高考數(shù)學(xué)?？嫉?00個基礎(chǔ)知識點匯編

學(xué)習(xí)-----好資料

高考數(shù)學(xué)常考的

100個基礎(chǔ)知識點

廣州市育才中學(xué)

鄧軍民

整理

x

x

1．德摩根公式CU（A∩B）=

CuA∪CuB；

C

U

(A

B)

C

U

A

C

U

B

。

2．A∩B=A

A∪B=B

A

B

C

U

B

C

U

A

A∩C

U

B=φ

C

U

A∪B=R

3．card（A∪B）=cardA+cardB－card（A∩B）

4．二次函數(shù)的解析式的三種形式

①一般式

f（x）=ax2+bx+c（a≠0）；

②頂點式

f（x）=a（x－h(huán)）2+k（a≠0）；

③零點式

f（x）=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）。

5．設(shè)

x1，x2∈[a，b]，x1≠x2

那么

(

x

x

)[

f

(

x

)

f

(

x

)]

0

f

(

x1

)

f

(

x2

)

0

f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；

1 2 1 2

1 2

(

x

x

)[

f

(

x

)

f

(

x

)]

0

1 2 1 2

f

(

x

)

f

(

x

)

1

2

x

x

1

2

0

f（x）在[a，b]上是減函數(shù)。

8．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

a

1

n

a

m

（a>0，m，n∈N*，且

n>1）。

設(shè)函數(shù)

y

=

f（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果

f

′（x）

>

0

，則

f（x）

為增函數(shù)；如果

f

′（x）

<0

，

則

f（x）

為減函數(shù)。

6．函數(shù)

y=

f（x）

的圖象的對稱性:

①

函數(shù)

y=

f（x）

的圖象關(guān)于直線

x

=

a

對稱

f（a+x）=

f（a－x）

f（2a－x）=

f（x）。

7．兩個函數(shù)圖象的對稱性：

（1）函數(shù)

y=

f（x）與函數(shù)

y=

f（－x）的圖象關(guān)于直線

x

=

0（即

y

軸）對稱。

1

（2）函數(shù)

y

=

f（x）

和

y

=

f－

（x）

的圖象關(guān)于直線

y=x

對稱。

m

n

n

1

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

a

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m

m

a

n

（a>0，m，n∈N*，且

n>1）。

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log

N

log

N

am

b

n

log

b

，推論

log

log

a

m

9．logaN=b

ab=N

（a>0，a≠1，N>0）

10．對數(shù)的換底公式

n

m

a a

m

11．

an

s

，n

1

1

sn

sn1，n

2

≥（

數(shù)列{

a

n

}

的前

n

項的和為

S

n

=a1+a2

+…+an

）。

其前

n

項和公式

S

n

n(a

a

)

n(n

1)

d 2

na

d

n

(a

d

)n

2

2

2

2

13．等比數(shù)列的通項公式

an

a1q

n

1

a

1 ,

q

1

,

q

1

其前

n

項的和公式

S

1

q

或

S

1

q

na

,

q

1

na

,

q

1

（注意此公式第

2

行順推與逆推的應(yīng)用，這是遞推數(shù)列的常用公式，可以達(dá)到不同的目的）

12．等差數(shù)列的通項公式

an=a1+（n－1）d=dn+a1－d（n∈N*）*

1

1 n

1 1

1

·q

n

(n

N

*

)

；

q

a

(1

q

n

)

a

a

q

n

)

n

n n

1 1

（小心：解答題利用錯位相減法時要特別注意討論

q=1

的情況）

14．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2θ

+

cos2θ

=1，tanθ

=

15．和角與差角公式

sin（α

±β

）=sinα

cosβ

±cosα

sinβ

；

cos（α

±β

）=cosα

cosβ

sinα

sinβ

；

sin

cos

,

tan

·

cot

1

tan（α

±β

）

tan

tan

1

tan

tan

。

a

sin

b

cos

a

2

b

2

sin(

)（輔助角

所在象限由點（a，b）的象限決定，tan

）。

sin(

)

