彈性力學第二章應力理論演示文稿

彈性力學第二(Er)章應力理論演示文稿第一頁，共九十五頁。彈性(Xing)力學第二章應力理論第二頁，共九十五頁。應力理(Li)論Chapter3

外力、內力與應力

柯西公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程第三頁，共九十五頁。

外力、內力與(Yu)應力Chapter3.1

外力第四頁，共九十五頁。

外力、內(Nei)力與應力Chapter3.1

外力體力即分布在物體體積內部各個質點上的力，又稱為質量力。例如物體的重力、運轉零件的慣性力等。面力即作用在物體表面上的力，例如作用在飛機機翼上的空氣動力、水壩所受的水壓力等。第五頁，共九十五頁。

外力、內(Nei)力與應力Chapter3.1

定義式體力：第六頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1

定義式面力：第七頁，共九十五頁。

外(Wai)力、內力與應力Chapter3.1

內力物體內部各個部分之間將產生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力，稱為內力。內力也是分布力，它起著平衡外力和傳遞外力的作用，是變形體力學研究的重要對象之一。應力的概念正是為了精確描述內力而引進的。第八頁，共九十五頁。

外(Wai)力、內力與應力Chapter3.1

應力應力矢量第九頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1若取為變形前面元的初始面積，則上式給出工程應力，亦稱名義應力，常用于小變形情況。對于大變形問題，應取為變形后面元的實際面積，稱真實應力，簡稱真應力,也稱柯西應力。應力矢量：第十頁，共九十五頁。

外力、內(Nei)力與應力Chapter3.1應力的定義第十一頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1

應力矢量的大小和方向不僅和M點的位置有關，而且和面元法線方向有關。第十二頁，共九十五頁。

外(Wai)力、內力與應力

作用在同一點不同法向面元上的應力矢量各不相同，反之，不同曲面上的面元，只要通過同一點且法線方向相同，則應力矢量也相同。第十三頁，共九十五頁。

外力、內力與(Yu)應力Chapter3.1應力矢量和面力矢量的數(shù)學定義和物理量綱都相同。區(qū)別在于：應力是作用在物體內界面上的未知內力，而面力是作用在物體外表面的已知外力。當內截面無限趨近于外表面時，應力也趨近于外加面力之值。第十四頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1正六面體微元:

外法線與坐標軸同向的三個面稱為正面，記為dSi，它們的單位法向矢量為i＝ei，ei是沿坐標軸的單位矢量；另三個外法線與坐標軸反向的面元稱為負面。第十五頁，共九十五頁。

外力、內力與(Yu)應力Chapter3.1第十六頁，共九十五頁。

外力、內(Nei)力與應力Chapter3.1應力分量的正負號規(guī)定第十七頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1應力分量的個數(shù)第十八頁，共九十五頁。

外(Wai)力、內力與應力Chapter3.1x222x11131e2e3e1x3333213232112第十九頁，共九十五頁。

外力、內力與(Yu)應力Chapter3.1把作用在正面dSi上的應力矢量沿坐標軸正向分解得：即：x222x11131e2e3e1x3333213232112第二十頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1共出現(xiàn)九個應力分量：第二十一頁，共九十五頁。

外力(Li)、內力(Li)與應力(Li)Chapter3.1

第一指標i表示面元的法線方向，稱面元指標；第二指標j表示應力的分解方向，稱方向指標。當i＝j時，應力分量垂直于面元，稱為正應力。當i≠j時，應力分量作用在面元平面內，稱為剪應力。第二十二頁，共九十五頁。

外力、內力與(Yu)應力Chapter3.1x222x11131e2e3e1x3333213232112方向規(guī)定：正面上與坐標軸同向或負面上與坐標軸反向為正。亦即“受拉為正，受壓為負”。第二十三頁，共九十五頁。應力(Li)理論Chapter3

外力、內力與應力柯西公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程第二十四頁，共九十五頁。Chapter3.2柯西(Xi)公式四面體OABC，由三個負面和一個法向矢量為的斜截面組成，其中為方向的方向余弦。斜截面上的應力第二十五頁，共九十五頁。Chapter3.2斜截面(Mian)上的應力柯西公式第二十六頁，共九十五頁。Chapter3.2

