2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專(zhuān)題7

專(zhuān)題7.5數(shù)列的綜合應(yīng)用（真題測(cè)試）

一、單選題

1.（2021?山西?高二階段練習(xí)）對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國(guó)古代很早就有研究成果，北宋科學(xué)家沈括首

創(chuàng)的“隙積木”就是關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層

比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類(lèi)推，記第〃層貨物的個(gè)數(shù)為“〃，則。22=（）

A.275B.277C.279D.281

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意得到a"-4i="+l，再由累加法的到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閝=2,a2-a,=3,a3-a2=4,an-an_x=n+\,

由累加法的到：?！?2+3+4+―+〃+1=若@,所以出2=275.

故選：A.

2.（2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí)）某種細(xì)胞開(kāi)始時(shí)有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6

個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)……按照此規(guī)律，6小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)是（）

A.33B.64C.65D.127

【答案】C

【解析】

【分析】

由題意可得4,=2?！啊?（〃22）,構(gòu)造等比數(shù)列可求出見(jiàn)，從而可求出結(jié)果

【詳解】

將開(kāi)始時(shí)的細(xì)胞個(gè)數(shù)記為％=2,1小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)記為%=3,2小時(shí)后的細(xì)胞個(gè)數(shù)記為4=5,3小時(shí)后

的細(xì)胞個(gè)數(shù)記為4=9,……，

由題意可得4=2,當(dāng)“22時(shí)、則

a?-l=2（a?_,-l）,所以

數(shù)列｛4-1｝是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以4-1=2"。

所以4=2”T+1,

所以6小時(shí)后細(xì)胞存活個(gè)數(shù)為%=2,+1=65,

故選：C

3.（2022?遼寧葫蘆島?高二階段練習(xí)）設(shè)A（4,）表示落在區(qū)間［〃,6］內(nèi)的偶數(shù)個(gè)數(shù).在等比數(shù)歹式4-"｝中，

4=4,%=ii，則a（%）=（）

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)｛%-"｝的公比為4,根據(jù)力和生求出4,從而得4,和肉,再根據(jù)A（%）的定義可求出結(jié)果.

【詳解】

設(shè)｛?！耙弧保墓葹榉重?/p>

所以?！?〃=（4-1）?產(chǎn)=（4_1）.3"T=3",則0“=〃+3",

所以q=4+3,=85.

所以落在區(qū)間［4,85］內(nèi)的偶數(shù)共有41個(gè)，故。3）=41.

故選：C

4.（2022?四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)（文））已知數(shù)列｛〃,,｝滿足4=1,陷向=（〃+1）4+1,令b.吟,

若對(duì)于任意“eN*,不等式2”<4-2,恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為（）

A.B.（^o,-l］C.（9,0］D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意整理可得%=生+工-一三，即髭-一工，利用累加法可得2川=2--］，結(jié)合題意

71+1nnzi+1nn+1〃+1

可得（%）,皿<4-2,,即2V4-2,，運(yùn)算求解?【詳解】

1_a11

1?"叫用=5+i)q+i,則777=中--------------------十——---------

〃(/7+1)nn〃+1

又b〃+1=(%*)+電也-i)+...+/)+4

+...++1=2———<2

H+1

由題意可得：244-2'，則242

：.t<\

故選：D.

5.（2022?青海?模擬預(yù)測(cè)（理））已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足品,＞0,5*,＜（）,若數(shù)列｛可｝滿

足a」＜°，則加=（）

A.9B.10C.19D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)，求出異號(hào)的相鄰兩項(xiàng)即可作答.

【詳解】

等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則兒=4受xl9=19q0＞0,有即＞＞0,

$20=4受X2O=1O（4O+"U）＜O,有知＜-須＜0,顯然數(shù)列｛4｝是遞減的，且4。?即＜0,

因a」amti＜0,所以〃2=10.

故選：B

6.（2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)高三期中（文））斐波那契數(shù)列因以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”.此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛%｝可以用如下方法定

乂：?！?2=an+l+an，且q=%=1,若此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列也｝,則數(shù)列｛，｝的前

2022項(xiàng)和為（）

A.2698B.2697C.2696D.2695

【答案】C【解析】

【分析】

根據(jù)4=qi+4一2（〃…3,"eN*），4=4=L遞推得到數(shù)列｛叫,然后再得到數(shù)列也｝是以6為周期的周期數(shù)

列求解.

