材料科學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)與習(xí)題-上交課件 第1章 晶體學(xué)基礎(chǔ)

材料科學(xué)基礎(chǔ)第章晶體學(xué)基礎(chǔ)

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1.1晶體的周期性和空間點(diǎn)陣

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1.2布拉菲點(diǎn)陣●

1.3晶向指數(shù)與晶面指數(shù)●

1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理●1.5晶體的對(duì)稱性

●1.6極射投影11.1晶體的周期性和空間點(diǎn)陣

●1.1.1晶體與晶體學(xué)

●1.1.2晶體點(diǎn)陣和空間點(diǎn)陣1.2布拉菲點(diǎn)陣

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1.2布拉菲點(diǎn)陣1.3晶向指數(shù)與晶面指數(shù)

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1.3.1密勒指數(shù)

●1.3.2晶向

●1.3.3晶面●

1.3.4六方晶系的晶向指數(shù)與晶面指數(shù)1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理

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1.4.1晶面間距●

1.4.2晶面夾角●

1.4.3晶帶定理1.5晶體的對(duì)稱性

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1.5.1晶體對(duì)稱性的定義

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1.5.2宏觀對(duì)稱變換

●1.5.332種點(diǎn)群

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1.5.4微觀對(duì)稱元素

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1.5.5空間群

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1.5.6結(jié)構(gòu)通報(bào)符號(hào)1.6極射投影

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1.6.1晶體投影的意義

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1.6.2參考球(ReferenceSphere)和極射投影●

1.6.3吳氏網(wǎng)(Wulffnet)●

1.6.4晶帶的極射赤面投影

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1.6.5晶體的標(biāo)準(zhǔn)投影圖

●為什么要學(xué)習(xí)晶體結(jié)構(gòu)？

●什么是晶體？晶體有何特點(diǎn)？

●什么是晶體學(xué)？

●什么是晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣？

●什么是布拉菲點(diǎn)陣？

●描述晶體點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的晶面指數(shù)和晶向指數(shù)是如何建立的？●什么是晶帶定理？●

1.1.1晶體與晶體學(xué)(CrystalandCrystallography)

人類使用的材料中大多為晶態(tài)(Crystalline)，包括單晶、多晶、微晶和液晶等。那么什么是晶體？晶體有何特點(diǎn)？

CaF2

MoS2

閃鋅礦金剛石Nacl水晶高分辨率電鏡－HighResolutionElectronMicroscopy(HREM)

Thesurfaceofagoldspecimen,wastakenwithaatomicforcemicroscope(AFM).Individualatomsforthis(111)crystallographicsurfaceplaneareresolved.

晶體與非晶體晶體:其原子排列是有序的,即原子按某種特定方式在三維空間內(nèi)周期性地規(guī)則重復(fù)排列(長(zhǎng)程有序)非晶體:其內(nèi)部原子排列是無(wú)序的(短程有序).長(zhǎng)程有序與短程有序有無(wú)銳利的衍射峰:(布拉格定律)2dsinθ=nλ●一、晶體的特點(diǎn)

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1、規(guī)則凸多面體外形；

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2、各向異性；

彈性模量/MPa抗拉強(qiáng)度/MPa延伸率/％最大最小最大最小最大最小Cu191000667003461285510α-Fe2930001250002251588020●

3、固定的熔點(diǎn)，如水晶1700℃；●

4、最小內(nèi)能和最大穩(wěn)定性；●5、普遍性；

半導(dǎo)體材料、薄膜材料、光學(xué)晶體、金屬材料、陶瓷材料……●6、均一性:指晶體在任一部位上都具有相同性質(zhì)的●

7、對(duì)稱性:指晶體的物理化學(xué)性質(zhì)能夠在不同方向或位置上有規(guī)律地出現(xiàn),也稱周期性.晶體的周期性：整個(gè)晶體可看作由結(jié)點(diǎn)沿三個(gè)不同的方向按一定間距重復(fù)出現(xiàn)形成的，結(jié)點(diǎn)間的距離稱為該方向上晶體的周期。同一晶體不同方向的周期不一定相同?？梢詮木w中取出一個(gè)單元，表示晶體結(jié)構(gòu)的特征。取出的最小晶格單元稱為晶胞。晶胞是從晶體結(jié)構(gòu)中取出來(lái)的反映晶體周期性和對(duì)稱性的重復(fù)單元?！穸?、晶體學(xué)晶體學(xué)是一門研究晶體的自然科學(xué)。研究?jī)?nèi)容：

