空間向量與立體幾何-2022屆新高考數(shù)學(xué)解答題專練

(3)空間向量與立體幾何.如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=2<2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).(1(1)證明：PO1平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值..如圖1，正方形ABCD中，dm=1MA=1，CN=1NB=1，將四邊形CDMN沿MN折起2 2到四邊形PQMN的位置，使得ZQMA=60。(如圖2).(1(1)證明：平面MNPQ1平面ABPQ；(2)若E，F(xiàn)分別為AM，BN的中點(diǎn)，求三棱錐F-QEB的體積..如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAB1平面ABC，AB=6，BC=2<3，AC=2v6，D，E分別為線段AB，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且AD=2DB，CE=2EBPD1AC.(1)求證：PD±平面ABC；(2)若直線PA與平面ABC所成的角為n，求平面PAC與平面PDE所成的二面角的大小.4.已知幾何體EFG-ABCD,如圖所示，其中四邊形ABCD、四邊形CDGF、四邊形ADGE均為正方形，且邊長均為1，點(diǎn)M在棱DG上.⑴求證：BM±EF.(2)是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°？若存在，確定點(diǎn)M的位置;若不存在，請說明理由..如圖是一個半圓柱與多面體ABBAC構(gòu)成的幾何體，平面ABC與半圓柱的下底面共面,11且AC1BC，P為BA上的動點(diǎn)(不與B，A重合).11

（1）證明：PA11平面PBB1.（2）若四邊形ABBA為正方形，且AC=BC,ZPBA=n，求二面角P-AB-C的余弦ii i1 4 i1值..如圖，EC1平面ABC，BD//EC，AC=AB=BD=1EC=2，點(diǎn)F為線段DE上的動點(diǎn).2（1）試在BC上找一點(diǎn)0,使得A01CF，并證明.（2）在第（1）問的基礎(chǔ)上，若AB1AC，問平面ACE與平面A0F所成的銳二面角的大小可否為-？4.一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板（如圖）中，ZABC為直角，ZA=60。，ZDEF為直角，DE=EF，BC=DF.把BC與DF重合，拼成一個三棱錐（如圖），設(shè)M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中占八、、.（2）若AC=4，二面角E-BC-A為直二面角，求直線EM與平面ABE所成角的正弦值.

.如圖（1）,已知圓O的直徑AB的長為2,上半圓圓弧上有一點(diǎn)C,ZCOB=60。，點(diǎn)P是弧AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)D是下半圓弧的中點(diǎn).現(xiàn)以AB為折痕，使下半圓所在的平面垂直于上半圓所在的平面，連接PO，PD，PC，CD，如圖（2）所示.（1）當(dāng)AB//平面PCD時，求PC的長；（2）當(dāng)三棱錐P-COD體積最大時，求二面角D-PC-O的余弦值..如圖（1），AD是△BCD中BC邊上的高，且AB=2AD=2AC，將△BCD沿AD翻折，使得平面ACD1平面ABD，如圖（2）所示.（2）在圖（2）中，E是BD上一點(diǎn)，連接AE，CE，當(dāng)AE與底面ABC所成角的正切值為1時，求直線AE與平面BCE所成角的正弦值.210.如圖，正方形ABCD和ABEF所在的平面互相垂直，且邊長都是1，M，N，G分別為線段AC，BF，AB上的動點(diǎn)，且CM=BN，AF//平面MNG，記BG=a（0<a<1）.(1)證明：MG1平面ABEF.(2)當(dāng)MN的長度最小時，求二面角A-MN-B的余弦值.答案以及解析1.答案：(1)證明過程見解析.3(2)PC與平面PAM所成角的正弦值為—.4解析：(1)證明：因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P1AC，且OP=2<3.連接OB.因?yàn)锳B=BC=—AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB1AC，OB=1AC=2.2 2由OP2+OB2=PB2知PO1OB.由OP1OB，OP1AC，OBcAC=O知PO1平面ABC.(2)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)椋ポS正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O孫z.由題意得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,-2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2V3)，AP=(0,2,2<3).易得平面PAC的一個法向量為OB=(2,0,0).設(shè)M(a,2-a,0)(0<a<2)，貝UAM=(a,4-a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n=(羽y,z).由AP-n=0,AM-n=0,2y+2<3z=0,ax+(4-a)y=0,可取n=(<3(a-4),<3a,-a),