【詳解】

因?yàn)?=a,i+4_2（〃…3,〃eN"）,q=%=1,

所以數(shù)列｛叫為1』,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

此數(shù)列各項(xiàng)除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列也,｝為:",2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…

是以6為周期的周期數(shù)列，

2022

所以邑m=（1+1+2+3+1+0）=2696.

故選：C.

7.（2016?浙江?高考真題（文））如圖，點(diǎn)列｛AJ,｛BJ分別在某銳角的兩邊上,且

14AM=|4+A+2|，A,WA,+2”M，忸出旦產(chǎn)耳（PLQ表示點(diǎn)尸與Q不重合）

若4=|4里|,s.為紇紇“的面積，則

A.｛S,,｝是等差數(shù)列

B'BzBi...B?8m…

B.｛S；｝是等差數(shù)列

C.｛4,,｝是等差數(shù)列

D.｛力｝是等差數(shù)列

【答案】A

【解析】

【詳解】S,,表示點(diǎn)A,,到對(duì)面直線的距離（設(shè)為4）乘以忸,￡周長(zhǎng)度的一半,

即S”=1紇紇」,由題目中條件可知固4M的長(zhǎng)度為定值，

那么我們需要知道兒的關(guān)系式,

由于A，a,和兩個(gè)垂足構(gòu)成了直角梯形，

那么h.=%+|/\A?|-sin6>,

其中6為兩條線的夾角，即為定值，

那么S“=g"+AA』sin，）|B,￡j

S,,M=3S+|AA,JsinO）|3Aj,

作差后：5?+1-\=^（|A,A?+l|-sin^）|B?B?+1|,都為定值，所以S.「S”為定值.故選A.

8.（2018?浙江?高考真題）已知4，%，％，4成等比數(shù)列，且4+生+%+%=ln（q+%+%）.若%>1，則

A.囚<出,%<%B.a,>a3,a2<a4C.at<a3,a2>a4D.a,>a3,a2>a4

【答案】B

【解析】

【分析】

先證不等式x21nx+l,再確定公比的取值范圍，進(jìn)而作出判斷.

【詳解】

令/（x）=x-lnx-l,則f（x）=l—!?，令尸。）=0,得x=l,所以當(dāng)x>l時(shí)、尸。）>0,當(dāng)0<x<l時(shí)，/'。）<0,

X

因此/（X）>/（l）=0,.,.x>lnx4-l,

若公比4>0,則2+。2+%+4>4+。2+43>皿4+出+%）,不合題意；

若公比夕工一1,則q+電+%+包=4（l+q）（l+/）?0,

但ln（q+a2+%）=皿4（1+4+4?）]>In4>0,

即q+a2+a3+a4<0<\n{a]+a2+a3）9不合題意;

因止匕一1<9<0,夕2￡（0,1）,

22

/.ax>a^=a3,a2<a2q=a4<0,選B.二、多選題

9.（2022?湖北?武漢市第一中學(xué)高二期中）數(shù)學(xué)上有很多著名的猜想，“角谷猜想”（又稱“冰雹猜想”）就是

其中之一，它是指任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)

進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈記正整數(shù)即按照上述規(guī)則實(shí)施第

〃（〃eN）次運(yùn)算的結(jié)果為%,若％=1，則/可能為（）.

A.64B.16C.8D.1

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用利用帶入檢驗(yàn)法對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

【詳解】

利用帶入檢驗(yàn)法：

斯qa2〃3%%4

選項(xiàng)A6432168421

選項(xiàng)B16842142

選項(xiàng)C8421421

選項(xiàng)D1421421

所以《為64、8、1都符合題意，!為16不符合題意.