●晶體的成核與生長(zhǎng)過(guò)程；●晶體的外部形態(tài)和內(nèi)部結(jié)構(gòu)；

●實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)與其物理性質(zhì)的相互關(guān)系等。應(yīng)用廣泛：

●化學(xué)

●物理學(xué)

●冶金學(xué)

●材料科學(xué)

●分子生物學(xué)

●固體電子學(xué)等●

1.1.2晶體結(jié)構(gòu)與空間點(diǎn)陣(crystalstructureandspacelattice)

●一、晶體結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)基元(分子、原子、離子、原子團(tuán))＋結(jié)合鍵結(jié)合在三維空間作有規(guī)律的周期性的重復(fù)排列方式。晶體結(jié)構(gòu)種類繁多，可以借助x射線衍射等方法測(cè)定。Thisphotographshowsadiffractionpatternproducedforasinglecrystalofgalliumarsenideusingatransmissionelectronmicroscope（TEM）.Thebrightestspotnearthecenterisproducedbytheincidentelectronbeam,whichisparalleltoa[110]crystallographicdirection.Eachoftheotherwhitespotsresultsfromanelectronbeamthatisdiffractedbyaspecificsetofcrystallographicplanes.

●二、空間點(diǎn)陣空間點(diǎn)陣：將晶體中的原子抽象為一些幾何點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)代表原子的中心或是原子的振動(dòng)中心，這些幾何點(diǎn)的空間簡(jiǎn)稱為點(diǎn)陣。晶格、陣點(diǎn)或結(jié)點(diǎn)陣點(diǎn)是構(gòu)成空間點(diǎn)陣的基本要素，它的排列具有嚴(yán)格的周期性，因此每個(gè)陣點(diǎn)都具有完全相同的周圍環(huán)境，這是空間點(diǎn)陣的一個(gè)重要特點(diǎn)。結(jié)構(gòu)基元、排列規(guī)則、周期性實(shí)際晶體結(jié)構(gòu)繁多結(jié)構(gòu)基元:

指通過(guò)一定結(jié)合鍵組成某一種晶體的分子、原子、離子、原子集團(tuán)等等同點(diǎn):

在晶體結(jié)構(gòu)中占有相同幾何位置，且具有相同物質(zhì)環(huán)境的點(diǎn)都稱其為等同點(diǎn)。在同一晶體中可以找出無(wú)窮多類等同點(diǎn)，但每一類等同點(diǎn)集合而成的圖形都呈現(xiàn)如右圖所示的相同圖形。

金剛石金剛石中同是碳原子由于其幾何環(huán)境不同而產(chǎn)生的兩類等同點(diǎn)空間點(diǎn)陣+結(jié)構(gòu)基元→晶體結(jié)構(gòu)晶體點(diǎn)陣概念：幾種晶體點(diǎn)陣的平面圖(a、b、c)和它們的空間點(diǎn)陣(d)幾種晶體結(jié)構(gòu)及其空間點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元：g－Fe幾種晶體結(jié)構(gòu)及其空間點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元：金剛石幾種晶體結(jié)構(gòu)及其空間點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元：NaCl幾種晶體結(jié)構(gòu)及其空間點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元：CaF2幾種晶體結(jié)構(gòu)及其空間點(diǎn)陣與結(jié)構(gòu)基元：ZnS●

1.2布拉菲點(diǎn)陣

●一、單胞(Unitcell)

單胞：在空間點(diǎn)陣中選取的一個(gè)具有代表性的基本小單元，這個(gè)基本小單元通常是一個(gè)平行六面體，整個(gè)點(diǎn)陣可以看作是由這樣一個(gè)平行六面體在空間堆砌而成晶胞：在單胞的結(jié)點(diǎn)位置上放置一個(gè)結(jié)構(gòu)基元，則此平行六面體就成為晶體結(jié)構(gòu)中的一個(gè)基本單元在實(shí)際應(yīng)用中我們常將單胞與晶胞的概念混淆起來(lái)用而沒(méi)有加以細(xì)致的區(qū)分。

●二、選取原則

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１、固體物理選法：體積最小，只反映周期性，不能反映其對(duì)稱性，如面心立方點(diǎn)陣：

