中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-銳角三角函數(shù)的綜合題分類及詳細(xì)答案

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中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練銳角三角函數(shù)的綜合題分類及詳細(xì)答案

一、銳角三角函數(shù)

1．（6分）某海域有A，B兩個(gè)港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口動(dòng)身，沿東北方向行駛一段距離后，到達(dá)位于B港口南偏東75°方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】．

【解析】

試題分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，依照

正切的定義求出CD的長(zhǎng)，得到答案．

試題解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=

，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，

∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，則tanC=

，∴CD=

=，

∴BC=

．故該船與B港口之間的距離CB的長(zhǎng)為

海里．

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角咨詢題．

2．如圖（9）所示（左圖為實(shí)景側(cè)視圖，右圖為安裝示意圖），在屋頂?shù)耐崞旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器：先安裝支架AB和CD（均與水平面垂直），再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高，公司規(guī)定：AD與水平面夾角為1θ，且在水平線上的射影AF為

1.4m.現(xiàn)已測(cè)量出屋頂歪面與水平面夾角為2θ，并已知1tan1.082θ=，

2tan0.412θ=．假如安裝工人確定支架AB高為25cm，求支架CD的高（結(jié)果精確到

1cm）？

【答案】

【解析】

于F，依照銳角三角函數(shù)的定義用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可證過(guò)A作AFCD

四邊形ABCE為平行四邊形，故有EC=AB=25cm，再再依照DC=DE+EC舉行解答即可．

3．如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線CM上,∠AEF=90°，AE=EF，過(guò)點(diǎn)F作射線BC的垂線，垂腳為H，連接AC．

(1)試推斷BE與FH的數(shù)量關(guān)系，并講明理由；

(2)求證：∠ACF=90°；

(3)連接AF，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作圓，如圖2.若EC=4，∠CEF=15°，求的長(zhǎng).

圖1圖2

【答案】（1）BE="FH"；理由見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）=2π

【解析】

試題分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而B(niǎo)C=AB，F(xiàn)H=EB，從而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH為45°，而∠ACB也為45°，從而可證明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直徑，設(shè)圓心為O，連接EO，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AC于點(diǎn)N，則可得△ECN為等腰直角三角形，從而可得EN的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AE的長(zhǎng)，得到半徑，得到所對(duì)圓心角的度數(shù)，從而求得弧長(zhǎng)

試題解析：（1）BE=FH．理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形∴∠B=90°，

∵FH⊥BC∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°"且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE∴∠AEB=∠EFH又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH又∵BE+EC=EC+CH∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形對(duì)角線，∴∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM+∠ACD=90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圓的圓心在歪邊AF的中點(diǎn)上．設(shè)該中點(diǎn)為O．連結(jié)EO得∠AOE=90°

過(guò)E作EN⊥AC于點(diǎn)N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN=

又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧對(duì)等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE==EF，∴AF=8

AE所在的圓O半徑為4，其所對(duì)的圓心角為∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π

考點(diǎn)：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圓周角定理；4、三角函數(shù)

4．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，﹣6），點(diǎn)B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角邊CD在y軸上，且點(diǎn)C與點(diǎn)A重合．Rt△CDE沿y軸

正方向平行挪移，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．解答下列咨詢題：

（1）如圖（2），當(dāng)Rt△CDE運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，設(shè)CE交AB于點(diǎn)M，求∠BME的度數(shù)．

（2）如圖（3），在Rt△CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)CE通過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求BC的長(zhǎng)．

（3）在Rt△CDE的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)AC=h，△OAB與△CDE的重疊部分的面積為S，請(qǐng)寫(xiě)出S與h之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出面積S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2時(shí)，S=﹣h2+4h+8，

當(dāng)h≥2時(shí)，S=18﹣3h．

【解析】

試題分析：（1）如圖2，由對(duì)頂角的定義知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度數(shù)，需先求出∠CMA的度數(shù)．依照三角形外角的定理舉行解答即可；

（2）如圖3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，經(jīng)過(guò)解直角△BOC就可求出BC的長(zhǎng)度；

（3）需要分類討論：①h≤2時(shí)，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點(diǎn)N，作MF⊥DE交DE于點(diǎn)F，S=S△EDC﹣S△EFM；②當(dāng)h≥2時(shí)，如圖3，S=S△OBC．

