角差公式展開(kāi)，再根據(jù)輔助角公式合并，從而得到關(guān)于A(yíng)角的表達(dá)式，再結(jié)合銳角三角形的條件，討論求出A角的范圍，從而可以求出的取值范圍。試題解析：由條件可得，，即根據(jù)余弦定理得：是銳角，.（2），即又是銳角三角形，，即,.【變式訓(xùn)練】．的三個(gè)角所對(duì)的邊分別為，．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若為銳角三角形，求函數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）試題分析：(I)由題意結(jié)合正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故；(II)將三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)和三角形為銳角三角形可得函數(shù)的取值范圍是.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋杂烧叶ɡ?，得因?yàn)?，所以，所以所以，故（Ⅱ）因?yàn)椋?，所以所以又為銳角三角形，，所以所以【題型六】有角無(wú)邊求邊比值型【典例分析】三角形中，已知，其中，角所對(duì)的邊分別為.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）由正弦定理將角化為邊，繼而由余弦定理求得，得角；（Ⅱ）由正弦定理將邊化為角，由，得，化簡(jiǎn)，結(jié)合，得，.試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得：由余弦定理得：，.(Ⅱ)由正弦定理得：又，，，而，，，.【變式訓(xùn)練】在銳角三角形中，，，分別是角，，的對(duì)邊，且.（1）求；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式和誘導(dǎo)公式可整理求得，進(jìn)而得到角；（2）利用正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可將整理為，根據(jù)角的范圍可求得的范圍，進(jìn)而得到的取值范圍.（1）由正弦定理得：（2）由正弦定理得：為銳角三角形且，即【題型七】邊系數(shù)非對(duì)稱(chēng)型求范圍最值【典例分析】在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，．（Ⅰ）求角B的大?。唬á颍┤魹殇J角三角形，，求的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得，然后由余弦定理可得答案；（Ⅱ）由正弦定理可得，然后由三角函數(shù)的知識(shí)可得答案.【詳解】（Ⅰ）由已知，結(jié)合正弦定理，得．再由余弦定理，得，又，則．（Ⅱ）由正弦定理可得．因?yàn)闉殇J角三角形，則，有，則．所以的取值范圍為．【變式訓(xùn)練】在三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知．（1）求角的大??；（2）若且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；（2）利用正弦定理可得，，則，再利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：（1）∵，由正弦定理，，即．由余弦定理，，又∵，∴．（2）因?yàn)榍?，由正弦定理得，∴，，∵，∴．∵，∴．∴．∴．∵．∴．∴．【題型八】無(wú)角求范圍最值【典例分析】記內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）首先化簡(jiǎn)條件中的正切等式，再將正切寫(xiě)成正弦和余弦，最后利用正弦定理，角化為邊，即可證明；（2）首先設(shè)，利用三角不等式的恒等式，化簡(jiǎn)后可得的取值范圍，再計(jì)算的取值范圍.（1）由得：即兩邊同時(shí)除以得：即所以因此得證；（2）設(shè)①，代入可得②，由三角不等式得：，即③，將①②代入③得，整理得且解得，因?yàn)?，顯然在上單調(diào)遞增，所以【變式訓(xùn)練】設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為鈍角，且．(1)探究與的關(guān)系并證明你的結(jié)論；(2)求的取值范圍．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意及正弦定理得到，即，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解；（2）由（1）得，令，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，所以，即，又因?yàn)?，所以，于是，所?（2）解：由（1）知，，所以，所以，所以，令，則且，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值為，所以的取值范圍是．【題型九】中線(xiàn)高角平分線(xiàn)系型求最值【典例分析】記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求的大?。?2)若邊上的高為，且的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理；（2）根據(jù)等面積可得，利用余弦定理得和基本不等式可得，根據(jù)面積得，整理分析．（1）由正弦定理得，得，因?yàn)椋?，?（2）因?yàn)椋?由余弦定理得，得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），即.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.故的最小值為.【變式訓(xùn)練】已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若M為的中點(diǎn)，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：根據(jù)正弦定理邊化角求解即可；解法二：利用余弦定理將用邊表示再化簡(jiǎn)即可；（2）解法一：根據(jù)基底向量的方法得，兩邊平方化簡(jiǎn)后可得，再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可；解法二：設(shè)，再分別在，和中用余弦定理，結(jié)合可得，再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可(1)解法一：因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?