【數(shù)學(xué)】2023屆高考文科一輪專題復(fù)習(xí)之高效測試36：合情推理與演繹推理

第頁高效測試36：合情推理與演繹推理一、選擇題1．給出以下三個類比結(jié)論．①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，那么有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，那么有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，那么有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案：B2．定義A*B，B*C，C*D，D*A的運算分別對應(yīng)以下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么以下圖中的(A)、(B)所對應(yīng)的運算結(jié)果可能是()(1)(2)(3)(4)(A)(B)A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D答案：B3．在數(shù)列{an}中，假設(shè)存在非零整數(shù)T，使得am＋T＝am對于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{an}的周期．假設(shè)數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，當數(shù)列{xn}的正周期最小時，該數(shù)列的前2023項的和是()A．669B．670C．1339D．1340答案：D4．規(guī)定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步，現(xiàn)程序設(shè)計師讓機器狗以“前進3步，然后再退2步〞的規(guī)律移動．如果將此機器狗放在數(shù)軸原點，面向正方向，以1步的距離為1個單位長度移動，令P(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標，且P(0)＝0，那么以下結(jié)論中錯誤的選項是()A．P(2023)＝403B．P(2023)＝404C．P(2023)＝403D．P(2023)＝404答案：D5．在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算⊕和?，各元素間運算結(jié)果如下：那么d?(a⊕c)＝()A．a(chǎn)B．bC．cD．d答案：A6．以下推理是歸納推理的是()A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，那么P點的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜測出數(shù)列的前n項和Sn的表達式C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜測出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案：B二、填空題7．在如下數(shù)表中，每行、每列中的數(shù)都是成等差數(shù)列，那么，位于下表中的第n行第n＋1列的數(shù)是__________.答案：n2＋n[中教網(wǎng)]8．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x＞0)．觀察以下計算：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f[f1(x)]＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f[f2(x)]＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f[f3(x)]＝eq\f(x,15x＋16)，…，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________.解析：依題意得，f1(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝eq\f(\f(x,x＋2),\f(x,x＋2)＋2)＝eq\f(x,3x＋4)＝eq\f(x,22－1x＋22)，f3(x)＝eq\f(\f(x,3x＋4),\f(x,3x＋4)＋2)＝eq\f(x,7x＋8)＝eq\f(x,23－1x＋23)，f4(x)＝eq\f(\f(x,7x＋8),\f(x,7x＋8)＋2)＝eq\f(x,15x＋16)＝eq\f(x,24－1x＋24)，…，由此歸納可得fn(x)＝eq\f(x,2n－1x＋2n)(x＞0)．答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)(x＞0)9．觀察以下等式：(x2＋x＋1)0＝1；(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；(x2＋x＋1)3＝x6＋3x2＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；可以推測(x2＋x＋1)4的展開式中，系數(shù)最大的項是__________．答案：19x4三、解答題10．先閱讀下面結(jié)論的證明，再解決后面的問題：a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求證：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2x2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2).因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2))≤0，從而aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)≥eq\f(1,2).(1)假設(shè)a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，試寫出上述結(jié)論的推廣式；(2)參考上述證法，對你推廣的結(jié)論加以證明．[z*zs*]解析：(1)假設(shè)a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求證：aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).(2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝nx2－2x＋aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)，∵對一切x∈R恒有f(x)≥0.∴Δ＝4－4n(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))≤0，aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)≥eq\f(1,n).11．橢圓具有性質(zhì)：假設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，且當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明．解析：類似的性質(zhì)為：假設(shè)M、N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點M、P的坐標分別為(m，n)，(x，y)，那么N(－m，－n)．因為點M(m，n)在雙曲線上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.那么kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)·eq\f(x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點D，求證：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜測，并說明理由．圖①解析：如圖①所示，由△ABD∽△CAD及射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).類比AB⊥AC，AD⊥BC，猜測：四面體ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，那么eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).圖②證明：如圖②，連接BE并延長交CD于點F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面A