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2、晶體學(xué)選法，同時(shí)反映周期性和對(duì)稱性，符合Bravais三原則：

a、能同時(shí)反映空間點(diǎn)陣的周期性和對(duì)稱性；

b、滿足原則a的前提下，有盡可能多的直角；

c、在滿足原則a和b的前提下體積最小。

●三、點(diǎn)陣常數(shù)（晶胞參數(shù),latticeparameters）：

●三棱邊－a，b，c

●三棱邊夾角－α(b-c)，b(c-a)，g(a-b)

●晶格基矢－a，b，c；

順序：右手法則每種點(diǎn)陣都可由其平移獲得。

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四、布拉菲點(diǎn)陣(Bravaislattice)

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1、共14種在“每個(gè)陣點(diǎn)的周圍環(huán)境相同”的要求下，法國(guó)晶體學(xué)家布拉菲（A.Bravais）在1848年首先用數(shù)學(xué)方法證明。

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2、7大晶系(crystalsystems)

晶體根據(jù)其對(duì)稱程度的高低和對(duì)稱特點(diǎn)可以分為七大晶系。

三斜，triclinic單斜，monoclinic立方，cubic菱方（三角），rhombohedral六方（六角），hexagonal正方（四方），tetragonal正交（斜方），orthorhombic●

3、4類點(diǎn)陣按結(jié)點(diǎn)在晶胞中的位置分為：

(1)簡(jiǎn)單點(diǎn)陣－P，平移矢量a、b、c(2)底心點(diǎn)陣－C，平移矢量a、b、c、(3)體心點(diǎn)陣－I，平移矢量a、b、c、

(4)面心點(diǎn)陣－F，平移矢量a、b、c、、、十四種布拉菲點(diǎn)陣一覽面心正方和體心正方點(diǎn)陣的關(guān)系底心正方和簡(jiǎn)單正方點(diǎn)陣的關(guān)系例：結(jié)構(gòu)對(duì)性能的影響－Sn1850inRussia.Thewinterthatyearwasparticularlycold,andrecordlowtemperaturespersistedforextendedperiodsoftime.TheuniformsofsomeRussiansoldiershadtinbuttons,manyofwhichcrumbledduetotheseextremecoldconditions,asdidalsomanyofthetinchurchorganpipes.Thisproblemcametobeknownasthe“tindisease.”思考：●存在雙面心點(diǎn)陣么？●存在有心三斜么？●單斜系只有P單胞和不在棱邊面上的底心單胞，為什么？●正交系中為何所有有心化都可形成新晶系？●四方系中可以有體心么？可以是底心單胞a≠b≠cα=β=90°≠γ同簡(jiǎn)單單斜同底心單斜同底心單斜正交系有α=β=γ=90°的限制，而γ并不等于90°四方系a=b≠c，α=β=γ=90°●

1.3晶向指數(shù)與晶面指數(shù)●

1.3.1密勒（Miller）指數(shù)●晶面、晶向的概念●引入晶面和晶向指數(shù)的目的●密勒（Miller）指數(shù)。晶面和晶向

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１、晶面(latticeorcrystalplanes)

空間點(diǎn)陣中三個(gè)不在同一直線的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平面，一組平行的晶面應(yīng)當(dāng)包含點(diǎn)陣所有的陣點(diǎn)。

●２、晶向(latticeorcrystaldirections)

通過(guò)兩陣點(diǎn)之間的直線。

●３、定量表示晶面和晶向的意義各向異性，結(jié)構(gòu)分析（需要表征晶體結(jié)構(gòu)內(nèi)部的不同取向)。

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1.3.2晶向(latticeorcrystaldirectionindices)

晶向指數(shù)是按以下幾個(gè)步驟確定的：

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1、以晶胞的某一陣點(diǎn)O為原點(diǎn)，三基矢為坐標(biāo)軸，并以點(diǎn)陣基矢的長(zhǎng)度作為三個(gè)坐標(biāo)的單位長(zhǎng)度；

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2、過(guò)原點(diǎn)作一直線OP，使其平行于待標(biāo)定的晶向AB，這一直線必定會(huì)通過(guò)某些陣點(diǎn)；

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3、在直線OP上選取距原點(diǎn)O最近的一個(gè)陣點(diǎn)P，確定P點(diǎn)的坐標(biāo)值；