故選：ACD

10.（2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，下列結(jié)論中不恒成立的是（）

A.若q+%>0,貝!]4+4>0

B.若4+4<0,則為<。

C.若％<a2,貝ija2>y/a^

D.若q<0,則）3-％）>0【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列伍“｝的首項(xiàng)為外,公差為d,則

對(duì)于A,由數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列及4+%>0,所以可取q=La2=0,4=T，所以的+為>。不成立，故

A正確；

對(duì)于B,由數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，所以2%=q+4<0,所以外<0恒成立，故B不正確；

對(duì)于C,由數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，可取4=-3,%=-2,%=-1,所以4〉后不成立，故C正確；

對(duì)于D,由數(shù)列｛““｝是等差數(shù)列，得他-4）（%-05）=-解40,無(wú)論為為何值，均有（%-⑷儂-4必。所

以若4<0,貝1］（4一4）（%-4）>0恒不成立，故D正確.

故選：ACD.

11.（2022?黑龍江?哈師大附中高二期中）對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義：b“=a"_；"wN"）,稱數(shù)列出｝是｛4｝的

“倒差數(shù)列下列敘述正確的有（）

A.若數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，則數(shù)列也,｝單調(diào)遞增

B.若心=",”,產(chǎn)%,則數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列

C.若4=1_卜￡|”,則數(shù)列出｝沒(méi)有最小值

D.若為=1一,小”，則數(shù)列眄,｝有最大值

【答案】BD

【解析】

【分析】

可通過(guò)〃x）=x-：的單調(diào)性或反例說(shuō)明A錯(cuò)誤；令4=凡一9=「，可推導(dǎo)得到。向=一：,由此整理得

an+2=an,知B正確;分別在"為偶數(shù)和〃為奇數(shù)兩種情況卜，根據(jù)｛4｝的單調(diào)性可確定｛々｝的單調(diào)性和正

負(fù)，由此確定最大值和最小值，知的正誤.

【詳解】

對(duì)于A,函數(shù)在（T,O）和（0,+8）上單調(diào)遞增，但在整個(gè)定義域上不是單調(diào)遞增，可知數(shù)列｛叫

51313

單調(diào)遞增，數(shù)列間不是單調(diào)遞增（如則巧=-；+2或ft3=--2=-1）,A錯(cuò)誤；

,11

對(duì)于B,Q也｝是常數(shù)列，.,?可設(shè)“--=t,則%----=tf

/A+i

1i(1、

aa+a

?+l----------,.—=(??+1-n)1+-----=0，

%+ianIa“a“+J

???｛可｝不是常數(shù)列，川-a,產(chǎn)0，；/+—^=°，整理得：

anan+\an

.___1____1__

‘""'2=一￡[]?..數(shù)列｛4｝是以2為周期的周期數(shù)列，BLE確;

①當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，4=1-5?0,1）且｛q｝單調(diào)遞增，，，>1>%,

（h｝=h=1_1__L=2_1=_Z

??也<0且他,｝單調(diào)遞增，此時(shí)國(guó)埼'一2一4.1-43-12;

1-----

4

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，4=1+￡>1且｛叫單調(diào)遞減，

-

〃>0且出｝單調(diào)遞減，此時(shí)口"r-23~6：

1H-

2

綜上所述：｛〃｝既有最大值看5,又有最小值-五7，C錯(cuò)誤；D正確.

故選：BD.

H）

12.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛《,｝滿足4=28,a?=[2"+?]??_,（n>2）,neN\數(shù)列出｝的前〃

項(xiàng)和為S“，且勿=唾23"+2，%1）-1%（%,,%用），則下列說(shuō)法正確的是（）

A.2=21

a2

B.qq=16c.數(shù)列[況]為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

I%"

D.滿足不等式S“-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由生=28和遞推公式q,=[2（W+〃卜,i4=8—>4=2,%=168-A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確;

明(”22)-&=2(-'>"+〃-上"=2(-')?"+2〃=2〃+2為單調(diào)遞增的等差數(shù)列一C選項(xiàng)不正

an-\a2n-\

確;

〃+2〃+2

b=log.——-->S?=log2丁一>5一〃>62—D選項(xiàng)正確

n〃+12

【詳解】

因?yàn)?=28,所以心=2（”+3o7=28,所以生=8,

則a2=2(一“?4+冽=8>解得4=2,

4=2(*烏+4%=168,所以幺=21,4「生=16,所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確;