sin(

)

sin

2

sin

2

（平方正弦公式）；

cos（α

+β

）cos（α

?β

）=cos2α

?sin2β

（平方余弦公式）；

b

a

（建議利用

的正弦和余弦來確定其位于哪個象限，這樣比較好理解）

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16．二倍角公式

sin

2α

=

2sinα

·cosα

。

cos

2

cos

2

sin

2

2

cos

2

1

1

2

sin

2

tan

2

2

tan

1

tan

2

。

17．三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（ω

x+

），x∈R

及函數(shù)y=

cos（ω

x+

），x∈R（A，ω

，

；函數(shù)

y

tan(x

)

，

x

k

，k

Z

（A，

，

為常數(shù)，且A≠0，ω

＞0）的周期T

2

2

為常數(shù)，且A≠0，

0

）的周期

T

。（注意ω

小于0的函數(shù)周期的求法）

18．正弦定理

a

（1）

S

1

ah

bh

ch

（

h

、h

、h

分別表示

a、b、c

邊上的高）。

2

2

2

b c

2R

。（學(xué)會利用后面的

2R）

sin

A sin

B sin

C

19．余弦定理a2=b2+c2?2bccosA；b2=c2+a2?2cacosB；c2=a2+b2?2abcosC。

（注意其變形公式）

20．面積定理

1 1

a b c a b c

（2）

S

1

1

1

ab

sin

C

bc

sin

A

ca

sin

B

。

2

2

2

A

B

C

C

(A

B)

C

2C

2

2(A

B)

。

21．三角形內(nèi)角和定理 在△ABC

中，有

A

B

2 2 2

（很多與三角形有關(guān)的恒等變形或者純粹解三角形的題目中會用到這些關(guān)系）

22．平面兩點間的距離公式

|

AB

|

AB

AB

(

x

x

)

2

(

y

y

)

2

（A（

x

，y

），B（

x

，y

））。

d

A，B

2

1

2

1

1

1

2

2

P

P

PP

，則

23．向量的平行與垂直 設(shè)

a

(

x1，y1

)，b

(

x2，y

2

)

，且b≠0，則

a

//

b

b

a

x

y

x

y

0

1 2 2

1

a

b(a

0)

a

b

0

x

x

y

y

0

1

2 1 2

1

24．線段的定比分公式

設(shè)

P

(

x1，y1

)，P2

(

x2，y

2

)，P(

x，y)

是線段P1P2的分點，λ

是實數(shù)，且

1 2

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1

y

y1

y2

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x

x

x

1 2

1

（這個公式很重要，不要記錯?。?/p>

eq

\o\ac(△,25)

．三角形的重心坐標(biāo)公式 ABC

三個頂點的坐標(biāo)分別為

A(

x1，y1

)、B(

x2，y2

)

、C

(

x3，y3

)

，

則△ABC

的重心的坐標(biāo)是

G(

x

x

x

y

y

y

1 2 3

，

1 2

3 3

3

)

。

x'

x

h

x

x'h

26．點的平移公式

OP'

OP

PP'

（圖形F上的任意一點P（x，y）

y'

y

k

y

y'k

在平移后圖形

F'

上的對應(yīng)點為

P'

(

x'，y'

)

，且

PP'

的坐標(biāo)為（h，k））。

（要注意區(qū)別新坐標(biāo)、舊坐標(biāo)，區(qū)別新方程和舊方程，不要混淆，解答題務(wù)必要體現(xiàn)以上公式的

使用過程，關(guān)鍵步驟不要?。?/p>

27．常用不等式：

（1）a，b∈R a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)

a＝b

時取“=”號）。

（2）a，b∈R+

a

b

2

ab

（當(dāng)且僅當(dāng)

a=b

時取“=”號）。

（3）a3+b3+c3≥3abc（a>0，b>0，c>0）。

（4）柯西不等式

(a

2

b

2

)(c

2

d

2

)

(ac

bd

)