所以cos〈OB,n〉二.2"3(。-4)=2<3(a—4)2+3a2+a2由已知可得Icos<OB,n）1二所以2<3Ia—4I \3所以2\：3(a2\：3(a—4)2+3a2+a2解得“二-4（舍去）或〃二4,3所以n二又PC二（0,2,—2H3），所以cos〈PC,n〉二旦.4所以PC與平面PAM所成角的正弦值為立42.答案：（1）見解析⑵二解析：（1）「在正方形ABCD中，DM二1MA二1，CN=1NB=1，2 2QM1QP,QM=1,AM=2,又???/AMQ=60。，.二在△AMQ中，由余弦定理得，AQ2=AM2+QM2—2AM?QM?cos/AMQ=4+1—2x1x2x1=3，2??.AQ2+QM2=AM2，AQ1QM，又??,AQnQP二Q，AQ，QPu平面ABPQ，QM1平面ABPQ，又QMu平面MNPQ，平面MNPQ1平面ABPQ；(2)由(1)知AQ1QM，QM1QP，??,在正方形ABCD中，DM=1MA二1，CN=1NB=1，2 2,四邊形CDMN為矩形，...MN1AM，MN1DM...MN1AM，MN1DM，MN1MN1MQ,MN1MA，mMQMMA=M,MQ、MAu平面AMQ,AMN1平面AMQ,???MNu平面ABNM，：.平面ABNM1平面AMQ，過Q作QH1AM于H，則QH1平面ABNM，即QH1平面BEF,QHQH=QMsin600=<32，v=VF—QEB，v=VF—QEBQ—BEF=1.S3 △bef3.答案：(1)見解析(2)-6解析：(1)因?yàn)锳C=2<6,BC=2n,AB=6，所以AC2+BC2=AB2,所以AC1BC，可得cosZABC=—=2^-=昱,AB6 3又因?yàn)锽D=2，所以CD2=BD2+BC2-2BD.BC,cosZABC=22+Q，“3)—2x2x2^3x立=8，3可得CD=2<2，又因?yàn)锳D=4，所以CD2+AD2=AC2，所以CD1AB，因?yàn)槠矫鍼AB1平面ABC,平面PAB口平面ABC=AB，CDu面ABC,所以CD1平面PAB，因?yàn)閜du面PAB，所以CD1PD，因?yàn)镻D1AC，ACC\CD=C，所以PD1平面ABC.(2)由(1)知DC,DB,DP兩兩垂直，如圖分別以DC,DB,DP所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€PA與平面ABC所成的角為n，即ZPAD=n，所以PD=AD=4，4 4則A（0,-4,0）,C"2,0,0人B（0,2,0則A（0,-4,0）,所以CB=（-2v2,2,0），AC=Qy'2,4,0），PA=所以CB=（-2v2,2,0），AC=Qy'2,4,0），PA=（0,-4,-4），因?yàn)锳D=2DB，CE=2EB，所以DE//AC，由(1)知AC1BC，所以DE1BC，又PD1平面ABC，BCu面ABC，所以pd1BC，因?yàn)镻DCDE=D，所以CB1平面PDE，所以CB=(2、5,2,0)為平面PDE的一個法向量，設(shè)平面PAC的法向量為n=(%,y,z)，n-AC=272x+4y=0由《——n-PA=-4y-4z=0令z=1，得y=-1，所以n=(5,-1,1)為平面PAC的一個法向量.所以cos:n，CB-4—22x2v3所以平面PAC與平面PDE所成的銳二面角的余弦值為也，2故平面PAC與平面PDE所成的銳二面角為n.64.答案：(1)證明過程見解析.(2)(2)存在點(diǎn)M使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.解析：(1)二?四邊形ABCD、四邊形CDGF、四邊形ADGE均為正方形,.??GD1DA，GD1DC.又DAcDC=D，：.GD1平面ABCD.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則B則B（1,1,0）,E（1,0,1）,F（0,1,1）.點(diǎn)M在棱DG上，故可設(shè)M（0,0,t）（0<t<1）.,「MB=（1,1-1）,EF=（-1,1,0）,Mb?EF=0, bm±ef.（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.設(shè)平面BEF的法向量為n=（九y,x），,.BE=（0,-1,1），BF=（-1,0,1），n.BE=0 [-y+z=0?J ?J??5 ? ，??1 ，n.BF=0 [-x+z=0令z=1，得x=y=1?n=（1,1,D為平面BEF的一個法向量，2-t<3x<2+12,cos〈n,2-t<3x<2+12InIIMBI直線MB與平面BEF所成的角為45°，?sin45?sin450=Icos〈n,MB〉I,,2-t<3x<2+12解得t=-4土3v2.又0<t<1.,存在點(diǎn)M(0,0,322-4).,當(dāng)點(diǎn)M位于棱DG上，且DM=3V2-4時，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°..答案：(1)見解析（2）-三5解析：（1）在半圓柱中，BB±平面PA1B,PA1u平面PA1B,所以BB]1PA.因?yàn)锳B是上底面對應(yīng)圓的直徑，11所以PA]1PBj因?yàn)镻B]CBB]=BjPB]u平面PBBjBB]u平面PBB，所以PA]1平面PBB.（2）根據(jù)題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-孫z，如圖所示.設(shè)CB=1，則C（0,0,0），々（0,1,揚(yáng)，B]（1,0，石），所以證=（0,1,v2），近=（1,0,<2）.易知n1=（0,0,1）為平面PA1B1的一個法向量.設(shè)平面CAB的法向量為n=(%,y,z)，則＜“2 °’1 2 [njCB]=0,即卜+?z=0,%+五z=0,令z=1，則％=-后，y=-近，所以n2=（-五,-①1）為平面CA1B1的一個法向量.