●

4、將此值乘以最小公倍數(shù)化為最小整數(shù)u、v、w，加上方括號(hào)，[uvw]即為AB晶向的晶向指數(shù)。

若u、v、w中某一數(shù)為負(fù)值，則將負(fù)號(hào)標(biāo)注在該數(shù)的上方。如：晶向指數(shù)的確定正交點(diǎn)陣中幾個(gè)晶向的晶向指數(shù)。

顯然，晶向指數(shù)表示的是一組互相平行、方向一致的晶向。若晶體中兩直線相互平行但方向相反，則它們的晶向指數(shù)的數(shù)字相同，而符號(hào)相反。如

和

就是兩個(gè)相互平行、方向相反的晶向。

晶向族：晶體中因?qū)ΨQ關(guān)系而等同的各組晶向的集合，用<uvw>表示。

例如，對(duì)立方晶系來(lái)說(shuō)，[100]、[010]、[001]和

、

、[001]等六個(gè)晶向，它們的性質(zhì)是完全相同的，用符號(hào)<100>表示。

注意如果不是立方晶系，改變晶向指數(shù)的順序，所表示的晶向可能不是等同的。例如，對(duì)于正交晶系[100]、[010]、[001]這三個(gè)晶向并不是等同晶向，因?yàn)橐陨先齻€(gè)方向上的原子間距分別為a、b、c，沿著這三個(gè)方向，晶體的性質(zhì)并不相同。確定晶向指數(shù)的上述方法，可適用于任何晶系。但對(duì)六方晶系，除上述方法之外，常用另一種表示方法，后面還要介紹?！?/p>

1.3.3晶面(latticeorcrystalplaneindices)

晶面指數(shù)的確定方法如下：

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1、對(duì)晶胞作晶軸X、Y、Z，以晶胞的邊長(zhǎng)作為晶軸上的單位長(zhǎng)度；

●2、求出待定晶面在三個(gè)晶軸上的截距，如該晶面與某軸平行，則截距為∞；

例如1、1、∞，1、1、1，1、1、

等；

●

3、取這些截距數(shù)的倒數(shù)；

例如1

1

0，1

1

1，1

1

2等；

●

4、將上述倒數(shù)化為最小的簡(jiǎn)單整數(shù)，并加上

圓括號(hào)，即表示該晶面的指數(shù)，一般記為（hkl）；

例如（110），（111），（112）等。

如上圖中所標(biāo)出的晶面a1b1c1，相應(yīng)的截距為、、，其倒數(shù)為2、3、，化為簡(jiǎn)單整數(shù)為4、6、3，所以晶面a1b1c1的晶面指數(shù)為(463)。

幾點(diǎn)說(shuō)明：●

X、Y、Z軸應(yīng)當(dāng)依右手法則建立；●

h、k、l分別與X、Y、Z軸相對(duì)應(yīng)，不能隨意更換其次序；●若截某一軸為負(fù)方向截距，則在其相應(yīng)指數(shù)上冠以“-”號(hào)；●（hkl）并非只表示一個(gè)晶面，而是代表相互平行的一組晶面；●在晶體中有些晶面具有共同的特點(diǎn)，其上原子排列和分布規(guī)律是完全相同的，晶面間距也相同，唯一不同的是晶面在空間的位向，這樣的一組等同晶面稱為一個(gè)晶面族，用符號(hào){hkl}表示。引申：對(duì)高度對(duì)稱的立方晶系而言：●晶面族中所包含的各晶面其晶面指數(shù)的數(shù)字相同，但數(shù)字的排列次序和正負(fù)號(hào)不同；●具有相同指數(shù)的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]

垂直于（hkl）。思考：其它晶系點(diǎn)陣常數(shù)的交換性？晶系點(diǎn)陣常數(shù)<uvw>中u、v、w的交換方式數(shù)量三斜a≠b≠c

a≠b≠gu、v、w不能交換位置u、v、w正負(fù)號(hào)只能同時(shí)改變2單斜a≠b≠c

a=b=90≠gu、v、w不能交換位置u和v的正負(fù)號(hào)可同時(shí)改變4正交a≠b≠c

a=b=g=90u、v、w不能交換位置u、v、w正負(fù)號(hào)可單獨(dú)改變8四方a=b≠c

a=b=g=90u和v可交換位置u、v、w正負(fù)號(hào)可單獨(dú)改變16立方a=b=ca=b=g=90u、v、w可交換位置u、v、w正負(fù)號(hào)均可單獨(dú)改變24●

1.3.4六方晶系的晶向指數(shù)與晶面指數(shù)