2，a，b，c，d

R

。（建議：了解一下，嘗

試用向量數(shù)量積的方法證明之）

（5）

|

a

|

|

b

||

a

b

||

a

|

|

b

|

28．極值定理

已知

x，y

都是正數(shù)，則有

（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)x=y時和x+y有最小值

2

p

；

1

（2）如果和x+y是定值s，那么當(dāng)x=y時積xy

有最大值 s

2

。

4

29．一元二次不等式ax2

+bx+c

>0（或<0）（a≠0，Δ=b2

4ac>0），如果a與ax2

+bx+c同號，則其

解集在兩根之外；如果a與ax2

+

bx

+

c

異號，則其解集在兩根之間。簡言之：同號兩根之外，異號

兩根之間。

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x

x

x

(

x

x

)

0(

x

x

)

；

1 2 1 1 2

x

x

，或

x

x

(

x

x

)(

x

x

)

0(

x

x

)

1 2 1 2 1 2

（這類問題一般可以借助于韋達(dá)定理或者結(jié)合圖象特點尋找約束條件就可以解決問題）

30．含有絕對值的不等式當(dāng)

a>

0

時，有

|

x

|

a

x

2

a

2

a

x

a

|

x

|

a

x

2

a

2

x

a

或

x

a

。

31．無理不等式

f

(

x)

g

(

x)

g

(

x)

0

f

(

x)

g

(

x)

f

(

x)

g

(

x)

g

(

x)

0

（1）

（2）

（3）

f

(

x)

0

f

(

x)

0

f

(

x)

0

f

(

x)

g

(

x)

g

(

x)

0

或

g

(

x)

0

f

(

x)

[

g

(

x)]2

f

(

x)

0

f

(

x)

[

g

(

x)]2

32．指數(shù)不等式與對數(shù)不等式

（1）當(dāng)

a>1

時，

f

(

x)

g

(

x)

；

log f

(

x)

log

g

(

x)

g

(

x)

0

f

(

x)

g

(

x)

a

f

(

x)

a

g

(

x)

a

a

f

(

x)

0

（2）當(dāng)

0<a<1

時，

f

(

x)

g

(

x)

；

log f

(

x)

log

g

(

x)

g

(

x)

0

f

(

x)

g

(

x)

a

f

(

x)

a

g

(

x)

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a

a

f

(

x)

0

x

x

（1）點斜式

y

y

k

(

x

x

)

（直線l過點

P

(x

，y

)

，且斜率為k）。

（3）兩點式

y

y

1

(

y

y

)

（

P

(

x

，y

)

、

P

(

x

，y

)

（

x

x

））。

1

x

x

y

y

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33．斜率公式 k

y2

y1

(

P

(

x

，y

)、P

(

x

，y

))

1 1 1 2 2 2

2 1

（很多代數(shù)問題可以利用這個公式轉(zhuǎn)化為幾何問題，簡化解題過程，這是數(shù)型結(jié)合思想的重要體

現(xiàn)）

34．直線的四種方程

1 1 1 1 1

（2）斜截式 y=kx+b（b為直線l在y軸上的截距）。

（注意：（1）截距不是距離；（2）過原點的直線也具有橫、縱截距相等的特征）

x

x

1

1 2 1 1 1 2 2 2 1 2

2 2 1

（4）一般式

Ax+By+C

=0（其中

A、B

不同時為

0）。

35．兩條直線的平行和垂直

l2

（1）若

l1：

y

k1

x

b1，：

y

k

2

x

b2

①l1//l2

k1

k

2，b1

b

2

；

②l1⊥l2

k1k

2

1

（2）若

l1：

A1

x

B1

y

C1

0

，l2：

A2

x

B2

y

C

2

0

，且

A1、A

2、B1、B

2

都不為零，

①l1//l2

A

B

C

1

1

2

B

2

C

1

；

2

36．夾角公式

tan

|

k

k

1

|

。（l

：

y

k

x

b

，l

：

y

k

x

b

，k

k

1

2

1

）

1

k

k

②l1⊥l2

A1

A2

B1

B2

0

；

2

1 1 1 2 2 2

2

1

（要區(qū)別于直線

a

到直線

b

的角的求解公式）。直線

l1⊥l2

時，直線

l1

與

l2

的夾角是

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2

。

A2

B

2

（點

P（

x0，y0

），直線

l：

Ax

By

C

0

）。

y

b

r

s

i

n

（4）圓的直徑式方程

(

x

x

)(

x

x

)