因?yàn)?=[2(7'+"卜所以?+?(?>2),

所以3=2.廣+2〃=2〃+2,又〃eN*，

。2〃-1

所以上一筆=21+2-2"=2,〃eN*

a2n-la2n-3

所以出為單調(diào)遞增的等差數(shù)列,

Ia2n-\,

則數(shù)列—\不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以C選項(xiàng)不正確;

=2(-'產(chǎn)"+2"+2=2〃+4,

%〃+|

2n+2

則bn=bg2(%+2.)T0g2(。2“?叫)=l°g2""2%,=Jog,

a2na2n+\n+\

c.3.4.n+1.n+2.34"+1/?+2〃+2

S"=嶼5+1。叼+…+|%—+1嗚R%—X~~X???X_X=1?g2—>5,

23n〃+1

解得〃>62,又〃eN*,所以正整數(shù)〃的最小值為63,所以D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.（2022?遼寧?渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)一1|+|〃一2|+|〃一3|+…+|〃—20|,其中

n是正整數(shù)，則的最小值是.

【答案】100

【解析】

【分析】

去絕對(duì)值，由等差數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)可解.

【詳解】

易知，要使，＜”＞取得最小值，正整數(shù)〃必然在區(qū)間口,20］上,

貝廳(〃)=(〃-1)+(〃-2)+―+3+2+1+0+1+2+3+...+(20一〃)=(仁?？?；入切+0。二”中；?？」

="一21n+210=卜-穿+攀

,.,?eN+,.HO或〃=11時(shí)f⑺有最小值100.

故答案為：100

14.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸

把紙對(duì)折.規(guī)格為12辦zx20而z的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次可以得到10出7x12加和20而zx&加兩種規(guī)格的圖形，它

們的周長(zhǎng)之和為C=96而，對(duì)折2次可以得到5出？x12血7,6dmxl0dm,3出zx20d/w三種規(guī)格的圖形，它們的

周長(zhǎng)之和為。2=112必〃，以此類(lèi)推，則對(duì)折5次后能得到的所有不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)

折〃次后，那么能得到的所有不同規(guī)格圖形的周長(zhǎng)之和G=dm.

【答案】6128-晟

【解析】

【分析】

設(shè)沿著長(zhǎng)方形紙長(zhǎng)邊折疊k(0VZ4”且kwN)次，則要沿著長(zhǎng)方形紙片短邊折疊次，出現(xiàn)的規(guī)格

情況有(〃+1)次，且周長(zhǎng)為G=2X|12+6+3+...+12XQ)+20+10+5+…+20x(；)),利用等比數(shù)列求和公式

進(jìn)行求解.【詳解】

設(shè)沿著長(zhǎng)方形紙長(zhǎng)邊折疊衣(04左45且keN)次，則要沿著長(zhǎng)方形紙片短邊折疊(5-火)次，故折疊5次

后共出現(xiàn)的規(guī)格情況為20x(g)dmx12x(g)dm,A：=0,1,2,3,4,5,即有10面lOdm^dm,

3555,

5dmx—dm,—dm義3dm,-dmx\2dm,一dmx6dm,共6種規(guī)格；

2284

同理，對(duì)折〃次共有(〃+1)種規(guī)格，6=2x(12+6+20+10)=96,C2=2x(12+6+3+20+10+5)=112,....,

Q=2x卜2+6+3+…+12x(g)+20+10+5+…+20x(；)=128-^

故答案為：6?128--

15.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知/(x)為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，在數(shù)列｛q｝中，4=2(),對(duì)任意正整數(shù)〃，

/Ki)+/(3-??)=O,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S?的最大值為.

【答案】77

【解析】

【分析】

先山題給條件判定數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列｛?,｝的單調(diào)性即可求得

其前〃項(xiàng)和S”的最大值.

【詳解】

因?yàn)?)=0,且f(x)為R上的奇函數(shù),所以=3).