，所以，因?yàn)?，所以，為，所以．解法二：因?yàn)?，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因?yàn)?，所以?2)解法一：因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，所以，即，即，而，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的面積為．即的面積的最大值為．解法二：設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)椋运寓?②式得．③在中，由余弦定理得，而，所以，④聯(lián)立③④得：，即，而，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的面積為．即的面積的最大值為．【題型十】雙三角形面積型求范圍【典例分析】）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)若，求的周長(zhǎng)；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)D，連接，滿(mǎn)足，且為銳角三角形，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理得到角A,從而得到邊c,由余弦定理得到邊b，從而得到周長(zhǎng)；（2）由正弦定理得到，，然后利用輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到范圍.（1）在中，，由正弦定理得，可得，由，得由得，由正弦定理，，所以，由余弦定理（舍去）∴的周長(zhǎng).（2）由正弦定理則，∴∵為銳角三角形解得∴即的取值范圍為【變式訓(xùn)練】在銳角中，角所對(duì)的邊分別為.(1)求的值；(2)點(diǎn)分別在邊上，的面積是面積的2倍.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，進(jìn)而結(jié)合正弦定理得，，再結(jié)合求解即可；（2）結(jié)合（1）得，進(jìn)而根據(jù)面積關(guān)系得，最后結(jié)合基本不等式與余弦定理得，進(jìn)而得答案.(1)解：是銳角三角形，.在中，，由正弦定理得，.，(2)解：由（1）知，.由題意得.由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.所以的最小值為.分階培優(yōu)分階培優(yōu)練培優(yōu)拔尖練1．在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求證：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）已知條件由余弦定理角化邊，利用三角形的特征化簡(jiǎn)可證得；（2）由已知條件和誘導(dǎo)公式輔助角公式，可化簡(jiǎn)為，由角的取值范圍得所求算式的取值范圍.【詳解】（1）由余弦定理可得：，有，即，由，得，即.（2）由，有，∴，得，.，由，有，則有，可得.所以的取值范圍為.2．在①，②D是邊的中點(diǎn)且，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答．問(wèn)題：在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．(1)求A；(2)若__________，求的最大值．注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)選①，的最大值是8；選②，的最大值是【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理求出，結(jié)合求出；（2）選①，由余弦定理，結(jié)合基本不等式求出；選②，得到，兩邊平方后得到，由基本不等式求出最值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，則．因?yàn)?，所以．?）選①,由余弦定理可得，即，則．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，即的最大值是8．選②,因?yàn)镈是邊的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，即．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，解得，即的最大值是．3．在三角形ABC中，若.(1)求角A的大小；(2)如圖所示，若，，求長(zhǎng)度的最大值.【答案】(1)(2)6【分析】(1)由正弦定理可得，再利用余弦定理、基本不等式和輔助角公式即可求解；(2)結(jié)合（1）可知：三角形ABC是正三角形，設(shè)，，利用余弦定理、正弦定理和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：，再由余弦定理可得：，即：，整理可得：，可知左邊，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，右邊，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以左右相等只有兩邊都等于2時(shí)，即同時(shí)取得等號(hào)，所以.（2）由（1）可知：，所以三角形ABC是正三角形.設(shè)，，那么由余弦定理可得：，即：，所以.在三角形BDC中，由正弦定理可得：，整理得：，因?yàn)椋詾殇J角，那么，則，在中，由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以最大值為6.4．a(chǎn)，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，已知．(1)若，證明：△ABC為等腰三角形；(2)若，求b的最小值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）已知條件由余弦定理角化邊，化簡(jiǎn)可得，從而可證△ABC為等腰三角形；（2）已知條件由正、余弦定理角化邊，可得，從而得到，進(jìn)而可求得b的最小值．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由余弦定理可得，即，整理得，即，所以△ABC為等腰三角形．