●一、問(wèn)題：三軸（a1,a2,c）指數(shù)不能直觀反映晶面和晶向的等同性，如：●二、解決辦法：引入a3軸構(gòu)成四軸（a1,a2,a3,c）指數(shù)●三、四軸晶面指數(shù)

(hkil)

i=

-(h+k)●四、四軸晶向指數(shù)

某晶向的三軸指數(shù)[UVW]，則其四軸指數(shù)

[uvtw]：t

=-(u+v)

設(shè)：空間點(diǎn)陣中某一晶向OK在三軸坐標(biāo)系中該矢量可表示為：

OK=Ua1+Va2+Wc

在四軸坐標(biāo)系中該矢量可表示為：OK=ua1+va2+ta3+wc而：

這是因?yàn)椋?/p>

a1+a2+a3=0

t+u+v=0代入OK即可得上述關(guān)系。

因此用四軸坐標(biāo)系標(biāo)注晶向指數(shù)并不十分容易，可先用三軸坐標(biāo)系標(biāo)出給定晶向的晶向指數(shù)，再利用上述關(guān)系按四軸坐標(biāo)系標(biāo)出該晶向的晶向指數(shù)。

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1.4晶面間距、晶面夾角和晶帶定理●

1.4.1晶面間距

●概念 不同晶面，其晶面間距不一。簡(jiǎn)單立方晶體的若干晶面間距思考：面心立方最大晶面間距出現(xiàn)在哪個(gè)晶面？

晶面間距d與點(diǎn)陣常數(shù)之間具有如下確定的關(guān)系：

●

1、對(duì)立方晶系

●

2、對(duì)正交和四方晶系（四方晶系中a＝b）

●

3、對(duì)六方晶系

必須注意，按以上這些公式所算出的晶面間距是對(duì)簡(jiǎn)單晶胞而言的，如為復(fù)雜晶胞（例如體心立方、面心立方等），在計(jì)算時(shí)應(yīng)考慮到晶面層數(shù)增加的影響。例如，在體心立方或面心立方晶胞中，上、下底面（001）之間還有一層同類型的晶面[可稱為(002)晶面]，故實(shí)際的晶面間距應(yīng)為。

●

1.4.2晶面夾角晶面與晶面的夾角，可用它們的法線的夾角來(lái)表示，因此晶面的夾角也可看成是兩個(gè)晶向之間的夾角。

●

1、對(duì)于立方晶系，晶面指數(shù)與其法線指數(shù)相同，故晶面夾角與其法向夾角可用同一公式表示，即：

●

2、對(duì)于正交或四方晶系，[u1v1w1]和[u2v2w2]之間的夾角φ的關(guān)系為：●

3、對(duì)四方晶系，上式中a＝b，在正交或四方晶系中，晶面（h1k1l1）的法線并不是[h1k1l1]，因此要求二晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）之間的夾角ψ，則其公式為

●

4、對(duì)于六角晶系，（h1k1l1）和（h2k2l2）二晶面之間的夾角j：

●

1.4.3晶帶(Zone)定理

●一、定義：平行于同一晶向的晶面組成一個(gè)晶帶，此晶向?yàn)榫лS，晶帶中各晶面相交于同一直線，此直線即為晶帶軸?！穸⒕Фɡ碓O(shè)有一晶帶其晶帶軸為[uvw]晶向，該晶帶中任一晶面(hkl)，則由矢量代數(shù)可以證明晶帶軸[uvw]與(hkl)之間均具有下列關(guān)系：

hu+kv+lw=0

這就是晶帶定理。晶帶定理是一個(gè)非常有用的工具，如：

●

1、(h1k1l1)和(h2k2l2)晶帶的晶帶軸方向[uvw]：

●

2、屬于兩個(gè)晶帶[u1v1w1]和[u2v2w2]的晶面指數(shù)(hkl)：

u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1

w=h1k2-h2k1

h=v1w2-v2w1k=w1u2-w2u1l=u1v2-u2v1●

1.5晶體對(duì)稱性(Symmetry)●

1.5.1晶體對(duì)稱性的定義晶體結(jié)構(gòu)中結(jié)構(gòu)基元的規(guī)則排列，使晶體除了具有由空間點(diǎn)陣所表征的周期性外，還具有重要的對(duì)稱性。