又f(x)在R上單調(diào)遞增，所以4M=。“-3,即〃向-““=-3,

所以｛q｝為等差數(shù)列，且公差為-3,首項(xiàng)為20,

所以a,,=23-3”，所以q>%>…>%>0>4>%>…，

所以亂最大，且跖=7x20+43x(-3)=77

故答案為77.

16.(2022?湖北?一模)2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開(kāi)始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)

在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長(zhǎng)可以無(wú)限長(zhǎng)，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫

曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三

角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)

進(jìn)行這一過(guò)程

長(zhǎng)為1,則第〃個(gè)圖形的周長(zhǎng)為；若第1個(gè)圖中的三角形的面積為1,則第"個(gè)圖形的面積為

【解析】

【分析】

由圖形之間的邊長(zhǎng)的關(guān)系，得到周長(zhǎng)是等比數(shù)列，再按照等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得解;

由圖形之間的面積關(guān)系及累加法，結(jié)合等比數(shù)列求和可得解.

【詳解】

記第"個(gè)圖形為《，三角形邊長(zhǎng)為邊數(shù)瓦，周長(zhǎng)為。，面積為5“

[有4條邊，邊長(zhǎng)％;鳥(niǎo)有仇=4々條邊，邊長(zhǎng)叼=；4；8有4=4法條邊，邊長(zhǎng)4=（jq；L

分析可知即a“=G[4；2=4%,即么=*4"一’

當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的周長(zhǎng)為1時(shí)，即4=1,々=3

所以L“=a“b”=（g）x3x4"'=（《）

由圖形可知日是在每條邊上生成一個(gè)小三角形,即S.=S“T+〃ix2^a；

即S“-S“?=走xa“20],5?-S?,=—x<??i2?>L,S-S=—xa2

nn-i4nn-1n-\n-zn-in-ti\?i?4利用累加法可得

Sn-S\=4（a：?b“T。-2+…+%?也）

數(shù)列｛4｝是以1為公比的等比數(shù)列，數(shù)列｛〃｝是以4為公比的等比數(shù)列，故上也1是以*為公比的等比

數(shù)列，

當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的面積為1時(shí)，5,=1,即1%2=1,此時(shí)速，。,2=生叵，A有仇=3條邊,

心4對(duì)「俄I-27

則aj?〃,1+4,：也，+…+a,?4=---------------------=-----------------------

nn—in—\n—zz145

1----

9

所以S“Y=|X1一.），所以s'=|_|x（：）

故答案為：[-T,,---xf-T-1

⑶55⑺

四、解答題

17.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))在如圖所示的數(shù)陣中，從任意一個(gè)數(shù)開(kāi)始依次從左下方選出來(lái)的數(shù)可組成

等差數(shù)列，如：2,4,6,8,...；依次選出來(lái)的數(shù)可組成等比數(shù)列，如：2,4,8,16,....

1

22

344

4688記第〃行第加個(gè)數(shù)為/(〃，〃[)?

58121616

(I)若“23,寫(xiě)出)(〃1)，“〃,2),“〃,3)的表達(dá)式,并歸納出了(〃,時(shí)的表達(dá)式；

(II)求第10行所有數(shù)的和品).

[答案]([)f(n,l)=n,/(〃,2)=2(〃一1),/(〃,3)=4(〃一2),/(〃,m)=2"i(〃一m+1)；(IDSl0=2036.

【解析】

【分析】

(I)由數(shù)陣寫(xiě)出『(〃/)=",/(n,2)=2(n-l),f(n,3)=4(n-2),由此可歸納出/(〃,％)=2=(〃+1).

29

(IDSl0=/(10,l)+/(10,2)+/(10,3)+...+/(10,10)=10+2x9+2x8+-+2xl,利用錯(cuò)位相減法求得結(jié)

果.

【詳解】

(1)由數(shù)陣可知：

f(n,l)=n,f(n,2)=2(n-l),f(n,3)=4(n-2),

由此可歸納出/(",加)=2'"T(n-m+l).

(II)Sio=/(1O,1)+/(1O,2)+/(1O,3)+-+/(1O,1O)

=10+2x9+22x8+…+29x1,

所以2九=20+2葭9+2隈8+-.+2隈1,

錯(cuò)位相減得E。=-10+2+2?+…+2"+2"=TO+=2036.

