2021-2022學年安徽省滁州市定遠縣高二分層班下學期期中考試數(shù)學（理）試題【含答案】

2021-2022學年安徽省滁州市定遠縣高二分層班下學期期中考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，則（

）A．100 B．80 C．75 D．50【答案】D【分析】先由遞推關(guān)系式得到數(shù)列的周期為4，再計算即可.【詳解】由題意得，，，，，，…，∴數(shù)列的周期為4，∴．故選：D．2．若數(shù)列滿足(，為常數(shù))，則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則（

）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【分析】根據(jù)給定定義可得數(shù)列是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答.【詳解】因數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，則，且為常數(shù)，因此數(shù)列是等差數(shù)列，則有，解得，所以.故選：B3．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，”（“錢”是古代一種質(zhì)量單位），在這個問題中，甲得錢數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把給定問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，列出首項、公差的方程組即可求解作答.【詳解】甲、乙、丙、丁、戊五人所得錢數(shù)依次記為，，，，，依題意是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，依題意有，即，解得，所以甲得錢.故選：C4．數(shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：．5．設(shè)某廠2020年的產(chǎn)值為1，從2021年起，該廠計劃每年的產(chǎn)值比上年增長，則從2021年起到2030年底，該廠這十年的總產(chǎn)值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件可得該廠從2021年起到2030年底的每一年的產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列，借助等比數(shù)列前n項和公式即可計算作答.【詳解】依題意，該廠從2021年起到2030年底的每一年的產(chǎn)值構(gòu)成等比數(shù)列，首項，公比，于是得，所以該廠這十年的總產(chǎn)值為.故選：C6．已知函數(shù)的圖象如圖所示，是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(