(

y

y

)(

y

y

)

0（圓的直徑的端點是A（

x

，y

）、

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37．點到直線的距離 d

|

Ax0

By0

C

|

38．圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (

x

a)

2

(

y

b)

2

r

2

（2）圓的一般方程 x

2

y

2

Dx

Ey

F

0(

D

2

E

2

4

F

0)

s

x

a

r

c

o

（3）圓的參數(shù)方程

1 2 1 2 1 1

B（

x2，y2

））。（可利用向量垂直理解之）

a

2

b

y

b

sin

39．橢圓

x

2

2

y

2

x

a

cos

1(a

b

0)

的參數(shù)方程是

。

（圓和橢圓的參數(shù)方程一定要過關(guān)）

)，|

PF

|

e(

x)

。

c

c

40．橢圓

x

2

y

2

a

2

b

2

1(a

b

0)

焦半徑公式

|

PF

|

e(

x

1

a

2

a

2

2

（自己還可以適當(dāng)化簡）

a

2

b

2

1(a

0，b

0)

的焦半徑公式

41．雙曲線

x

2

y

2

|

PF

||

e(

x

)

|，|

PF

||

e(

x)

|

。

c

c

42．拋物線

y2=2px

上的動點可設(shè)為

P( 0

，y0

)

或

P（

2

pt

2，pt

）或

P（x，y），其中

y

2

2

px

。

a

2 a

2

1 2

（點p在左支或者右支的時候，上面的公式都可以去絕對值符號的，作題時自己靈活處理）

y

2

2

2

p

（強(qiáng)烈建議理解：以拋物線的焦點弦為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線相切）

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43．二次函數(shù)

y

ax

2

bx

c

a(

x

4ac

b

2

b

)

2

(a

0)

的圖像是拋物線：

2a

4a

b 4ac

b

2

，

（1）頂點坐標(biāo)為（

）；

2a 4a

44．直線與圓錐曲線相交的弦長公式

|

AB

| (

x

x

)

2

(

y

y

)

2

或

1 2 1 2

|

AB

| (1

k

2

)(

x

x

)

2

|

x

x

|

1

tan

2

|

y

y

|

1

cot

2

2 1 1 2 1 2

（注意和韋達(dá)定理結(jié)合使用）

F

(

x，y)

0

（弦端點

A（

x1，y

），B（

x

，y

），由方程

y

kx

b

1 2 2

消去

y

得到

ax

2

bx

c

0

，

eq

\o\ac(△,>0)

，

用

x

y

xy

0

代入

xy，用

0

代

x，用 0

代入

y

即得方程

α

為直線

AB

的傾斜角，k

為直線的斜率，以上化簡思路再結(jié)合韋達(dá)定理使用，是很多圓錐曲線解答

題的常用解題技巧）

45

．圓錐曲線的對稱問題：曲線 F

（

x

，

y

）

=0

關(guān)于點

P

（

x0，y0

）成中心對稱的曲線是

2

F

(2

x

x，y

y)

0

。

0 0

（可以利用重點坐標(biāo)公式推導(dǎo)之）。

46．對于一般的二次曲線

Ax

2

Bxy

Cy

2

Dx

Ey

F

0

，用

x0

x

代

x

2

，用

y0

y

代

y

2

，

x

x y

y

0

2 2 2

0

Cy

y

D

0

E

0

F

0

，曲線的切線、切點弦方程均

2

2

2

Ax

x

B

0

x

y

xy

x

x

y

y

0

0

可由此方程得到。

47．共線向量定理 對空間任意兩個向量

a、b（b≠0

），a∥b

?