1-2

18.(2016?四川?高考真題(理))己知數(shù)列｛”“｝的首項(xiàng)為1,5“為數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和,5同=恭“+1,其

中q>0,neN\

(I)若2%,%，％+2成等差數(shù)列，求數(shù)列歸心的通項(xiàng)公式；

.V254〃一邛

(II)設(shè)雙曲線x?-4=l的離心率為e”，且e,=；,證明：q+e,+-+e“>^一-.

呢'33"T

【答案】(I)a,,=2"T(〃wN“)；(II)詳見(jiàn)解析.

【解析】

【詳解】

試題分析：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、雙曲線的離心率、等比數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)

題和解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.第(1)問(wèn)，利用4,=S.+「S”得到數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，再結(jié)合2a2,a?,

az+2成等差數(shù)列求出｛4｝的公比q,從而利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；第(II)問(wèn)，先利用雙曲線的離心

率得到e“的表達(dá)式，再解出｛q｝的公比q的值，最后利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算證明.

試題解析:(I)由已知，S”產(chǎn)qS.+l,S.2=qS,*i+l,兩式相減得到凡好=的川,讓1.

又由S?=恭|+1得到a2=qa,,故=如”對(duì)所有n>1都成立.

所以，數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而““=g"T.

由2見(jiàn)，%%+2成等差數(shù)列，可得2a3=3%+2,即2/=3q+2,,則(2q+l)(q-2)=0,

由已知,4>0,故4=2.

所以a,=2"T(〃eN*).

(H)由(I)可知，%=/i.

2

所以雙曲線3-方=1的離心率4=/+4,2='1+產(chǎn)|).

由62=ji+jq解得q=*

因?yàn)?+//T>>qM-D,所以護(hù)產(chǎn)7>qi(keN*).

「是q+?2■1---He“>\+qH---\-q"1=——,

q-i

..4"-3"

故q+02+..?+的>?--

bc

19.(2020?浙江?高考真題)已知數(shù)列｛bn｝,｛c〃｝中,?i=i=i=^cn=a^-an,c?￥1=-^--c?(neN*).

“”+2

(I)若數(shù)列｛加｝為等比數(shù)列，且公比4>0,且4+優(yōu)=6々，求q與｛0〃｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列｛加｝為等差數(shù)列，且公差4>0,證明：q+q+…+c“<l+；(〃eN*)

a

i4"T+2

【答案】(I)q=-,a,=——^.x(II)證明見(jiàn)解析.

23

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)偽+4=6%，求得。，進(jìn)而求得數(shù)列｛1｝的通項(xiàng)公式，利用累加法求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

(H)利用累乘法求得數(shù)列上“｝的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.

【詳解】

(D依題意?=1也=4也=，，而々+4=6么，即1+9=6/,由于q>0,所以解得“=；,所以

1

所以勿+2=白，故%+1=卒?％=4?％，所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為4的等比數(shù)列，所以c“=4"T.

2〃+i

J-9

所以4+1-4“=C"=4"I(〃N*).所以a“=q+1+4+…+4"2=------,又〃=1,q=l符合，

,,4"-,+2

古父％=--—?

cb

(II)依題意設(shè)2=1+(〃—1)4=而+l—d,由于3=廣，

C

n"n+2

所以?-二好(〃22,weN，),

故c.=_S_.5?.…&..幺＜=%%b“fAb、j

%b?b“_\bb,

%T-c2c,4

(1V11、d+\dd+\d

又q=1，inj1+------=-----x—=-----------x-------------------=1,

(d人4b2)d姑2dlx(J+l)

由于d>o,4=l,所以〃向>0,所以（1+1］［1-/-卜1+：.

BPc1+c2+...+cn<14-—,n&N,.

20.（2020?全國(guó)?高考真題（理））設(shè)數(shù)列｛刖｝滿足。尸3,?！?|=34-4".

（1）計(jì)算。2,as,猜想｛〃〃｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

（2）求數(shù)列｛2〃°〃｝的前“項(xiàng)和S”.

