第3講 充滿活力的韋達(dá)定理

22B或2、D、22122第三講22B或2、D、22122

充滿活的達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因為該定理是由世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的.韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題韋達(dá)定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方.【例題求解】【例】已知方程

的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式

2)的為

思點：求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化(【例】如果

、b

都是質(zhì)數(shù)，且a

a

，b

，那么

baa

的值為()A

1231252222

或2思點：將兩個等式相減，得到

a

、

的關(guān)系，由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同，可視

a

、

為方程x

的兩實根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條.注應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值般是關(guān)于、x2示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合(2)根根的定義降次(3)構(gòu)造對稱式

的對稱式這問題可通過變形+x、x21

表【例】已知于x方程：x

2

mmx(1)求證：無論m取么實數(shù)值，個方程總有兩個相異實.(2)若這個方程的兩個實根

、

滿足x，m的值及相應(yīng)的211

、x

思點：于，先判定

、

的符號特征，并從分類討論入【例4設(shè)x、

是方程xm的兩個數(shù)根，當(dāng)m為值時，12

有最小值并求出這個最小.思點利用根與系數(shù)關(guān)系把待求用m的數(shù)式表示再配方法入手注意本例是在一定約束條件下eq\o\ac(△,()eq\o\ac(△,)≥0)進(jìn)行的.注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時，須滿足別式≥0這條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價.【例】已知四邊形ABCD中AB∥且ABCD的是關(guān)于

的方程x)2

74

的兩個(1)當(dāng)m＝時四邊形ABCD別是哪種四邊說明理.(2)若MN分是ADBC的點線MN分交ACBD于＝1且求AB的長．1

思點：于，易建立含ACBD及m的系式，要求出值，還需運用與中點相關(guān)知識找尋CD、AB的一隱含關(guān)系注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題形向“數(shù)(方程轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗，又要考慮幾何量的非負(fù)性．2

232B．22baC．D．充滿活力的韋達(dá)定理歷訓(xùn)練232B．22baC．D．已知

和x

為一元二次方程2

的兩個實根

和x

滿足不等式

，則實數(shù)取范圍是

(2)已關(guān)于x

的一元二次方程8xx有個負(fù)數(shù)根，那么實數(shù)

m

的取值范圍是

、知、是程的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式的值為

是eq\o\ac(△,)ABC邊上的高線AD是方程

的兩根，eq\o\ac(△,)ABC的積

、x

、x

是關(guān)于x

的方程x

2

px兩根，x

+1、x

+1是于

的方程

2

qxp的根，則的分別等()A．1，B．1，3C-1，D．-1，3、eq\o\ac(△,)ABC中∠C＝90°，、、c分是A∠B、C的邊，a是于的方程x0

的兩根，那么AB邊的中線長是)A

322

C．5．、程

21997有兩個正整數(shù)根x、x，則

p(12

的值是)A．1B．-l．

122、關(guān)于x

的一元二次方程的兩個實數(shù)根滿足關(guān)系式：

x((xx1

，判斷()

4否正?、知關(guān)于x的程x(2x0.當(dāng)k是何值時此方程有實數(shù)根；(2)若此方程的兩個實數(shù)根x

、x

滿足：x，2

的值、知方程x

2

px的根均為正整數(shù)，且

，那么這個方程兩根為

、知是程x的個根，則值

eq\o\ac(△,)的一邊長為5另邊長恰為方程2

x的兩根m取值范圍是

、個質(zhì)數(shù)a

、b

恰好是整系數(shù)方程的兩個根，則的值是()abA．9413B

941394139413194993

222．D．122222222．D．122222、方程有一個正根x，個負(fù)根x，以、x為根的一元二次程()2A．xC．mx

BxDx1、果方程()的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那實數(shù)m的值范圍是()A0≤1B．≥

333444

≤m如在矩形ABCD中對角線AC的長為且BC(AB>BC)的長是關(guān)于的程兩個.(1)求rn的值；（2）若是AB上一點CF⊥DE于F求為值時eq\o\ac(△,)CEF面積eq\o\ac(△,)的積的，請說3明理由．設(shè)不小于的數(shù)得于xx、x.

的方程工m有兩個不相等的實數(shù)根若

求m值

（2求

1111

22

的最大值.、圖，已知eq\o\ac(△,)中∠ACB=90°過C作于，＝BD=nAC＝2