-新教材高中數(shù)學第二章平面解析幾何7.2拋物線的幾何性質(zhì)學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE9拋物線的幾何性質(zhì)新課程標準解讀核心素養(yǎng)1.了解拋物線的幾何圖形及簡單幾何性質(zhì)直觀想象2.通過拋物線方程的學習，進一步體會數(shù)形結合的思想，了解拋物線的簡單應用數(shù)學運算在現(xiàn)實生活中有許多拋物線的原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線、曲線與軸截面的交線等，拋擲出的鉛球在天空中劃過的軌跡也是拋物線的一部分……[問題](1)類比橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)，結合圖像，你能否猜想出拋物線的幾何性質(zhì)呢？(2)參數(shù)p對拋物線開口大小有何影響？知識點拋物線的簡單幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質(zhì)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下eq\a\vs4\al()拋物線的標準方程與對稱性、焦點位置的關系y2＝ax一次項為x項，對稱軸為x軸a>0時，焦點在x軸正半軸上，開口向右a<0時，焦點在x軸負半軸上，開口向左x2＝ay一次項為y項，對稱軸為y軸a>0時，焦點在y軸正半軸上，開口向上a<0時，焦點在y軸負半軸上，開口向下1．拋物線x2＝2py(p＞0)有幾條對稱軸？提示：有一條對稱軸．2．拋物線的范圍是x∈R，這種說法正確嗎？提示：拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y2＝2px(p＞0)的范圍是x≥0，y∈R，故此說法錯誤．1．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標準方程為()A.x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±12x解析：選C可設拋物線方程為x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依題意知eq\f(p,2)＝3，∴p＝6.∴拋物線方程為x2＝±12y.2．設拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準線的距離的取值范圍是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選D∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又拋物線上的點到準線距離的最小值為eq\f(p,2)，∴拋物線上的點到準線距離的取值范圍為[3，＋∞).3．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準線上，則p＝________．答案：4拋物線方程及其幾何性質(zhì)[例1](1)(鏈接教科書第156頁例1)已知拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2eq\r(3)，求拋物線的方程；(2)設P是拋物線y2＝4x上任意一點，設A(3，0)，求|PA|的最小值．[解](1)設所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由對稱性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以點(1，eq\r(3))在拋物線y2＝2px上，點(－1，eq\r(3))在拋物線y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.(2)設點P的坐標為(x，y)，則y2＝4x，x≥0，|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.當x＝1時，|PA|的最小值為2eq\r(2).eq\a\vs4\al()1．幾何性質(zhì)在求拋物線方程中的應用(1)代數(shù)法：將幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標表達式，解方程(組)求出未知數(shù)；(2)幾何法：將幾何性質(zhì)與拋物線定義相結合，采用幾何法求出焦點到準線的距離，從而得到拋物線的標準方程．2．研究拋物線的性質(zhì)，把握三個要點(1)開口方向：由拋物線標準方程看其開口方向，關鍵是看準一次項是x還是y，一次項的系數(shù)是正還是負；(2)位置關系：頂點位于焦點和準線與坐標軸的交點中間，準線垂直于對稱軸；(3)定值：焦點到準線的距離為p，過焦點垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p.[跟蹤訓練]1．(2020·全國卷Ⅲ)設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1，0) D．(2，0)解析：選B將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得y＝±2eq\r(p)，不妨設D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，由OD⊥OE，可得eq\o(OD,\s\up7(→))·eq\o(OE,\s\up7(→))＝4－4p＝0，解得p＝1，所以拋物線C的方程為y2＝2x，其焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).2．拋物線x2＝2y上與點M(0，2)距離最近的點的坐標為________．解析：設拋物線x2＝2y上任意一點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2)).由兩點間的距離公式，得|PM|＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－2))\s\up12(2))＝eq\r(\f(1,4)（x2－2）2＋3)，∴當x2＝2時，|PM|取最小值．此時，x＝±eq\r(2)，y＝1，∴拋物線x2＝2y上與點M(0，2)距離最近的點坐標為(±eq\r(2)，1).答案：(±eq\r(2)，1)焦點弦問題[例2]過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且A，B兩點的縱坐標之積為－4，求拋物線C的方程．