對(duì)稱的定義：通過(guò)一定的動(dòng)作，使物體發(fā)生變動(dòng)，變動(dòng)前后物體相對(duì)于觀察者的位置和形態(tài)跟動(dòng)作前毫無(wú)差別（稱之為規(guī)律重復(fù)或復(fù)原），則稱這樣的物體具有對(duì)稱性，這個(gè)動(dòng)作稱之為對(duì)稱操作(Symmetryoperation)或?qū)ΨQ變換，對(duì)施加對(duì)稱變換憑借的幾何元素稱之為此對(duì)稱操作的對(duì)稱元素（symmetryelement）。

對(duì)稱的表示方法： 幾何方法 數(shù)學(xué)方法——群論

對(duì)稱操作是用來(lái)揭示物體或圖形的對(duì)稱性的手段。晶體的對(duì)稱操作可以分為宏觀（macroscopic,4種）和微觀(microscopic,3種)兩類。

宏觀對(duì)稱元素是反映晶體外形和其宏觀性質(zhì)的對(duì)稱性，而微觀對(duì)稱元素與宏觀對(duì)稱元素配合運(yùn)用就能反映出晶體中原子排列的對(duì)稱性。宏觀：對(duì)稱面（反映）、對(duì)稱軸（旋轉(zhuǎn)）、對(duì)稱中心（反演）、旋轉(zhuǎn)－反演軸微觀：平移軸、螺旋軸、滑移面●

1.5.2宏觀對(duì)稱變換宏觀對(duì)稱性：可以從其有限大小的外形反映出來(lái)。宏觀對(duì)稱變換：若物體的對(duì)稱性可以通過(guò)在有限大小的空間實(shí)施某一對(duì)稱操作得到反映，則稱此對(duì)稱操作為宏觀對(duì)稱變換。●一、對(duì)稱面(反映,reflection)

符號(hào)：m

若晶體內(nèi)存在平面，在平面的一方存在一個(gè)結(jié)點(diǎn)的話，則在平面的另一方必定存在和平面等間距的結(jié)點(diǎn)，這種對(duì)稱性稱之為反映，這個(gè)面稱之為鏡面。

●二、對(duì)稱軸（旋轉(zhuǎn),rotation）圍繞晶體中一根固定直線作為旋轉(zhuǎn)軸，整個(gè)晶體繞它旋轉(zhuǎn)角度后而能完全復(fù)原，稱晶體具有n次對(duì)稱軸，用n表示，重復(fù)時(shí)所旋轉(zhuǎn)的最小角度稱為基轉(zhuǎn)角a，n與a之間的關(guān)系為n=360°/a(n=1、2、3、4、6；a為360°、180°、120°、90°、60°)。

注意：晶體中不可能出現(xiàn)5及6次以上對(duì)稱軸，因?yàn)樗鼈兣c晶體結(jié)構(gòu)的周期性相矛盾。注意：晶體中不可能出現(xiàn)5及6次以上對(duì)稱軸，因?yàn)樗鼈兣c晶體結(jié)構(gòu)的周期性相矛盾。

1984年，Shechtmen等發(fā)現(xiàn)微米級(jí)Al6Mn顆粒的五次旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性電子衍射圖案，《Science》報(bào)道：

TheRulesofCrystallographyFallApart?

準(zhǔn)晶（quasicrystal）出現(xiàn)。

Penrose瓷磚模型

準(zhǔn)晶Al72Ni20Co8的十邊形重疊晶格圖

●三、對(duì)稱中心（反演,inversion）若晶體中所有的點(diǎn)在經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)反演后能復(fù)原，則該點(diǎn)就稱為對(duì)稱中心，用符號(hào)“i”表示。對(duì)稱中心必然位于晶體中的幾何中心，晶體中若存在對(duì)稱中心，則其晶面必然是兩兩平行且相等。

●四、旋轉(zhuǎn)－反演軸(rotation-inversion)

若晶體繞某一軸回轉(zhuǎn)一定角度（），再以軸上的一個(gè)中心點(diǎn)作反演之后能得到復(fù)原時(shí)，此軸稱為旋轉(zhuǎn)－反演軸。旋轉(zhuǎn)－反演軸的對(duì)稱操作是圍繞一根直線旋轉(zhuǎn)和對(duì)此直線上一點(diǎn)反演。旋轉(zhuǎn)－反演軸的符號(hào)為、、、、、，相應(yīng)的基轉(zhuǎn)角為360°、180°、120°、90°、60°。3個(gè)4次軸+4個(gè)3次軸+6個(gè)2次軸+9個(gè)對(duì)稱面+1個(gè)對(duì)稱中心

