高中數(shù)學必修4三角函數(shù)?？碱}型弧度制2

時間：二O二一年七月二十九日弧度制之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日【知識梳理】1．角度制與弧度制角度制．①定義：用度作為單位來胸懷角的單位制．1②1度的角：周角的360作為一個單位．弧度制．①定義：以弧度作為單位來胸懷角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角．2．隨意角的弧度數(shù)與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系正角的弧度數(shù)是一個正數(shù),負角的弧度數(shù)是一個正數(shù),零角的弧度數(shù)是0.3．角的弧度數(shù)的計算假如半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l,l那么,角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝r.4．弧度與角度的互化時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°π1801°＝1801rad＝π°≈57.30°度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度ππππ2π3π5ππ043234666．扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l,α為其圓心角,則α為度數(shù)α為弧度數(shù)扇形的弧長l＝παRl＝αR180扇形的面積παR211S＝360S＝2lR＝2αR2【?？碱}型】題型一、角度與弧度的換算【例1】把以下角度化成弧度或弧度化成角度：2π(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－9.π2π[解](1)72°＝72×180＝5；π5π(2)－300°＝－300×180＝－3；180360(3)2＝2×π°＝π°；時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日2π2π180－9＝－9×π°＝－40°.【類題通法】角度與弧度互化技巧在進行角度與弧度的換算時,抓住關(guān)系式πrad＝π180°是關(guān)頭,由它能夠獲得：度數(shù)×180＝弧度數(shù),弧180度數(shù)×π＝度數(shù)．【對點訓練】3π已知α1＝－570°,α2＝750°,β1＝5,β2＝π3.將α1,α2用弧度示意出來,并指出它們是第幾象限角；將β1,β2用角度示意出來,并在－720°～0°規(guī)模內(nèi),找出與它們有同樣終邊的全部角．570π19π解：(1)α1＝－570°＝－180＝－6,750π25πα2＝750°＝180＝6.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日19π5π∵α1＝－6＝－2×2π＋6,25ππα2＝6＝2×2π＋6,∴α1是第二象限角,α2是第一象限角．3π3(2)β1＝5＝5×180°＝108°,設(shè)θ＝k·360°＋108°(k∈Z),則由－720°≤θ<0°,得－720°≤k·360°＋108°<0°(k∈Z),解得k＝－2或k＝－1,∴在－720°～0°規(guī)模內(nèi),與β1有同樣終邊的角是－612°和－252°；1β2＝－3＝－3×180°＝－60°,設(shè)γ＝k·360°－60°(k∈Z),則由－720°≤k·360°－60°<0°(k∈Z),得k＝－1或k＝0,∴在－720°～0°規(guī)模內(nèi),與β2有同樣終邊的角是－60°和－420°.題型二、扇形的弧長公式及面積公式的應(yīng)用【例2】(1)已知扇形的周長為8cm,圓心角為時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日2,則扇形的面積為________．已知一半徑為R的扇形,它的周長等于所在圓的周長,那么扇形的圓心角是多少弧度？面積是多少？(1)[分析]設(shè)扇形的半徑為rcm,弧長為lcm,由圓心角為2rad,依照弧長公式可得l＝2r,進而扇形的周長為l＋2r＝4r＝8,解得r＝2,則l＝4.11故扇形的面積S＝2rl＝2×2×4＝4cm2.[答案]4cm2(2)[解]設(shè)扇形的弧長為l,由題意得2πR＝2R＋ll,所以l＝2(π－1)R,所以扇形的圓心角是R＝2(π－1),1扇形的面積是2Rl＝(π－1)R2.【類題通法】弧度制下波及扇形問題的攻略11(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S＝2lr＝2|α|r2(此中l(wèi)是扇形的弧長,r是扇形的半徑,α是扇形的圓心角)．時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日波及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算,關(guān)頭是先闡發(fā)題目已知哪些量求哪些量,而后靈巧運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．注意：運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是α為弧度．【對點訓練】已知扇形的周長是30cm,當它的半徑和圓心角各取什么值時,才華使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π),半徑為r,面積為S,弧長為l,則l＋2r＝30,故l＝30－2r,11進而S＝2lr＝2(30－2r)r＝－r2＋15r＝－152251515r－22＋4π＋1<r<15,所以,當r＝2cm時,α＝2252,扇形面積最大,最大面積為4cm2.題型三、用弧度制示意角的會合【例3】用弧度示意終邊落在以下各圖所示暗影部格外(不包括鴻溝)的角的會合．時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日[解](1)如圖①,330°角的終邊與－30°角的終π邊同樣,將－30°化為弧度,即－6,π5π而75°＝75×180＝12,∴終邊落在暗影部格外(不包括鴻溝)的角的會合π5π為θ2kπ－6<θ<2kπ＋12.k∈Zπ7π如圖②,∵30°＝6,210°＝6,這兩個角的終邊所在的直線同樣,所以終邊在直線AB上的角為απ＝kπ＋6,k∈Z,π又終邊在y軸上的角為β＝kπ＋2,k∈Z,進而終邊落在暗影部格外(不包括鴻溝)的角的集ππ合為θkπ＋6<θ<kπ＋2.k∈Z【類題通法】用弧度制示意角應(yīng)存眷的三點時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日用弧度示意地區(qū)角,實質(zhì)是角度示意地區(qū)角在弧度制下的應(yīng)用,需要時,需進行角度與弧度的換算．注意單位要一致．在示意角的會合時,能夠先寫出一周規(guī)模(如－π～π,0～2π)內(nèi)的角,再加上2kπ,k∈Z.終邊在同向來線上的角的會合能夠歸并為{x|x＝α＋kπ,k∈Z}；終邊在互相垂直的兩直線上的π角的會合能夠歸并為xx＝α＋k·2.k∈Z在進行區(qū)間的歸并時,必定要做到正確無誤．【對點訓練】以弧度為單位,寫出終邊落在直線y＝－x上的角的會合．解：在0到2π規(guī)模內(nèi),終邊落在直線y＝－x上373的角有兩個,即4π和4π,全部與4π終邊同樣的角組37α＝π＋2kπ成的會合為S1＝α4,全部與4k∈Zπ終邊同樣的角構(gòu)成的會合為S2＝時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日7αα＝4π＋2kπ＝k∈Z3αα＝4π＋2k＋1π,∴終邊落在直線yk∈Z＝－x上的角的會合為S＝S1∪S2＝αα＝34π＋nπ,n∈Z.【練習反響】1．以下命題中,錯誤的選項是()A．“度”與“弧度”是胸懷角的兩種不合的胸懷單位11B．1°的角是周角的360,1rad的角是周角的2πC．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制胸懷角時,角的大小與圓的半徑相關(guān)分析：選D依照角度制和弧度制的定義能夠知180道,A、B是正確的；1rad的角是π°≈57.30°,故C也是正確的；不論是用角度制仍是用弧度制胸懷角,角的大小都與圓的半徑?jīng)]關(guān),故D錯誤．時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日－3π2．角α的終邊落在區(qū)間5π內(nèi),則角α所在－2的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5分析：選C－3π的終邊在x軸的非正半軸上,－2π的終邊在y軸的非正半軸上,故角α為第三象限角．3．－135°化為弧度為________,11π3化為角度為________．π3分析：－135°＝－135×180＝－4π；11113π＝3×180°＝660°.3答案：－4π660°4．把角－690°化為2kπ＋α(0≤α<2π,k∈Z)的形式為________．分析：法一：－°＝－690×π236901806時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日23ππ∵－6π＝－4π＋6,∴－690°＝－4π＋6.法二：－690°＝－2