【答案】（1）%=5,%=7,a?=2n+l,證明見(jiàn)解析：（2）S?=（2n-l）-2B+,+2.

【解析】

【分析】

（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出的,%,猜想得出｛%｝的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；

（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯(cuò)位相減法求解即可.

【詳解】（1）

［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

由題意可得々=34-4=9-4=5,%=3%-8=15-8=7,由數(shù)列｛4｝的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列加｝是以3為首

項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即為=2〃+1.

證明如下：

當(dāng)〃=1時(shí)，4=3成立；

假設(shè)〃=%卜€(wěn)w）時(shí)，氏=2&+1成立.

那么〃=攵+1時(shí)，4+i-36-4k=3（2女+1）—4A=24+3=2（k+1）+1也成立.

則對(duì)任意的都有勺=2〃+1成立；

［方法二］:構(gòu)造法

由題意可得。2=3%-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7.由q=3,々=5得出一4=2.一=3%-4多,則

%=3a“_1-4（"-1）（〃22）,兩式相減得an+i-a?=3（a?-。，一）-4.令勿="用-a“，且仇=2,所以"=3〃一-4,

兩邊同時(shí)減去2,得2―2=3（%—2）,且〃-2=0,所以"-2=0,即4+「”.=2,又』一4=2,因此｛%｝

是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，所以M=2”+1.

［方法三］:累加法

由題意可得%=3《-4=9-4=5,4=3%-8=15-8=7.

由4“=3q_4"得翳一爭(zhēng)=_瑞，即爭(zhēng)一/=_4"最，爭(zhēng)一拿=_8x/,……

祟-碧—)x［(〃±2).以上各式等號(hào)兩邊相加得/一生=-4lxl+2xl+...+(n-l)xl,所

以爭(zhēng)=(2"+1>".所以q,=2〃+1522).當(dāng)〃=1時(shí)也符合上式.綜上所述，a?=2n+\.

［方法四］:構(gòu)造法

2a2=3《-4=5嗎=3。2-8=7,猜想％=2〃+1.由于a,“=3ali-4〃,所以可設(shè)

%”+/1(〃+1)+〃=3(4,+/1〃+4),其中/1,〃為常數(shù).整理得《川=3%+2%?+2〃-/1.故2/1=與,2〃一/1=0,

解得2=-2,〃=一1.所以4用-2(〃+1)-1=3(4,-2〃-1)=?=3"(4-2'1—1).又6-3=0,所以{4一2〃-1}

是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故4-21=0,即4=2"+1.(2)由(D可知,a?-2"=(2n+l)-2"

［方法一］:錯(cuò)位相減法

S“=3x2+5x22+7x2'+…+(2〃-1).2"-'+(2〃+1).2",①

2S?=3x22+5x23+7x24+---+(2n-l)-2"+(2n+i)-2"+,,②

由①一②得：-S?=6+2x(22+23+---+2,,)-(2n+l)-2,,+l

=6+2x2x(J2)_(2〃+1)-2n+1=(1-2").2'用一2,

1-2

B|JS?=(2n-l)-2),+l+2.

［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法

an+,a

2"a?=(2n+l)2=(2n-l)2-(2n-3)2=bn+}-bn,所以S“=2q+2?%+233+…+2%”

,1+I

=(b2-bt)+(b3-b2)+(b4-b3)+---+(&n+1-bn)=bn+l-bt=(2H-1)2+2.

［方法三］:構(gòu)造法

當(dāng)“N2時(shí)，S“=S,i+(2〃+1)?2"，設(shè)S“+(pn+q?2"=5?_,+［p(n-l)+?］-,即S?=S?_,+二P紀(jì)尸-2",

誄=2.

則，解得p=Tg=2.

+P

2,

所以S,+(-4〃+2>2"=S“T+T("-1)+2］2I,即｛S,,+(-^+2>2"｝為常數(shù)列，而，+(-4+2>2=2,所

以S“+(-4〃+2)-2"=2.

故S“=2+(2〃-l)-2"M.