立方體的宏觀對(duì)稱元素分析注意當(dāng)已經(jīng)考慮了對(duì)稱面和反演對(duì)稱元素后，Li1

、Li2

、Li3

、Li6

次旋轉(zhuǎn)－反演對(duì)稱軸就不必再列為基本的對(duì)稱元素。原因如下：Li1次旋轉(zhuǎn)－反演對(duì)稱軸就是對(duì)稱中心，用i表示，即Li1＝i。Li2次旋轉(zhuǎn)－反演對(duì)稱軸就是垂直于該軸的對(duì)稱面，用m表示，即Li2＝m。Li3次旋轉(zhuǎn)－反演的效果和L3次轉(zhuǎn)軸加上對(duì)稱中心i的總效果一樣。Li6次旋轉(zhuǎn)－反演的效果和L3次轉(zhuǎn)軸加上垂直于該軸的對(duì)稱面的總效果一樣舉例：L44P--4mm

L4P1P2P3P4小結(jié)綜上所述，晶體的宏觀對(duì)稱性中，只有以下八種最基本的對(duì)稱元素，即L1、L2、L3、L4、L6、i、m、Li4。

●

1.5.332種點(diǎn)群晶體的宏觀外形可以只有一種對(duì)稱元素獨(dú)立存在，也可以有若干對(duì)稱元素同時(shí)存在，由上面八種對(duì)稱元素的不同組合就可以組成形形色色晶體的各種宏觀對(duì)稱性，但是晶體除了對(duì)稱性以外，還必須具有周期性這樣一個(gè)特點(diǎn)，因此這些對(duì)稱元素的組合不能是任意的，必須遵循對(duì)稱元素的組合規(guī)律，使對(duì)稱元素之間相互制約而又相互協(xié)調(diào)，利用數(shù)學(xué)方法可以導(dǎo)出這八個(gè)宏觀對(duì)稱元素可能有的組合數(shù)為32種，構(gòu)成了晶體32種宏觀對(duì)稱類型，即32種點(diǎn)群。

如：兩個(gè)對(duì)稱面相交，其交線必是對(duì)稱軸，轉(zhuǎn)角=不能任意。晶

系國(guó)際符號(hào)中三位的方向123立方晶系aa+b+ca+b六方晶系ca2a+b四方晶系caa+b三方晶系a+b+ca-b

正交晶系abc單斜晶系b

三斜晶系a

●

1.5.4微觀對(duì)稱元素微觀對(duì)稱性：宏觀對(duì)稱操作＋平移必須在無(wú)窮大空間進(jìn)行

●

１、平移軸晶體的宏觀對(duì)稱性與微觀對(duì)稱性的區(qū)別就在于：宏觀對(duì)稱操作至少要求有一點(diǎn)不動(dòng)，而微觀對(duì)稱操作要求全部點(diǎn)都動(dòng)。

平移－周期性對(duì)稱元素－平移矢量

●

2、螺旋軸

螺旋軸是設(shè)想的直線，晶體內(nèi)部的相同部分繞其周期轉(zhuǎn)動(dòng)，并且附以軸向平移得到重復(fù)。螺旋軸是一種復(fù)合的對(duì)稱要素，其輔助幾何要素為：一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱變換為，圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和此直線方向平移的聯(lián)合。螺旋軸的周次n只能等于1、2、3、4、6，所包含的平移變換其平移距離應(yīng)等于沿螺旋軸方向結(jié)點(diǎn)間距的s/n，s為小于n的自然數(shù)。螺旋軸的國(guó)際符號(hào)一般為ns。旋轉(zhuǎn)軸根據(jù)其軸次和平移距離的大小的不同可分為21、31、32、41、42、43、61、62、63、64、65共11種螺旋軸。螺旋軸根據(jù)其旋轉(zhuǎn)方向可分為左旋、右旋和中性旋轉(zhuǎn)軸。旋轉(zhuǎn)角(2/n)平移矢量(t=p/n)國(guó)際符號(hào)n=1t=

n=2

(180°)t=/2

21n=3

(120°)t=/331

t=2/332n=4

(90°)t=/441

t=2/442

t=3/4

43n=6(60°)t=/661

t=2/662

t=3/663

t=4/664

t=5/665

●

3、滑移面（反映－平移）滑移面是設(shè)想的平面。晶體內(nèi)部的相同部分沿平行于該面的直線方向平移后再反演而會(huì)得到重復(fù)?；泼嬉彩且环N復(fù)合的對(duì)稱要素，其輔助對(duì)稱要素有兩個(gè)：一個(gè)是假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱變換為：對(duì)于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯(lián)合，其平移的距離等于該方向行列結(jié)點(diǎn)間距的一半。根據(jù)平移成分τ的方向和大小，滑動(dòng)面一般可歸納為三類：軸滑移面、對(duì)角滑移面和金剛石滑移面。