)A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合圖像，利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由圖以及導數(shù)的幾何意義可知，在處的切線的斜率比在處的斜率大，且均為正數(shù)，所以，因為過此兩點的割線的斜率為，由圖可知，，所以.故選：B.7．已知函數(shù)，，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所求不等式變形為，令，，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，可得出對任意的恒成立，利用導數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】當時，由，可得，不等式兩邊同時除以可得，即，令，，其中，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由，可得，所以，對任意的，，即，令，其中，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，解得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解有關(guān)x與的組合函數(shù)綜合題時要把握三點：（1）靈活運用復合函數(shù)的求導法則，由外向內(nèi)，層層求導；（2）把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為熟悉易解的函數(shù)模型來處理；（3）函數(shù)最值不易求解時，可重新拆分、組合，構(gòu)建新函數(shù)，通過分類討論新函數(shù)的單調(diào)性求最值.8．已知函數(shù)在上可導，其部分圖象如圖所示，設(shè)，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖像和導數(shù)的幾何意義即可判斷得解.【詳解】從函數(shù)的圖像可知，函數(shù)值的增長越來越快，故函數(shù)在該點的斜率也越來越大.因為，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的變化率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.9．已知為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，求得函數(shù)在x=1處的切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率相乘等-1，解方程可得a．【詳解】解：的導數(shù)為，可得曲線在點（1，ae+1）處的切線斜率為ae+2，由切線與直線垂直可得（ae+2）（）=-1，解得a＝．故選C．【點睛】本題考查導數(shù)在點處的切線的斜率的求法，同時考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導，利用導數(shù)的幾何意義結(jié)合垂直關(guān)系計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，求導得，于是得函數(shù)的圖象在點處切線的斜率，而直線的斜率為，依題意，，即，解得，所以.故選：C11．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的導函數(shù)的圖象大致為()A． B．C． D．【答案】A【詳解】分析：首先利用偶函數(shù)的性質(zhì)求得實數(shù)a的值，然后求解的解析式，二次求導研究導函數(shù)的極值，利用極值點即可求得最終結(jié)果.詳解：函數(shù)為偶函數(shù)，則，即：，據(jù)此可得：，函數(shù)的解析式為：，其導函數(shù)，二階導函數(shù)，在遞減，在遞增，在遞減，所以函數(shù)的極大值為：，觀察所給的函數(shù)圖象，只有A選項符合題意.故選：A點睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．12．定義：如果函數(shù)在上存在，滿足，，則稱函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)是上“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)是上“雙中值函數(shù)”，得到，再對進行求導，根據(jù)題意得到在上有兩個根，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個零點，即可求解.【詳解】解：是上“雙中值函數(shù)”，，又，，即在上有兩個根，令，其對稱軸為：，故，解得：.故選B．【點睛】方法點睛：本題主要根據(jù)是上“雙中值函數(shù)”，轉(zhuǎn)化為在上有兩個根，設(shè)出二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，列出條件，即可求解的范圍.二、填空題13．已知數(shù)列的前n項和為，則的值為______.【答案】##【分析】由，得，化簡后可得從第2項起，是以為公比，為首項的等比數(shù)列，從而可求出的值【詳解】由，得，所以，所以，因為，所以從第2項起，是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，故答案為：14．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則實數(shù)b=__________.【答案】.【詳解】設(shè)直線與曲線和曲線的切點分別為，.∵直線是曲線的切線，也是曲線的切線∴，即.∴切線方程為，即為或，即為∴，則∴故答案為.點睛：本題以導數(shù)的幾何意義為載體，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)在交點處的切線相同得到關(guān)于切點坐標的方程組，根據(jù)得到的相等關(guān)系將問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)即可．15．分形幾何學又被稱為“大自然的幾何學”，是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學.一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，簡單的說，分形就是研究無限復雜具備自相似結(jié)構(gòu)的幾何學.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，正三角形的邊長為1，在各邊取兩個三等分點，往外再作一個正三角形，得到圖2中的圖形；對圖2中的各邊作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形，記第個圖形（圖1為第一個圖形）中的所有外圍線段長的和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為______.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】9【分析】先求出第個圖形中線段的長度，第個圖形中線段的條數(shù)，得到，根據(jù)等比數(shù)列求和公式求和后列出不等式求解即可得到答案.【詳解】由題易知每個圖形中線段的長度相等.設(shè)第個圖形中線段的長度為，則，設(shè)第個圖形中線段的條數(shù)為，則，∴，則，令，得，則，即滿足不等式的最小正整數(shù)的值為9.故答案為：916．對于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導數(shù)的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．有同學發(fā)現(xiàn)“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)，則它的對稱中心為______．【答案】【分析】根據(jù)拐點的定義，令，解得，則，由拐點的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)，∴，∴．令，解得，且，所以函數(shù)對稱中心為，故答案為．【點睛】本題主要考查導數(shù)的運算，以及新定義問題，屬于中檔題.新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.三、解答題17．已知是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和是，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)有求、，寫出的通項公式；（2）應用裂項相消法，求的前項和即可.【詳解】（1）由題意，，解得，∴.（2）由，∴.18．設(shè)為數(shù)列{}的前n項和，且，．數(shù)列{}滿足，．(1)求數(shù)列{}的通項公式：(2)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列{}的前2n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合數(shù)列前項和與第項之間的關(guān)系、等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）根據(jù)遞推公式，結(jié)合（1）中的結(jié)論進行求解得出，再根據(jù)平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行即可.【詳解】（1）解：由，因為，所以當時，，得：，所以，當時，也適合，因此；（2）解：因為，所以當時，，兩式相減得：，由（1）可知：，所以，當時，，也適合上式，故；所以，因此.所以.19．已知函數(shù).（1）求曲線y=f(x)在點P(1，-2)處的切線方程；（2）過點P(2，2)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.【答案】（1）；（2）與.【分析】（1）求出在處的導數(shù)即為在點P(1，-2)處的切線斜率，代入點斜式方程化簡則可求出切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)方程設(shè)出切點，求得在切點處的導數(shù)，代入點斜式方程，因為過點P(2，2)，將點代入直線方程，可求出切點坐標，從而求出切線方程.【詳解】解：（1）由題意可知，則在處的切線斜率，則在點P(1，-2)處的切線方程為：，即切線方程為：.（2）因為，所以設(shè)切點為，斜率為則所求切線方程為：①因為切線過點P(2，2)，所以有解得：或代入①化簡可得切線方程為：或.【點睛】方法點睛：（1）求切線方程分為在點處的切線和過點處的切線，在點處的切線，直接求導得到切線的斜率，代入點斜式方程化簡即可；（2）過點處的切線，需設(shè)切點，求出在切點處的導數(shù)，然后寫出點斜式方程，將所過的點代入直線方程，求解，然后重新代入化簡可求出直線方程.20．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，存在實數(shù)，使得不等式成立，求的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．【分析】（1）求導，對a分類討論求解單調(diào)區(qū)間；（2）不等式成立，轉(zhuǎn)化為，然后求解函數(shù)的最大與最小值列出不等式求解【詳解】解：（1）∵，∴（1）當時，∵，∴，，∴單減，∴減區(qū)間是．時，，∴單增，∴增區(qū)間是．（2）當時，∵，∴，∴的減區(qū)間是．（3）當時，∵，∴的減區(qū)間是．（4）當時，，∴，∴的增區(qū)間是，，，∴的減區(qū)間是．（2），因為存在實數(shù)，使得不等式成立，∴，∵，，，單減，，，∴單增．∴，．∴，∴，∵，∴．【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若若，，有，則的值域是值域的子集．21．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，且，，(1)求數(shù)列的通項公式：(2)若數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，依題意得到方程組，解得和，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)，當時求出，當時，兩式作差即可求出的通項公式，再利用錯位相減法求和即可；【詳解】（1