[解]由于拋物線的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，故可設直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))得y2－2pmy－p2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x.eq\a\vs4\al()1．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2θ)(θ為直線AB的傾斜角)；(3)S△ABO＝eq\f(p2,2sinθ)(θ為直線AB的傾斜角)；(4)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切．2．當直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.[跟蹤訓練]已知拋物線的頂點在原點，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為eq\f(π,4)的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標準方程．解：當拋物線焦點在x軸正半軸上時，可設拋物線標準方程為y2＝2px(p>0)，則焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l的方程為y＝x－eq\f(p,2).設直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點A，B向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點A1，點B1(圖略)，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px))消去y，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝2px，即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝eq\f(3,2).∴所求拋物線的標準方程是y2＝3x.同理可求出當拋物線焦點在x軸負半軸上時拋物線的標準方程是y2＝－3x.故所求拋物線標準方程為y2＝3x或y2＝－3x.拋物線的實際應用[例3](鏈接教科書第158頁習題A5題)某大橋在漲水時有最大跨度的中央橋孔，已知上部呈拋物線形，跨度為20m，拱頂距水面6m，橋墩高出水面4m．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18m，目前吃水線上部中央船體高5m，寬16m，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000t貨物，但每多裝150t貨物，[解]如圖所示，以拱頂為原點，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立平面直角坐標系．因為拱頂距水面6m，橋墩高出水面4m，所以A(10設橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p>0)，則102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以拋物線方程為x2＝－50y，即y＝－eq\f(1,50)x2.若貨船沿正中央航行，船寬16m，而當x＝8時y＝－eq\f(1,50)×82＝－1.28，即船體在x＝±8之間通過點B(8，－1.28)，此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(m).而船體高為5m，又因為5－4.72＝0.28(m)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(t)，所以若船通過增加貨物通過橋孔，則要增加1050t，而船最多還能裝1000t貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔．eq\a\vs4\al()求拋物線實際應用的五個步驟[跟蹤訓練]汽車前燈的反光曲面與軸截面的交線為拋物線，燈口直徑為197mm，反光曲面的頂點到燈口的距離是69mm.由拋物線的性質(zhì)可知，當燈泡安裝在拋物線的焦點處時，經(jīng)反光曲面反射后的光線是平行光線．為了獲得平行光線，應怎樣安裝燈泡？(精確到解：如圖，在車燈的一個軸截面上建立平面直角坐標系，設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，燈泡應安裝在其焦點F處．在x軸上取一點C，使|OC|＝69mm，過點C作x軸的垂線，交拋物線于A，B兩點，線段AB就是燈口的直徑，即|AB|＝197mm，則點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(69，\f(197,2))).將點A的坐標代入方程y2＝2px(p>0)，解得p≈70，此時焦點F的坐標約為(35，0).因此，燈泡應安裝在對稱軸上距頂點約35mm1．若拋物線y2＝2x上有兩點A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2eq\r(2)，則拋物線的焦點到直線AB的距離為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)解析：選A線段AB所在的直線方程為x＝1，拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，則焦點到直線AB的距離為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．在拋物線y2＝16x上到頂點與到焦點距離相等的點的坐標為()A．(4eq\r(2)，±2) B．(±4eq\r(2)，2)C．(±2，4eq\r(2)) D．(2，±4eq\r(2))解析：選D拋物線y2＝16x的頂點O(0，0)，焦點F(4，0)，設P(x，y)符合題意，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x2＋y2＝（x－4）2＋y2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,x＝2))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝±4\r(2)．))所以符合題意的點為(2，±4eq\r(2)).3．過拋物線x2＝4y的焦點F作直線l交拋物線于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點，若y1＋y2＝6，則|P1P2|＝()A．5 B．6C．8 D．10解析：選C拋物線x2＝4y的準線為y＝－1，因為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點是過拋物線焦點的直線l與拋物線的交點，