試題解析：解：（1）如圖2，

∵在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，﹣6），點(diǎn)B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如圖3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2時(shí)，如圖4，作MN⊥y軸交y軸于點(diǎn)N，作MF⊥DE交DE于點(diǎn)F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如圖3，當(dāng)h≥2時(shí)，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考點(diǎn)：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形

5．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分不在BC、AC旁邊，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探索∠APE的度數(shù)：

（1）如圖1，若k=1，則∠APE的度數(shù)為；

（2）如圖2，若k=3，試咨詢（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)講明理由；若別成立，求出∠APE的度數(shù)．

（3）如圖3，若k=3，且D、E分不在CB、CA的延長(zhǎng)線上，（2）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)講明理由．

【答案】（1）45°；（2）（1）中結(jié)論別成立，理由見(jiàn)解析；（3）（2）中結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析.

【解析】

分析：（1）先推斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進(jìn)而推斷出

△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再推斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；

（2）先推斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進(jìn)而推斷出

△FAE∽△ACD，再推斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；

（3）先推斷出四邊形ADBF是平行四邊形，得出BD=AF，BF=AD，進(jìn)而推斷出

△ACD∽△HEA，再推斷出∠EFB=90°，即可得出結(jié)論；

詳解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AF∥CB，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD相交于F，連接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．

（2）（1）中結(jié)論別成立，理由如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF∥CB，過(guò)點(diǎn)B作BF∥AD相交于F，連接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD．∵AC=3BD，CD=3AE，

∴

3ACCD

BDAE==．∵BD=AF，

∴

3ACCD

AFAE

==．∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，

∴

3ACADBF

AFEFEF===，∠FEA=∠ADC．∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．

在Rt△EFB中，tan∠FBE=3

3

EFBF=

，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，

（3）（2）中結(jié)論成立，如圖3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，連接AH，

∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四邊形EBDH是平行四邊形，∴BE=DH，EH=BD．∵AC=3BD，CD=3AE，

∴

3ACCD

BDAE

==．∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，

∴

3ADAC

AHEH

==，∠ADC=∠HAE．∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．

在Rt△DAH中，tan∠ADH=3AH

AD

=，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．

點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，要緊考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)．

6．下圖是某兒童樂(lè)園為小朋友設(shè)計(jì)的滑梯平面圖.已知BC=4m,AB=6m,中間平臺(tái)寬度DE=1m,EN,DM,CB為三根垂直于AB的支柱,垂腳分不為N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于點(diǎn)F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距離BM的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin31°≈0.52,cos31°≈0.86,tan31°≈0.60)

【答案】2.5m.【解析】

試題分析：設(shè)DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，則BF=4-x，依照線段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的

值．

試題解析：解：設(shè)DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，

∴CF=tan·DF=，

又∵CB=4，∴BF=4－，

∵AB=6，DE=1，BM=DF=，∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，

在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，

tan==0．60，

解得=2．5，

答：DM和BC的水平距離BM為2．5米．

考點(diǎn)：解直角三角形．

7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．

（1）推斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并講明理由；

（2）求證：BC2＝2CD?OE；

（3）若

XXX

cos,

53

BADBE

∠==，求OE的長(zhǎng)．

【答案】（1）DE為⊙O的切線，理由見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）OE=35

6

．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，BD，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ADB為直角，可得出△BCD為直角三角形，E為歪邊BC的中點(diǎn)，由直角三角形歪旁邊的中線等于歪邊的一半，得到CE=DE，從而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中兩銳角互余，從而可得∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為⊙O的切線；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位線，從而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，依照相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可證得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，依照三角形中位線定理OE的長(zhǎng)即可求得．

試題解析：（1）DE為⊙O的切線，理由如下：

連接OD，BD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E為歪邊BC的中點(diǎn)，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為⊙O的切線；

（2）∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC?CD．

∴BC2=2CD?OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，

又∵BE=，E是BC的中點(diǎn)，即BC=，

∴AC=．

又∵AC=2OE，

∴OE=AC=．

考點(diǎn)：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù)

8．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測(cè)量校園主教學(xué)樓AB的高度，由于教學(xué)樓底部別能直截了當(dāng)?shù)竭_(dá)，故興趣小