存在型問題-直角三角形問題

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題策略解直角三角形的存在性問題，一般分三步走一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根．一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定列方程．有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便．解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起．如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式常常用到．怎樣畫直角三角形的示意圖呢？如果已知直角邊么直角邊的兩個(gè)端點(diǎn)畫垂線三個(gè)頂點(diǎn)在垂線上如已知斜那么以斜邊為直徑畫圓直角頂點(diǎn)在圓上（不含直徑的兩個(gè)端點(diǎn)例

如圖，在△中AB＝＝，∠B

45

．D、為線段上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE（E在D右動(dòng)始時(shí)D和B重當(dāng)E和重時(shí)動(dòng)停止．過E作EF//交于F連結(jié)DF設(shè)＝x，如△BDF為角三角形，求的．圖【解析】△中∠是確定的銳角，那么按照直角頂點(diǎn)分類，直角三角形BDF存在兩種情況把夾∠的條邊用含有的式子表示出來種況列方程就可以了．如圖1-2，作AH⊥BC，垂足為H，么H是BC的點(diǎn)．4在eq\o\ac(△,Rt)ABH中AB，cosB＝，以BH＝8所以＝165由EF//AC得

BFBEBFx5，．以BF＝(．BC圖

圖

圖①如圖，當(dāng)＝90時(shí)，由

BD4，BDBF．BF5

2222222222解方程

4，x＝．5②如圖，當(dāng)＝90時(shí)，由

BF4，BFBD．BD55解方程x8

15，85

．我們看到，在畫示意圖時(shí)，無須受到ABC的限制需要取其確定的．例

如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的標(biāo)為-是A關(guān)原點(diǎn)的對(duì)點(diǎn)P是數(shù)標(biāo)．

2

(x圖上的一點(diǎn)，且△是直角三角形，求點(diǎn)P的圖【解析、兩點(diǎn)是確定的，以線段為類標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況．如果線段AB為角邊，那么過點(diǎn)A畫的線，與第一象限內(nèi)的一支雙曲線沒有交點(diǎn)；過點(diǎn)B畫AB的線，有個(gè)點(diǎn)．以為徑畫圓圓與雙曲線有沒有交點(diǎn)呢？先假如有交點(diǎn)，再列方程，方程有解那么就有交點(diǎn)．如果是一元二次方程，那么可能是一個(gè)交點(diǎn)，也可能兩個(gè)交點(diǎn)．由題意，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為2，0∠BAP可能成為直角．①圖2-2，當(dāng)∠＝°時(shí)，點(diǎn)P的標(biāo)為（2②方一：如圖2-3，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，OPeq\o\ac(△,Rt)斜邊上的中線OP＝2．設(shè)

(x,)

，由＝4得

x2

4x2

．解得

2

．此時(shí)P2,)圖方法二：由勾股理，得PA＋PBAB．

圖2-3解方程

(2)

2)x

x2)

2)x

4

，得

．方法三如圖3-4由AHP△，得＝AH·BH解方程

2()2x)，得xx

．

22圖

圖這三種解法的方程貌似差異很大，轉(zhuǎn)化為整式方程之后都－＝0這四次方程的解是x＝＝＝＝2幾何意義就是以為直徑的圓與曲線相切于P、134P圖例

如圖，已知直線＝－6經(jīng)點(diǎn)A(1,，與x軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且為直角三角形，求點(diǎn)的標(biāo)圖【解析】和例題3一樣，過A、兩分別畫的垂線，有點(diǎn)．和例題同，以AB為直徑畫圓，圓與y軸沒有交點(diǎn)，一目了然．而圓與雙曲線有沒有交點(diǎn)，是徒手畫雙曲線無法肯定的．將(1,－4)代入y＝kx－6可得＝2所以＝x－6B(3,0)．設(shè)的為m．分三種情況討論直角三角形ABQ：①圖3-2，當(dāng)∠＝°時(shí)，∽△，解得mm．所以(0,－或(－．②如圖，當(dāng)＝°時(shí)，QHA∽AGB，

BOQH．以．OQm1QH4．以．HAGB14解得

7．此時(shí)Q(0,．2②圖3-4，當(dāng)∠＝°時(shí)，∽△BMQ，3解得．此時(shí)(0,．2

AGBM2m．以．GBMQ4

22．．．．22．．．．圖

圖

圖4-4三種情況的直角三角形，直角邊都不與坐標(biāo)軸平行，我們以直角頂點(diǎn)公共頂點(diǎn)，構(gòu)造兩個(gè)相似的直角三角形，這樣列比例方程比較簡便．已知(1,－、，(0,，那么根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以表示出AB，AQ和，按照斜邊為分類標(biāo)準(zhǔn)列方程，就不用畫圖進(jìn)行“盲解”了．（難）例

33如圖4-1，物線yxx84

與x軸交于、兩（點(diǎn)在點(diǎn)B的左側(cè)直l過點(diǎn)，M為直線l上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以、、M為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的析式．圖【解析】有且只有三個(gè)直角三角形ABM是什么意思呢？過AB兩點(diǎn)分別畫的線，與直線l各一個(gè)交點(diǎn)，那么第三個(gè)直角頂點(diǎn)M在里？以AB直徑的⊙G與線l相切于點(diǎn)M啊由

332xx84

，得(－4,、0)，直徑AB＝．如圖5-2，連結(jié)GM，那么GM⊥l．在eq\o\ac(△,Rt)EGMGM，＝5，所以EM＝．因此GEM

34

．設(shè)直線l與軸于點(diǎn)C那么OC．所以直線l直線）為3．根據(jù)對(duì)稱性，直線l可以是4

34

．

，所以．，所以．圖例

如圖5-1，在△ABC，＝，AB＝8

A

．點(diǎn)D是邊的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與關(guān)于直線CD對(duì)，連結(jié)CEDE（1求底邊AB上高；（2設(shè)CE與AB于點(diǎn)F，當(dāng)△ACF直角三角形時(shí)，求AD的；（3連結(jié)，當(dāng)是角三角形時(shí)，求AD的長．圖【解析題畫示意圖有技巧的將點(diǎn)D看主動(dòng)點(diǎn)就是從動(dòng)線段過來畫圖，點(diǎn)E在為徑的⊙C上，如果把點(diǎn)E看主動(dòng)點(diǎn)，再畫的平分線就產(chǎn)生點(diǎn)D了．（1如圖5-2，設(shè)AB邊上的高為，那么＝BH4．在eq\o\ac(△,Rt)ACH中，AH＝，

A

，所以＝，CH＝．（2①如圖5-3，當(dāng)∠＝90°時(shí)F是的中點(diǎn)，＝，＝3．在eq\o\ac(△,Rt)DEF中EF＝－＝2

cos

5ADDE2

．②如圖，當(dāng)＝°時(shí)，＝°那的件符合“角邊角作DG，足為．DG＝CG，么AD＝m，AG4m．由CA＝，得7m＝．解得

．此時(shí)

．圖

圖

圖

（3因?yàn)椋?，所以只存在∠ADE＝°的情況．