所以cosn,n.:二一=亙.112-1xv5 5由圖可知二面角P-AB-C為鈍角，所以所求二面角的余弦值為—-11 5.答案：(1)BC的中點(diǎn)即為所找的點(diǎn)O理由見解析.(2)當(dāng)F為DE的中點(diǎn)時，平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小為-4解析：(1)BC的中點(diǎn)即為所找的點(diǎn)OAAB=AC，...AO1BC，又EC1平面ABC，AOu平面ABC，...EC1AO.BC^EC=C，BCU平面BDEC，ECu平面BDEC，「.AO1平面BDEC.又CFu平面BDEC，AO1CF.(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線分別為x軸、y軸，過點(diǎn)A且平行于EC的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，E(0,-2,4)，D(-2,0,2)，O(-1,-1,0)，AO二（-1,-1,0），ED=（-2,2,-2）.設(shè)EF=九ED（0<X<1），則可得F（-2九,2九一2,4-2九），則AF=（-2X,2九一2,4—2九）.設(shè)平面AOF的法向量為m=(x,y,z)，m?AO=0,m?AF=0,-x-y=0,、一2九x+（2九-2）y+（4-2九）z=0,為平面AOF的一個法向量.2入為平面AOF的一個法向量.令x=1，則Uy二-1，z —，貝Um-2-九易得平面ACE的一個法向量為n=(1,0,0).Im.nI令I(lǐng)cos〈m,n〉I-ImIInI故當(dāng)F為DE的中點(diǎn)時，平面ACE與平面AOF所成的銳二面角的大小為n.47.答案：（1）見解析⑵無4解析：（1）mM是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，...MNII.AB,AB1BC,:.MN1BC.BEE=EC,N是BC的中點(diǎn)，:EN1BC.又MNCEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,:BC1平面EMN.又BCu平面ABC,:平面ABC1平面EMN.（2）由（1）可知，EN1BC,MN1BC,:.ZENM為二面角E-BC-A的平面角，又二面角E-BC-A為直二面角，.:/ENM=90。，即EN1MN.以點(diǎn)N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NM，NC，NE所在直線分別為l，j，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系N-%yz，ACC=4，.:AB=2，BC=2<3，.:NE=<3，MN=1，則N(0,0,0)，E(0,0,<3)，M(1,0,0)，B(0,—15,0)，A(2,f'3,0)，■:Em=(1,0,f：3)，BE=(0,巨,%3)，bA=(2,0,0).