存在實數(shù)λ

使

a=λ

b。

48．對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足

OP

x

OA

y

OB

z

OC

，則四點P、A、B、

x

C是共面?

+y+z=1。

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49．空間兩個向量的夾角公式

cos<a，b>= a1b1

a2b2

a3b3

a

2

a

2

a

2

b

2

b

2

b

2

1 2 3 1 2 3

（

a

(a1，a2，a3

)

，

AB

m

m

n

m

n

b

(b

，b

，b

)

）。

1 2 3

50．直線

AB

與平面所成角

arcsin

（

m

為平面α

的法向量）。

|

OP

|

|

m

|

51．二面角α

?l?β

的平面角

arccos

或

arccos

（

m

，

n

為平面α

，β

的

|

m

||

n

| |

m

||

n

|

法向量）。

52．設(shè)

AC

是α

內(nèi)的任一條直線，且

BC⊥AC，垂足為

C，又設(shè)

AO

與

AB

所成的角為

，AB

與

1

AC

所成的角為

2

，AO

與

AC

所成的角為

。則

cos

cos

1

cos

2

。

53．空間兩點間的距離公式 若

A(x

，y

，z

)，B(x

，y

，z

)

，則

1 1 1 2 2 2

d

A，B

|

AB

|

AB

AB

(

x

x

)

2

(

y

y

)

2

(

z

z

)

2

。

2

1

2

1

2

1

|

CD

n

|

54．異面直線間的距離 d

（l1，l2

是兩異面直線，其公垂向量為

n

，C、D

分別是

|

n

|

l1，l2

上任一點，d

為

l1，l2

間的距離）。

55．點

B

到平面α

的距離

d

|

AB

n

|

（

n

為平面α

的法向量，AB

是面α

的斜線，A∈α

）。

|

n

|

56．面積射影定理

S

S

'

cos

（平面多邊形及其射影的面積分別是S、S'，它們所在平面所成銳二面角的為θ

）。

57．球的半徑是

R，則其體積是V

4

3

R

3

，其表面積是

S

4R

2

。

58．分類計數(shù)原理（加法原理）

N

m

m

m

。

1 2 n

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59．分步計數(shù)原理（乘法原理）

N

m

m

m

。

1 2 n

(n

m)!

60．排列數(shù)公式 Am

n(n

1)(n

m

1)

n!

n

。（n，m∈N*，且

m

n

）。

n

m n1

n nn

61．排列恒等式 （1）

Am

(n

m

1)

Am1

；（2）

Am

n

Am

；（3）

Am

nAm1

；

n

n1

（4）

nAn

An1

An

；（5）

Am

Am

mAm1

。（建立了解，會用排列數(shù)公式推導(dǎo)之）

n n1 n n1 n n

n(n

1)

(n

m

1)

(n，m

N

*，且m

n)

。

n

62．組合數(shù)公式

C

m

A

m

n!

n

m

A

m

1

2

m

m!

(n

m)!

63．組合數(shù)的兩個性質(zhì)

（1）

C

m

C

nm

；（2）

C

m

C

m1

C

m

n n n n n1

64．組合恒等式

n

m

1 m1

；（2）C

n

m

n

m n1 m n1

n

（1）C

m

C

m

C

m

；（3）C

m

C

m1

；（4）

C

r

2

n

；

n

n

n

n

n

n

r

0

r2

C

r

C

r1

。（建議了解，會用組合數(shù)公式推導(dǎo)之）

r

1

C

r

66．二項式定理

(a

b)

n

C

0

a

n

C1

a

n1b

C

2

a

n2b

2

C

r

a

nr

b

r

C

n

b

n

；

r

1

C

r

a

nr

b

r

（r=0，1，2…，n）。

（5）

C

r

C

r

r n n

1

65．排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：

Am

m!

