材料力學課件 第4章扭轉(zhuǎn)變形

圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度與剛度計算§概述§外加扭力矩、扭矩與扭矩圖§剪應(yīng)力互等定律與剪切胡克定律§圓軸在扭轉(zhuǎn)時的剪應(yīng)力分析與強度分析§圓軸在扭轉(zhuǎn)時的變形·及剛度條件§結(jié)論與討論扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)§概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)變形：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)角（）：

任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（）：直角的改變量。mmOBA扭轉(zhuǎn)工程實例工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸傳動軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)傳動軸工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸連接汽輪機和發(fā)電機的傳動軸將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸

請判斷哪一桿件將發(fā)生扭轉(zhuǎn)當兩只手用力相等時，擰緊羅母的工具桿將產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)工程中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸

請判斷軸受哪些力將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形作用于構(gòu)件的外扭矩與機器的轉(zhuǎn)速、功率有關(guān)。在傳動軸計算中，通常給出傳動功率P和轉(zhuǎn)遞n，則傳動軸所受的外加扭力矩Me可用下式計算：

其中P為功率，單位為千瓦（kW）；n為軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分（r/min）。如果功率P單位用馬力（1馬力=735.5N?m/s），則§外加扭力矩、扭矩與扭矩圖外加扭力矩Me確定后，應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力—扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，這些剪應(yīng)力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

nMeMeMxMeMx+外加扭力矩Me確定后，應(yīng)用截面法可以確定橫截面上的內(nèi)力—扭矩，圓軸兩端受外加扭力矩Me作用時，橫截面上將產(chǎn)生分布剪應(yīng)力，這些剪應(yīng)力將組成對橫截面中心的合力矩,稱為扭矩（twistmoment），用Mx表示。

MeMeMeMx_nMx如果只在軸的兩個端截面作用有外力偶矩，則沿軸線方向所有橫截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在軸上的外力偶矩。扭矩沿桿軸線方向變化的圖形，稱為扭矩圖(diagramoftorsionmoment)。繪制扭矩圖的方法與繪制軸力圖的方法相似。當軸的長度方向上有兩個以上的外力偶矩作用時，軸各段橫截面上的扭矩將是不相等的，這時需用截面法確定各段橫截面上的扭矩。扭矩圖扭轉(zhuǎn)

扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|Mx

|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xMx扭轉(zhuǎn)[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。ABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩扭轉(zhuǎn)ABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）扭轉(zhuǎn)③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––例題圓軸受有四個繞軸線轉(zhuǎn)動的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于圖中，其中力偶矩的單位為N.m，尺寸單位為mm。試：畫出圓軸的扭矩圖。

解：1．確定控制面

外加力偶處截面A、B、C、D均為控制面。

2．應(yīng)用截面法由平衡方程確定各段圓軸內(nèi)的扭矩

。

3．建立Mx－x坐標系，畫出扭矩圖建立Mx－x坐標系，其中x軸平行于圓軸的軸線，Mx軸垂直于圓軸的軸線。將所求得的各段的扭矩值，標在Mx－x坐標系中，得到相應(yīng)的點，過這些點作x軸的平行線，即得到所需要的扭矩圖。

考察承受剪應(yīng)力作用的微元體，假設(shè)作用在微元左、右面上的剪應(yīng)力為，這兩個面上的剪應(yīng)力與其作用面積的乘積，形成一對力，二者組成一力偶。為了平衡這一力偶，微元的上、下面上必然存在剪應(yīng)力ˊ，二者與其作用面積相乘后形成一對力，組成另一力偶，為保持微元的平衡這兩個力偶的力偶矩必須大小相等、方向相反。§剪應(yīng)力互等訂定理剪切胡克定理xyzdxdydz微元能不能平衡？哪些力互相平衡？怎樣才能平衡？xyzdxdydz怎樣才能平衡？根據(jù)力偶平衡理論xyzdxdydz剪應(yīng)力成對定理在兩個互相垂直的平面上，剪應(yīng)力必然成對存在，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線，這就是剪應(yīng)力成對定理（pairingprincipleofshearstresses）。O剪切胡克定律當在彈性范圍內(nèi)加載時，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間存在成正比:這種線性關(guān)系稱為剪切胡克定律。比例常數(shù)G稱為材料的切變模量。式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。應(yīng)用平衡方法可以確定圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力分量扭矩，但是不能確定橫截面上各點剪應(yīng)力的大小。為了確定橫截面上各點的剪應(yīng)力，在確定了扭矩后，還必須知道橫截面上的剪應(yīng)力是怎樣分布的。§圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上剪應(yīng)力分析和強度計算

應(yīng)力分布應(yīng)力公式變形應(yīng)變分布平面假定物性關(guān)系靜力方程確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過程平面假定變形協(xié)調(diào)方程物性關(guān)系－剪切胡克定律