①軸滑移面

用a、b、c各表示沿a、b、c方向平移對(duì)應(yīng)軸一半

后又反演而得到重復(fù)的滑移機(jī)制。

滑移面a滑移面b滑移面c②對(duì)角滑移面用n表示平移，，，各種對(duì)角矢量的平移，后再反映而重復(fù)的晶面?；屏说膎滑移面。③金剛石滑移面用d表示滑移量為，，，的滑移反映對(duì)稱面統(tǒng)稱為金剛石滑移對(duì)稱面?；屏说膁滑移面。注意：反演、四次旋轉(zhuǎn)－反演軸在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)都要求有一點(diǎn)不動(dòng)，所以只有平移一個(gè)周期才能使晶體規(guī)則復(fù)原，然而平移一個(gè)周期相當(dāng)于不動(dòng)，所以反演和四次旋轉(zhuǎn)－反演軸均不能與平移結(jié)合而形成新的微觀對(duì)稱元素?！?/p>

1.5.5空間群（閱讀）●

1.5.6結(jié)構(gòu)通報(bào)符號(hào)一般結(jié)構(gòu)類型在文獻(xiàn)上常以這種符號(hào)表示：

看到這種符號(hào)后，要想知道結(jié)構(gòu)，則須查結(jié)構(gòu)通報(bào)其中：

A1－fccA2－bccA3－h(huán)cpA4－金剛石B1－NaCl

結(jié)構(gòu)B2－CeCl

結(jié)構(gòu)元素AB形化合物AB2型化合物AmBn型化合物更復(fù)雜的化合物合金有機(jī)化合物硅酸鹽ABCDE-kLOS●

1.6極射投影

●

1.6.1晶體投影的意義意義：在平面上表示晶體中晶面之間的位向關(guān)系以及晶體的對(duì)稱元素?，F(xiàn)有方法問(wèn)題：●透射圖：很難精確表示；●數(shù)學(xué)符號(hào)和關(guān)系：復(fù)雜，難以理解和熟練應(yīng)用；●立體圖：復(fù)雜、難以達(dá)到要求。因此引入了極射赤面投影或心射切面投影表示方法。對(duì)于大量的晶體學(xué)問(wèn)題，極射赤面投影或心射切面投影是能夠精確把上述各種關(guān)系記錄下來(lái)。一般只需要幾分鐘的時(shí)間，晶體中的某一角關(guān)系問(wèn)題就可以在一張普通大小的紙上用極射投影的方法得到解決，其精度可達(dá)0.5°(度)。晶體投影的方法：極射赤面投影心射赤面投影極射赤面投影應(yīng)用：

●確定晶體位向；

●當(dāng)需要沿某一特定的晶面切割晶體時(shí)定向；

●確定滑移面、孿晶、形變斷裂面、侵蝕坑等表面標(biāo)記的晶體學(xué)指數(shù)；

●解決固態(tài)沉淀、相變和晶體生長(zhǎng)等過(guò)程中的晶體學(xué)問(wèn)題；

●多晶體的擇優(yōu)取向；

●晶體中—些有方向性的力學(xué)或物理性質(zhì)，如彈性模量、屈服點(diǎn)和導(dǎo)電率等的圖解法表示。●

1.6.2參考球(ReferenceSphere)和極射投影參考球：晶體投影所憑借的球。投影分為兩步：

●

1、球面投影；

●

2、平面投影。●一、球面投影設(shè)想將一很小的晶體或晶胞置于一大圓球（參考球）的中心，這時(shí)晶體的各個(gè)晶面可在參考球上表示出來(lái)。

●

1、方法：

1）跡式投影：晶面-跡線，晶向-跡點(diǎn)；

2）極式投影：晶面-極點(diǎn)（法線和球交點(diǎn)），晶向-極線（法平面和球交線）一般情況下晶面用極點(diǎn),晶向用跡