設(shè)m=設(shè)m=(羽y,z)為平面ABE的法向量，則＜m-BA=0,日口—, 即m-BE=0,2%=0,<3y+v3z=0,得％=0，令y=1，則Uz=—1，平面ABE的一個法向量為m=(0,1,-1).設(shè)直線EM與平面ABE所成的角為0,則sin0=1則sin0=1cos〈m,EM〉1=m-EMImIIEMI\；3 <6- ——,2V2 4 ,.,,_... _,,,.即直線EM與平面ABE所成角的正弦值為—.48.答案：(1)PC=1⑵亙3解析：(1)因?yàn)锳B//平面PCD，ABu平面OCP，平面OCPD平面PCD=PC，所以AB//PC.又ZCOB=60。，所以ZOCP=60。.又OC=OP，所以AOCP為正三角形，所以PC=1.(2)由題意知DO1平面COP，而V =V,S =1-OC-OP-sinZCOP,P-COD D-COP △COP2所以當(dāng)OC1OP時，三棱錐P-COD的體積最大.解法一易知OP,OD,OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP,OD,OC的方向分別為％軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-%yz，則P(1,0,0),D(0,1,0),C(0,0,1)，PC=(-1,0,1)，DP=(1,-1,0).設(shè)平面DPC的法向量為n=(%,y,z),1

則，匕'"廣0，即「'+Z=0,?。?1,得平面DPC的一個法向量為n=(1,1,1).易知平面PCODP-n=0, 〔％一＞=0, 1I1的一個法向量為n之二(0,1,0)，設(shè)二面角D-PC-O的平面角為a，由題圖知，二面角D-PC-O的平面角為銳角，則cosa二第二-，|nj|n2| 3. . 43所以二面角D-PC-O的余弦值為一.3解法二如圖所示，取PC的中點(diǎn)H，連接OH，DH.因?yàn)镺C=OP，DC=DP，所以O(shè)H，DH都與PC垂直,即ZOHD為所求二面角的平面角.12+f@2一近在RtA12+f@2一近在RtAOHD中，DH=所以cosZOHD=-2^=——，<6 3T.. j3所以二面角D-PC-O的余弦值為一.39.答案：(19.答案：(1)見解析4-5(2)315解析：（1）由題圖（1）知，在題圖（2）中，AC1AD，AB1AD.??平面ACD1平面ABD，平面ACDPl平面ABD=AD,ABu平面ABD,AB1平面ACD，又CDu平面ACD,...AB1CD.（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，ABAD所在的直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AC=1，則A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)，AD=(0,0,1)，BC=(1,-2,0),DB=(0,2,-1).設(shè)E(x,y,z)，由DE=\DB(0<X<1)，得(x,y,z-1)=(0,2九，-九)，得E(0,2%,1-九),...AE=(0,2九,1-九),又平面ABC的一個法向量為AD=（0,0,1），AE與底面ABC所成角的正切值為1，2所以Itan(AD,AE〉I=2，于是Icos〈AD,AE〉I=-L= ,1—九式2九)2+(1—九)2(1則E(1則E0,1,-V2一(1AE=0,1,-V2BE=V1,0,-1<7.27設(shè)平面BCE設(shè)平面BCE的法向量為n=（九y,z），則＜n.BC=0,即Jn?BE=0,令y=令y=1，得x=2，z=2，貝Un=(2,1,2)是平面BCE的一個法向量，設(shè)直線AE與平面BCE所成的角是0，則sin0則sin0