靜力學方程圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力表達式確定橫截面上剪應(yīng)力的方法與過程扭轉(zhuǎn)1.橫截面變形后仍為平面；平面假設(shè)2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：平面假設(shè)扭轉(zhuǎn)變形協(xié)調(diào)關(guān)系1.變形幾何關(guān)系：距圓心為任一點處的與到圓心的距離成正比。——扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。設(shè)到軸線任意遠處的剪應(yīng)變?yōu)椋ǎ瑒t從圖中可得到如下幾何關(guān)系：

扭轉(zhuǎn)Ttmaxtmax物性關(guān)系：虎克定律：代入上式得：扭轉(zhuǎn)靜力學方程：TOdA令代入物理關(guān)系式得：扭轉(zhuǎn)—橫截面上距圓心為處任一點剪應(yīng)力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得?！擖c到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。扭轉(zhuǎn)單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：DdO扭轉(zhuǎn)對于空心圓截面：dDOd扭轉(zhuǎn)④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。扭轉(zhuǎn)確定最大剪應(yīng)力：由知：當Wp—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：扭轉(zhuǎn)等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。(應(yīng)力狀態(tài)理論研究）扭轉(zhuǎn)四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]稱為許用剪應(yīng)力。)強度計算三方面：①校核強度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：扭轉(zhuǎn)[例]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為924轉(zhuǎn)/分的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應(yīng)力強度③此軸滿足強度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx已知：P1＝14kW,n1=n2=120r/min,z1=36,

z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各軸橫截面上的最大切應(yīng)力。3例題P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/min3解：計算各軸的功率與轉(zhuǎn)速Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m3解：計算各軸的扭矩3解：計算各軸的橫截面上的最大切應(yīng)力由兩種不同材料組成的圓軸，里層和外層材料的切變模量分別為G1和G2，且G1＝2G2。圓軸尺寸如圖中所示。圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動。關(guān)于橫截面上的剪應(yīng)力分布，有圖中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四種結(jié)論，請判斷哪一種是正確的。

例題

解：圓軸受扭時，里、外層之間無相對滑動，這表明二者形成一個整體，同時產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。根據(jù)平面假定，二者組成的組合截面，在軸受扭后依然保持平面，即其直徑保持為直線，但要相當于原來的位置轉(zhuǎn)過一角度。例題

解：因此，在里、外層交界處二者具有相同的剪應(yīng)變。由于內(nèi)層（實心軸）材料的剪切彈性模量大于外層（圓環(huán)截面）的剪切彈性模量（G1＝2G2），所以內(nèi)層在二者交界處的剪應(yīng)力一定大于外層在二者交界處的剪應(yīng)力。據(jù)此，答案（A）和（B）都是不正確的。例題

解：在答案（D）中，外層在二者交界處的剪應(yīng)力等于零，這也是不正確的，因為外層在二者交界處的剪應(yīng)變不為零，根據(jù)剪切胡克定律，剪應(yīng)力也不可能等于零。例題根據(jù)以上分析，正確答案是（C）。扭轉(zhuǎn)§圓軸在扭轉(zhuǎn)時的變形與剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為或扭轉(zhuǎn)單位扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。扭轉(zhuǎn)剛度計算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進行選材。[例4]某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率P1=500馬力，輸出功率分別P2=200馬力及P3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？扭轉(zhuǎn)解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，

500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭轉(zhuǎn)由剛度條件得：500400P1P3P2ACBTx–7.024–4.21(kNm)扭轉(zhuǎn)

綜上：②全軸選同一直徑時扭轉(zhuǎn)

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才為75mm。Tx–4.21(kNm)2.814§結(jié)論與討論圓軸強度與剛度設(shè)計的一般過程關(guān)于公式的應(yīng)用條件開口與閉口薄壁圓環(huán)的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力圓軸強度與剛度設(shè)計的一般過程根據(jù)軸傳遞的功率以及軸每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)，確定作用在軸上的外加力偶的力偶矩。應(yīng)用截面法確定軸的橫截面上的扭矩，當軸上同時作用有兩個以上的繞軸線轉(zhuǎn)動的外加扭力矩時，需要畫出扭矩圖。根據(jù)軸的扭矩圖，確定可能的危險面以及危險面上的扭矩數(shù)值。校核、設(shè)計軸的直徑以及確定許用載荷。計算危險截面上的最大剪應(yīng)力或單位長度上的相對扭轉(zhuǎn)角。根據(jù)需要，應(yīng)用強度設(shè)計準則與剛度設(shè)計準則對圓軸進行強度與剛度校核、設(shè)計軸的直徑以及確定許用載荷。關(guān)于公式的應(yīng)用條件扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式是圓軸在彈性范圍內(nèi)導(dǎo)出的，其適用條件是：1、必須是圓軸－否則橫截面將不再保持平面，變形協(xié)調(diào)公式（如下）將不再成立2、材料必須滿足胡克定律，而且必須在彈性范圍內(nèi)加載－只有這樣，剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的正比關(guān)系才成立O2RB

CsR/2A1.