C

m

n n

n n n n n

二項展開式的通項公式：T

n

（注意通項的下標(biāo)）

67．等可能性事件的概率

P(

A)

m

n

。

68．互斥事件

A，B

分別發(fā)生的概率的和

P（A＋B）=P（A）＋P（B）。

69．n

個互斥事件分別發(fā)生的概率的和

P（A1＋A2＋…＋An）=P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）。

70．獨立事件

A，B

同時發(fā)生的概率

P（A·B）=

P（A）·P（B）。

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71．n

個獨立事件同時發(fā)生的概率

P（A1·A2·…·An）=P（A1）·P（A2）·…·P（An）。

72．n

次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生

k

次的概率

P

(k

)

C

k

P

k

(1

P)

nk

。

n n

73．離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì)：

（1）

P

0

（i=1，2，…）；（2）

P

P

1

。

i 1 2

1

74．?dāng)?shù)學(xué)期望

E

x1

P

x2

P2

xn

Pn

75．?dāng)?shù)學(xué)期望的性質(zhì)：

（1）E（aξ+b）=aE（ξ）+b；

（2）若

ξ～B（n，p），則

Eξ=

np。

（要將

n

次獨立重復(fù)實驗有

k

次發(fā)生這樣一個問題與二項分布聯(lián)系起來）

76．方差

D

(

x

E)

2

p

(

x

E)

2

p

(

x

E)

2

P

1 1 2 2 n n

（還有一個變形公式可以求方差，你記得嗎？在下面會有的）

77．標(biāo)準(zhǔn)差

D

。（了解，防止你看到標(biāo)準(zhǔn)差的符號不認(rèn)識，呵呵）

78．方差的性質(zhì)

（1）

D()

E

2

(E)

2

；

（2）

D(a

b)

a

2

D

；

（3）若

~

B(n，p)

，則

D

np(1

p)

。

e

262

79．正態(tài)分布密度函數(shù)

f

(

x)

1

2

6

(

x)2

，

x

(，

)

式中的實數(shù)

，

（

0

）是參

數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。（了解即可）

2

6

e

x2

80．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)

f

(

x)

1

2

，x

(，

)

。（了解即可，但是要注意其概

率分布圖的特點，包括陰影部分面積所表示的含義，考的概率不大，但是要防止考小題。）

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81．對于

N（μ，σ2），取值小于

x

的概率

F

(

x)

x

。

P(

x

x

x

)

P(

x

x

)

P(

x

x

)

F

(

x

)

F

(

x

)

1 0 2 2 1 2 1

x

x

m

2

1

（個人覺得：要理解之，考的概率不大，但是還是要防止出小題。）

82．特殊數(shù)列的極限

（1）

lim

q

n

1

0

|

q

|

1

q

1

n

不存在

|

q

|

1或q

1

k

1

n

k

1

a

n

b

n

t

b

n

t

1

b

a

a

n

k

a

（2）

lim k

t t

1 0

0

(k

t

)

0

t

(k

t

)

bk

不存在

(k

t

)

1

（S

無窮等比數(shù)列{a1q

n1}(|

q

|

1)

的和）。

a

(1

q

n

) a

（3）

S

lim 1

n 1

q 1

q

84．函數(shù)的夾逼性定理

如果函數(shù)

f

(

x)，g

(

x)，h(

x)

在點

x

的附近滿足：

0

（1）

g

(

x)

f

(

x)

h(

x)

；（2）

lim

g

(

x)

a，lim

h(

x)

a

（常數(shù)），則

lim

f

(

x)

a

。

x

x

0

x

x

0

x

x

0

sin

x

1

x

本定理對于單側(cè)極限和

x→∞的情況仍然成立。

（個人覺得：有必要了解一下，防止出新題）

85．兩個重要的極限

（1）

lim

1

；（2）

lim

1

e(e

2.718281845)

。

x0 x x x

（個人覺得需要了解一下，防止出新題?？床欢膊灰袎毫?，這是超范圍的。）

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86．f（x）在

x

0

處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商）

lim

lim

f

'

(

x

)

y'|

0

x

x

0

y

f

(

x

x)

f

(

x

)

0

0