柯西(Xi)公式n柯西公式第二十七頁，共九十五頁。Chapter3.2

的面積為dS,則三個負面的面積分(Fen)別為斜截面的面元矢量為：柯西公式第二十八頁，共九十五頁。Chapter3.2四面(Mian)體的體積為：dh為頂點O到斜面的垂直距離n柯西公式第二十九頁，共九十五頁。Chapter3.2四面體上作用力的(De)平衡條件是：第五項是體力的合力，由于dh是小量，故體力項可以略去?？傻茫嚎挛鞴降谌摚簿攀屙?。Chapter3.2根據(jù)(Ju)商判則，知必是一個二階張量，于是定義應力張量柯西公式第三十一頁，共九十五頁。這就是著名的柯西公式(Shi)，又稱斜面應力公式。Chapter3.2柯西公式第三十二頁，共九十五頁。Chapter3.2把斜面應力沿(Yan)坐標軸方向分解：則柯西公式的分量表達式為即柯西公式第三十三頁，共九十五頁。Chapter3.2

柯西公式應用－計算斜(Xie)截面上的應力斜面上應力的大小柯西公式第三十四頁，共九十五頁。Chapter3.2

柯西公式應用－計算(Suan)斜截面上的應力斜面上應力的方向即柯西公式第三十五頁，共九十五頁。Chapter3.2斜面正應(Ying)力斜面剪應力

柯西公式應用－計算斜截面上的應力柯西公式第三十六頁，共九十五頁。Chapter3.2

若斜面是物體的邊界面，則柯(Ke)西公式可用作未知應力場的力邊界條件：其中pj是面力p沿坐標軸方向的分量，通常記為寫成指標符號

柯西公式應用－給定應力邊界條件柯西公式第三十七頁，共九十五頁。應力(Li)理論

外力、內力與應力

柯西公式

主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程第三十八頁，共九十五頁。Chapter3.3

主(Zhu)應力&應力不變量第三十九頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力(Li)

&應力不變量

概念切應力為零的微分面稱為主微分平面，簡稱主平面。主平面的法線稱為應力主軸，或者稱為應力主方向。主平面上的正應力稱為主應力。第四十頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力&應力不(Bu)變量

主應力和應力不變量假設存在主平面BCD，其法線方向為n(l,m,n)，截面上的總應力pn＝，亦即n方向截面上剪應力為零。則截面上總應力pn在坐標軸方向的分量可以表示為第四十一頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量對斜面BCD運用柯西公式，可得：由剪應力互等定理可得：第四十二頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力&應力不變(Bian)量由(1)和(2)式得：第四十三頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力&應力不(Bu)變量由于，所以要有非零解，則上述三個方程必須是線性相關的，亦即系數(shù)行列式為零：第四十四頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力(Li)

&應力不變量展開行列式得到應力狀態(tài)的特征方程：式中第四十五頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量第四十六頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力&應力不變(Bian)量求解應力狀態(tài)的特征方程，可以得到三個實根：1，2，3，即為該點的三個主應力。第四十七頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力&應力不(Bu)變量若將一個根代入如下方程組：可以順次求出相應于1，2和3的三個主方向：第四十八頁，共九十五頁。Chapter3.3

主(Zhu)應力&應力不變量

I1、I2和

I3是三個與坐標選擇無關的標量，稱為應力張量的第一、第二和第三不變量。它們是相互獨立的。

通常主應力按其代數(shù)值的大小排列，稱為第一主應力1、第二主應力2和第三主應力3

，且

第四十九頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量

主應力的性質

不變性由于特征方程的三個系數(shù)是不變量，所以作為特征根的主應力及相應主方向都是不變量。實數(shù)性即特征方程的根永遠是實數(shù)。第五十頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應力(Li)

&應力不變量

極值性主應力1和3是一點正應力的最大值和最小值。在主坐標系中，任意斜截面上正應力的表達式：第五十一頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量正交性

特征方程無重根時，三個主應力必兩兩正交；

特征方程有一對重根時，在兩個相同主應力的作用平面內呈現(xiàn)雙向等拉(或等壓)狀態(tài)，可在面內任選兩個相互正交的方向作為主方向；特征方程出現(xiàn)三重根時，空間任意三個相互正交的方向都可作為主方向。第五十二頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量

