平面解析幾何（解答題）1（解析版）

平面解析幾何（解答題）11．【2022年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率為的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)直線．（1）由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．由，可得，則．從而，得．所以的方程為．（2）由可得．由，可得．所以．從而，故．代入的方程得．故．【名師點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，涉及平面向量、弦長的求解方法，解題關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程的聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造等量關(guān)系.2．【2022年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知點A(?2，0)，B(2，0)，動點M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號．因為在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．【名師點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及利用直線與橢圓的位置關(guān)系，判斷三角形形狀以及三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運算能力，考查了求函數(shù)最大值問題.3．【2022年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.【答案】（1）見詳解；（2）3或.【解析】（1）設(shè)，則.由于，所以切線DA的斜率為，故.整理得設(shè)，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點.（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是，.設(shè)分別為點D，E到直線AB的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當(dāng)=0時，S=3；當(dāng)時，.因此，四邊形ADBE的面積為3或.【名師點睛】此題第一問是圓錐曲線中的定點問題，第二問是求面積類型，屬于常規(guī)題型，按部就班地求解就可以，思路較為清晰，但計算量不小.4．【2022年高考北京卷理數(shù)】已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）．（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B．求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點．【答案】（1）拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）見解析.【解析】（1）由拋物線經(jīng)過點，得.所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.（2）拋物線的焦點為.設(shè)直線的方程為.由得.設(shè)，則.直線的方程為.令，得點A的橫坐標(biāo).同理得點B的橫坐標(biāo).設(shè)點，則，.令，即，則或.綜上，以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點和.【名師點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準(zhǔn)線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5．【2022年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負(fù)半軸上．若（為原點），且，求直線的斜率．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為．（2）由題意，設(shè)．設(shè)直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立整理得，可得，代入得，進(jìn)而直線的斜率．在中，令，得．由題意得，所以直線的斜率為．由，得，化簡得，從而．所以，直線的斜率為或．【名師點睛】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．6．【2022年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點E的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(?1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2?c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x?1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(?1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得 ，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(?1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【名師點睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.7．【2022年高考浙江卷】如圖，已知點為拋物線的焦點，過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線上，使得的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側(cè)．記的面積分別為．（1）求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）求的最小值及此時點G的坐標(biāo)．【答案】（1）p=2，準(zhǔn)線方程為x=?1；（2）最小值為，此時G（2，0）．【解析】（1）由題意得，即p=2.所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1.（2）設(shè)，重心.令，則.由于直線AB過F，故直線AB方程為，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x軸上，故，得.所以，直線AC方程為，得.由于Q在焦點F的右側(cè)，故.從而.令，則m>0，.當(dāng)時，取得最小值，此時G（2，0）．【名師點睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力和綜合應(yīng)用能力.8．【2022年高考全國III卷理數(shù)】已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C于A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程.【答案】（1）見解析；（2）直線的方程為，圓的方程為，或直線的方程為，圓的方程為【解析】（1）設(shè)，.由可得，則.又，故.因此的斜率與的斜率之積為，所以.故坐標(biāo)原點在圓上.（2）由（1）可得.故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑.由于圓過點，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.當(dāng)時，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證或說明中點在曲線內(nèi)部.9．【2022年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點在橢圓上，且位于第一象限，過點作直線的垂線，過點作直線的垂線．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線，的交點在橢圓上，求點的坐標(biāo)．（注：橢圓的準(zhǔn)線方程：）【答案】（1）；（2）．【解析】（1）設(shè)橢圓的半焦距為c．因為橢圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，，解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（2）由（1）知，，．設(shè)，因為為第一象限的點，故．當(dāng)時，與相交于，與題設(shè)不符．當(dāng)時，直線的斜率為，直線的斜率為．因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，從而直線的方程：①，直線的方程：②．由①②，解得，所以．因為點在橢圓上，由對稱性，得，即或．又在橢圓E上，故．由，解得；，無解．因此點P的坐標(biāo)為．【名師點睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點在曲線上（點的坐標(biāo)滿足曲線方程）等．10．【2022年高考浙江卷】如圖，已知拋物線，點A，，拋物線上的點．過點B作直線AP的垂線，垂足為Q．（1）求直線AP斜率的取值范圍；（2）求的最大值．【答案】