（2）因?yàn)?，所以由正弦定理可得，所以由余弦定理可得，又，所以，所以，?dāng)時(shí)，取最小值，且最小值為．5．如圖，△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.(1)求角B的大?。?2)已知，若D為△ABC外接圓劣弧AC上一點(diǎn)，求AD+DC的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】(1)法一:利用正弦定理和兩角和的正弦公式可得，再利用三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；法二:利用余弦定理得出，根據(jù)三角形內(nèi)角的取值范圍即可求解；(2)方法一：設(shè)，則，利用正弦定理得出，，然后利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【詳解】（1）法一:∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，法二:∵，由余弦定理得，∴，∴，∵，∴.（2）由（1）知，，面四邊形ABCD內(nèi)角互補(bǔ)，則，法一:設(shè)，則，由正弦定理得，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.法二:在△ADC中，，，由余弦定理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.6．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.(1)求證：.(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】(1)結(jié)合正弦定理及正弦和角公式得，結(jié)合角度范圍即可證明；(2)結(jié)合正弦定理及三角恒等變換，結(jié)合B角范圍即可求解.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得：又∵，∴即，∵，∴.∵，∴，（2）得：得，∴，∴，由題意，及正弦定理得：∵，∴，即故的取值范圍為方法二：由正弦定理得：∵，∴，由（1）得：，故由（1）得：得，∴，∴，∴，即，故的取值范圍為7．在中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，的面積為，求b，c的值；(2)若，且為鈍角三角形，求k的取值范圍．【答案】(1)，或，(2)或【分析】（1）由已知和正弦定理得，再利用平方關(guān)系可得，利用余弦定理可得，由的面積為得，解方程得到答案；（2）當(dāng)，，由余弦定理得，分B為鈍角、C為鈍角討論可得答案．【詳解】（1）中，，由正弦定理得，∴，由得；，∴①；又的面積為，∴②；由①②組成方程組，解得，或，；（2）當(dāng)，，∴；當(dāng)B為鈍角時(shí)，，即，解得；當(dāng)C為鈍角時(shí)，，即，解得；所以為鈍角三角形，k的取值范圍是或．8．已知的面積為，角所對(duì)的邊為．點(diǎn)為的內(nèi)心，且．(1)求的大小；(2)求的周長(zhǎng)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及三角形內(nèi)心的定義，利用正弦定理及兩角差的正弦公式，結(jié)合輔助角公式及角范圍的變化，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，可得，因?yàn)?，所以．?）設(shè)周長(zhǎng)為，，如圖所示，由（1）知，所以，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為的內(nèi)心，，分別是，的平分線(xiàn)，且，所以，在中，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，可得周長(zhǎng)．9．已知銳角的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大??；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理統(tǒng)一為三角函數(shù)，再由三角恒等變換化簡(jiǎn)即可求解；（2）根據(jù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于B的正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)值域求解即可.【詳解】（1）由題意可得．由正弦定理得，又，，則．因?yàn)?，所以．又，所以．?）．因?yàn)殇J角三角形，所以，且，所以．所以，即的取值范圍是．10．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)求角的大小；(2)若，為外一點(diǎn)（、在直線(xiàn)兩側(cè)），，，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（2）由余弦定理得到，再由為等腰直角三角形可得，又，即可得到，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）解：在中，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，故，∴，即，又∵，∴．（2）解：在中，，，∴，又，由（1）可知，∴為等腰直角三角形，∴，又∵．∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積有最大值，最大值為．11．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，csin=sinC，且a=1．(1)求A；(2)若AB=AC，D，E兩點(diǎn)分別在邊BC，AB上，且CD=DE，求CD的最小值．【答案】(1)(2)2-3【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，然后利用三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到sin=，即可得到；（2）根據(jù)AB=AC，A=，得到△ABC為等邊三角形，然后在△BDE中利用余弦定理得到CD=2-BE+，最后利用基本不等式求最值即可.【詳解】（1）因?yàn)閏sin=sinC，且a=1，所以csin=asinC，所以sinCsin=sinAsinC.因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，B+C=π-A，所以sin(-)=sin