［方法四］:

因?yàn)?"”“=(2〃+1)2"=2〃?2"+2"=4".2"-'+2",令/=〃-2"T,則

f(x)=x+x2+x3+---+x"-------(x*O,l)'

l+ar""-(〃+l)x"

f'(x)=\+2x+3x2+…+nx"~'

(1)2

所以A+&+L+〃,=l+2?2+322+…+〃-2"T=尸(2)=1+“-2向-(〃+1)2".故

叩+〃.向

Sn="'(2)+2+2?+2,+…+2"=2"J(〃+1)2"]+之,；)=(2〃-1)2+2.

【整體點(diǎn)評(píng)】

(1)方法?：通過(guò)遞推式求出數(shù)列｛《,｝的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)

行證明，是該類(lèi)問(wèn)題的通性通法，刻于此題也是最優(yōu)解；

方法二：根據(jù)遞推式*=3%-4〃，代換得％=361-4(〃-1)(及22),兩式相減得4+「4=3(勺-4_1)-4,

設(shè)么=4向-4,，從而簡(jiǎn)化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出",從而得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

方法三：由。，⑹=34-4〃化簡(jiǎn)得翁-叁=-瑞，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

方法四：通過(guò)遞推式求出數(shù)列｛%｝的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式

變形成。向+"〃+l)+〃=3(a,+2〃+M),求出從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公

式.

(2)

方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯(cuò)位相減法解出，該法也是此類(lèi)題型的通性通法；

方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過(guò)程簡(jiǎn)單，是本題的最優(yōu)解法；

方法三：由讓2時(shí)，S“=S,i+(2w+lA2”，構(gòu)造得到數(shù)列｛S“+(T”+2>2"｝為常數(shù)列，從而求事;

方法四：將通項(xiàng)公式分解成27“=(2〃+1)2"=2〃?2"+2"=4"Qi+2”,利用分組求和法分別求出數(shù)列

｛2"｝,｛〃-2"T｝的前〃項(xiàng)和即可，其中數(shù)列｛“電"-｝的前〃項(xiàng)和借助于函數(shù)

〃x)=x+x2+x3+…十丁二」1二百(XHO,1)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡(jiǎn)化了

運(yùn)算.

21.(2022?浙江?杭師大附中模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，數(shù)列"｝滿足a=解,(〃eN*),且數(shù)列出｝

的前"項(xiàng)和為("T)S“+2n.

(1)求4，%,并求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)抽去數(shù)列｛a,,｝中點(diǎn)第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3〃-2項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列｛%｝,

數(shù)列匕｝的前"項(xiàng)和為T(mén)“，求證：【答案】(1)4=2,々=4,a?=2"

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

(1)由6+2a2+3/+…+%=5T)S,,+2〃得出4,七,再由前”項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系得出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式；

(2)分類(lèi)討論”=2A-1,“=2%兩種情況，由分組求和法得出?；，再由冬■的單調(diào)性得出證明

(I)

由題意得4+2%+3%+…+〃a“=("-1)S"+2〃，①

當(dāng)〃=1時(shí)，4=2：當(dāng)〃=2時(shí)，4+2%=S?+4=q+4+4=>g=4；

當(dāng)〃22時(shí)，a1+2a2+3a3+--.+(n-l)(zn_l=(n-2)5,,..+2(/?-1),②

①一②得，=(〃-1)S“-2)S,i+2=S“+(〃-2)a“+2nS“=2a?-2(n>2),

當(dāng)”=1時(shí)，4=2,也適合上式，所以S.=2a”—2(〃eN*),所以S“y=2。,一-2,

兩式相減得q=2a,i(〃N2),

所以數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以弓=2”.

(2)

數(shù)列｛5｝為：22,2\25,26,2S,29,……，所以奇數(shù)項(xiàng)是以4為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以8為首

項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列.

C

所以當(dāng)〃=2Z—1伙WN")時(shí)，Tn=q+C2H-------F=(G+。3■1-----------C2b1)+(。2+。4-----------2k-2)

W+25+..e)+Q*“+”+”號(hào)與斤以

_1_2_-8_*____1_284

T,，5-8*12.12.8A12訴］加=一7~一亍」23—12=12?《顯然午1■是

T?=T?+c?=---y+23t=------亍，所以

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