在任意一點，都能找到一組三個相互正交的主方向，沿每點主方向的直線稱為該點的主軸。處處與主方向相切的曲線稱為主應力跡線。以主應力跡線為坐標曲線的坐標系稱為主坐標系。在主坐標系中，應力張量可以簡化成對角型

主應力坐標系第五十三頁，共九十五頁。Chapter3.3

主(Zhu)應力&應力不變量在主坐標系中，主不變量表示為

主應力坐標系第五十四頁，共九十五頁。例：已知受力物體中某點的應力分量為(Wei)（單位：MPa）試求主應力分量及主方向余弦。解：此點的應力狀態(tài)張量的矩陣形式為：

主應力&應力不變量第五十五頁，共九十五頁。首先，求出應力不變量為于是，特征方(Fang)程為

主應力&應力不變量第五十六頁，共九十五頁。求解此特征(Zheng)方程，得三個主應力分別為

主應力&應力不變量第五十七頁，共九十五頁。將三個主應力值依次分別代入上式中的(De)任意兩式，并利用關系式，聯(lián)立求解即可得到三個主方向的(De)方向余弦。例如為求1的方向余弦，l1、m1、n1，將1＝214.6代入上式的前兩式得

主應力&應力不變量第五十八頁，共九十五頁。

主應力(Li)

&應力不變量第五十九頁，共九十五頁。同樣可得(De)其余兩組方向余弦為：主應力：主方向方向余弦：

主應力&應力不變量第六十頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量

應力偏量將應力張量分解成球形張量和偏斜張量其中球形應力張量：第六十一頁，共九十五頁。Chapter3.3

主應(Ying)力&應力不變量應力偏量第六十二頁，共九十五頁。應(Ying)力理論Chapter3

外力、內力與應力

柯西公式應力轉換公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程第六十三頁，共九十五頁。Chapter3.4最大剪應(Ying)力&八面體剪應力

最大剪應力第六十四頁，共九十五頁。Chapter3.4最大(Da)剪應力&八面體剪應力

最大剪應力在主應力坐標系中：約束條件：第六十五頁，共九十五頁。Chapter3.4最(Zui)大剪應力&八面體剪應力引進拉格朗日乘子，求泛函的極值。相應極值條件為于是，可得如下方程組第六十六頁，共九十五頁。Chapter3.4最大(Da)剪應力&八面體剪應力可解出三個法線方向，分別代入下式便可得到三個剪應力的極值，其中的最大者就是最大剪應力。第六十七頁，共九十五頁。Chapter3.4最大剪應力(Li)&八面體剪應力剪應力的三個極值：方向：與對應的兩個主應力夾角為45。O第六十八頁，共九十五頁。Chapter3.4最大剪應(Ying)力&八面體剪應力

正八面體第六十九頁，共九十五頁。Chapter3.4最大剪應力&八(Ba)面體剪應力

八面體剪應力第七十頁，共九十五頁。Chapter3.4最大剪應力(Li)&八面體剪應力

八面體剪應力八面體正應力0為由可得八面體剪應力0為第七十一頁，共九十五頁。應(Ying)力理論Chapter3

外力、內力與應力

柯西公式與應力轉換公式主應力與應力不變量最大剪應力，八面體剪應力平衡微分方程第七十二頁，共九十五頁。Chapter3.5平衡(Heng)微分方程

笛卡爾坐標系中的平衡微分方程考慮物體中A(x,y,z)點，其應力狀態(tài)用直角坐標表示如下(如圖標注)而臨近一點B(x+dx,y+dy,z+dz)的應力狀態(tài)也用直角坐標示出，根據(jù)應力為位置函數(shù)的概念，將應力在附近展開，保留一級微量連同應計入的增量可得：第七十三頁，共九十五頁。Chapter3.5平衡微分(Fen)方程

笛卡爾坐標系中的平衡微分方程應力場：第七十四頁，共九十五頁。第七十五頁，共九十五頁。第七十六頁，共九十五頁。第七十七頁，共九十五頁。第七十八頁，共九十五頁。第七十九頁，共九十五頁。第八十頁，共九十五頁。第八十一頁，共九十五頁。第八十二頁，共九十五頁。OChapter3.5平(Ping)衡微分方程其中X,Y,Z表示單位體積力(與坐標軸同向為正)圖示正六面體代表通過A(x,y,z)及B(x+dx,y+dy,z+dz)兩個點的一個微體，A,B