2023版中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)6滿分大專題五-類型六 圖形變換綜合

類型六

圖形變換綜合典例精講

綜合與實(shí)踐——旋轉(zhuǎn)+平移問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“菱形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1，將一張菱形紙片ABCD（∠BAD>90°）沿對(duì)角線AC剪開，得到△ABC和△ACD．操作發(fā)現(xiàn)：（1）將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠α，使∠α

=∠BAC，得到如圖2所示的△AC'D，分別延長(zhǎng)BC和DC'交于點(diǎn)E，則四邊形ACEC'的形狀是

.菱形（2）創(chuàng)新小組將圖1中的△ACD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠α，使∠α

=2∠BAC，得到如圖3所示的△AC'D，連接DB，C'C，得到四邊形BCC'D，發(fā)現(xiàn)它是矩形.請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.∠BAC與∠C'AC有什么特殊的關(guān)系？要判定四邊形BCC'D是矩形有哪些方法？分析

要證四邊形DBCC'是矩形，聯(lián)想矩形的三種判定方法.思路一：三個(gè)角是90°的四邊形是矩形.分析

思路二：一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形.如圖析1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥C'C.分析

思路三：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.如圖析2，連接DC，BC'.證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥

CC'于點(diǎn)E.由旋轉(zhuǎn)得AC'

=

AC，∴∠CAE=∠C'AE=

∠α

=∠BAC.∵在圖1中，四邊形ABCD是菱形，∴BA=

BC.∴∠BCA=∠BAC.∴∠CAE=∠BCA.∴AE∥BC.同理，AE∥DC'.∴BC∥DC'.又∵BC=

DC'，∴四邊形BCC'D是平行四邊形.又∵AE∥BC，∠CEA=90°，∴∠BCC'=180°-∠CEA=90°.∴平行四邊形BCC'D是矩形.實(shí)踐探究：（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，量得圖3中BC=13cm，AC

=10cm，然后提出一個(gè)問(wèn)題：將△AC'D沿著射線DB方向平移acm，得到△A'C"D'，連接BD'，CC"，使四邊形BCC"D'恰好為正方形，求a的值.請(qǐng)你解答此問(wèn)題.一題多解（4）請(qǐng)你參照以上操作，將圖1中的△ACD在同一平面內(nèi)進(jìn)行一次平移，得到△A'C'D'，在圖4中畫出平移后構(gòu)造出的新圖形，標(biāo)明字母，說(shuō)明平移及構(gòu)圖方法，寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，不必證明.綜合與實(shí)踐取一張矩形紙片ABCD，E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將△AEB沿直線BE折疊得△FEB．（1）如圖1，連接FC，F(xiàn)D，AF，當(dāng)FC=FD時(shí)，試判斷△ABF的形狀，并說(shuō)明理由.滿分訓(xùn)練

解：△ABF是等邊三角形.理由如下：方法一：由折疊的性質(zhì)可知，BA

=

BF.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC

=∠BCD=90°.∵FD=

FC，∴∠FDC=∠FCD.∴∠ADF=∠BCF.又∵DA=

CB，∴△ADF≌

△BCF（SAS）.∴AF

=

BF.∴AB=

AF=

BF.∴△ABF是等邊三角形．一題多解點(diǎn)撥：方法二，如圖析，過(guò)點(diǎn)F作CD的垂線，交CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H.可證FH垂直平分AB，故AF

=

FB，得到AB=

BF=

AF.所以△ABF是等邊三角形.（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F落在邊BC上時(shí)，分別延長(zhǎng)BE，CD交于點(diǎn)G，將△BAE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<45°）得到△BA'E'，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E'.分別連接A'C，E'G，取E'G中點(diǎn)H，連接CH，試判斷線段A'C與CH的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．理由：如答圖，延長(zhǎng)CH到M，使得HM=

HC，連接A'M，A'H，E'M．∵GH=

HE'，∠GHC=∠E'HM，HC=

HM，∴△GHC≌△E'HM（SAS）.∴CG=

ME'，∠HGC=∠HE'M.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°.由折疊的性質(zhì)可知∠ABE=∠FBE=45°.解：（2）∴∠AEB

=45°.∴AB=

AE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A'B=

A'E'=AB=

AE，∠E'A'B=∠ABC=90°.∵∠BCG=90°，∴∠CGB=∠CBG=45°.∴CB=

CG.∴BC=

E'M.∵∠A'E'M=360°-∠A'E'B-∠BE'G-∠HE'M=315°-∠CGE'-∠GE'B，∠A'BC=540°-∠BA'E'-∠BCG-∠AE'B-∠GE'B-∠CGE'=315°-∠CGE'-∠GE'B，∴∠A'BC=∠A'E'M.∵A'B=

A'E'，∴△A'BC≌△A'E'M（SAS）.∴A'C=A'M，∠BA'C=∠