2023版高三數(shù)學一輪復習（3年真題分類+考情精解讀+知識全通關+題型全突破+能力大提升）第十三章計數(shù)原理試題理

PAGEPAGE7第十三章計數(shù)原理考點1排列與組合1.(2022·全國Ⅱ，5)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.91.B[從E點到F點的最短路徑有6種，從F點到G點的最短路徑有3種，所以從E點到G點的最短路徑為6×3＝18種，應選B.]2.(2022·全國Ⅲ，12)定義“標準01數(shù)列〞{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).假設m＝4，那么不同的“標準01數(shù)列〞共有()A.18個B.16個C.14個D.12個2.C[第一位為0，最后一位為1，中間3個0，3個1，三個1在一起時為000111，001110；只有2個1相鄰時，共Aeq\o\al(2,4)種，其中110100；110010；110001，101100不符合題意，三個1都不在一起時有Ceq\o\al(3,4)種，共2＋8＋4＝14.]3.(2022·四川，4)用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24B.48C.60D.723.D[由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，那么個位數(shù)只能是1，3，5；分為兩步：先從1，3，5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)，再將剩下的4個數(shù)字排列得到Aeq\o\al(4,4)，那么滿足條件的五位數(shù)有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)＝72.選D.]4.(2022·北京，8)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否那么就放入丙盒.重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多4.B[取兩個球往盒子中放有4種情況：①紅＋紅，那么乙盒中紅球數(shù)加1個；②黑＋黑，那么丙盒中黑球數(shù)加1個；③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，那么乙盒中黑球數(shù)加1個；④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，那么丙盒中紅球數(shù)加1個；因為紅球和黑球個數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多.③和④的情況隨機，③和④對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響，①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上選B.]5.(2022·四川，6)用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A.144個B.120個C.96個D.72個5.B[由題意,首位數(shù)字只能是4,5,假設萬位是5,那么有3×Aeq\o\al(3,4)＝72個；假設萬位是4，那么有2×Aeq\o\al(3,4)個＝48個，故40000大的偶數(shù)共有72＋48＝120個.選B.]6.(2022·大綱全國，5)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，那么不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種6.C[從中選出2名男醫(yī)生的選法有Ceq\o\al(2,6)＝15種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有Ceq\o\al(1,5)＝5種，所以不同的選法共有15×5＝75種，應選C.]7.(2022·遼寧，6)6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144B.120C.72D.247.D[3人中每兩人之間恰有一個空座位，有Aeq\o\al(3,3)×2＝12種坐法，3人中某兩人之間有兩個空座位，有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝12種坐法，所以共有12＋12＝24種坐法.]8.(2022·四川，6)六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，那么不同的排法共有()A.192種B.216種C.240種D.288種8.B[當最左端排甲時，不同的排法共有Aeq\o\al(5,5)種；當最左端排乙時，甲只能排在中間四個位置之一，那么不同的排法共有Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)種.故不同的排法共有Aeq\o\al(5,5)＋Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝9×24＝216種.]9.(2022·重慶，9)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A.72B.120C.144D.1689.B[依題意，先僅考慮3個歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3個歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此滿足題意的排法種數(shù)為144－24＝120，選B.]10.(2022·安徽，8)從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有()A.24對B.30對C.48對D.60對10.C[法一直接法：如圖，在上底面中選B1D1，四個側面中的面對角線都與它成60°，共8對，同樣A1C1對應的也有8對，下底面也有16對，這共有32對；左右側面與前后側面中共有16對.所以全部共有48對.法二間接法：正方體的12條面對角線中，任意兩條垂直、平行或成角為60°，所以成角為60°的共有Ceq\o\al(2,12)－12－6＝48對.]11.(2022·福建，10)用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍球中取出假設干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式1＋a＋b＋ab表示出來，如：“1〞表示一個球都不取、“a〞表示取出一個紅球、而“ab〞那么表示把紅球和藍球都取出來.依此類推，以下各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出假設干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)11.A[分三步：第一步,5個無區(qū)別的紅球可能取出0個,1個,…,5個,那么有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)種不同的取法；第二步，5個無區(qū)別的藍球都取出或都不取出，那么有(1＋b5)種不同取法；第三步，5個有區(qū)別的黑球看作5個不同色，從5個不同色的黑球中任取0個，1個，…，5個，有(1＋c)5種不同的取法，所以所求的取法種數(shù)為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，應選A.]12.(2022·廣東，8)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3〞的元素個數(shù)為()A.60B.90C.120D.13012.D[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三種情況討論.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取一個讓其等于1或－1，其余等于0，于是有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10種情況；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取兩個讓其都等于1或都等于－1或一個等于1、另一個等于－1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＝40種情況；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此時，從x1，x2，x3，x4，x5中任取三個讓其都等于1或都等于－1或兩個等于1、另一個等于－1或兩個等于－1、另一個等于1，其余等于0，于是有2Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,3)＝80種情況.由于10＋40＋80＝130，故答案為D.]13.(2022·廣東，12)某高三畢業(yè)班有40人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答).13.1560[依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了Aeq\o\al(2,40)＝40×39＝1560條畢業(yè)留言.]14.(2022·北京，13)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，假設產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，那么不同的擺法有________種.14.36[將A、B捆綁在一起，有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有Aeq\o\al(4,4)種擺法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種擺法，而A、B、C3件在一起，且A、B相鄰，A、C相鄰有CAB、BAC兩種情況，將這3件與剩下2件全排列，有2×Aeq\o\al(3,3)＝12種擺法，故A、B相鄰，A、C不相鄰的擺法有48－12＝36種.]15.(2022·浙江，14)在8張獎券中有一、二、三等獎各1張，其余5張無獎.將這8張獎券分配給4個人，每人2張，不同的獲獎情況有________種(用數(shù)字作答).15.60[分情況：一種情況將有獎的獎券按2張、1張分給4個人中的2個人，種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)Aeq\o\al(2,4)＝36；另一種將3張有獎的獎券分給4個人中的3個人，種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝24，那么獲獎情況總共有36＋24＝60(種).]考點2二項式定理及其應用1.(2022·四川，2)設i為虛數(shù)單位，那么(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A.-15x4B.15x4C.-20ix4D.20ix41.A[由題可知，含x4的項為Ceq\o\al(2,6)x4i2＝－15x4.選A.]2.(2022·新課標全國Ⅰ，10)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A.10B.20C.30D.602.C[Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3y2的第r＋1項為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(r,3)x2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.]3.(2022·湖南，6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))5的展開式中含的項的系數(shù)為30，那么a＝()A.eq\r(3)B.－eq\r(3)C.6D.－63.D[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(5)的展開式通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)xeq\f(5－r,2)(－1)rar·x－eq\f(r,2)＝(－1)rarCeq\o\al(r,5)xeq\f(5,2)－r，令eq\f(5,2)－r＝eq\f(3,2)，那么r＝1，∴T2＝－aCeq\o\al(1,5)x，∴－aCeq\o\al(1,5)＝30，∴a＝－6，應選D.]4.(2022·陜西，4)二項式(x＋1)n(n∈N＋)的展開式中x2的系數(shù)為15，那么n＝()A.4B.5C.6D.74.C[由題意易得：Ceq\o\al(n－2,n)＝15，Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(2,n)＝15，即eq\f(n〔n－1〕,2)＝15，解得n＝6.]5.(2022·湖北，2)假設二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(a,x)))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，那么實數(shù)a＝()A.2B.eq\r(5,4)C.1D.eq\f(\r(2),4)5.C[Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·(2x)7－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)))eq\s\up12(r)＝27－rCeq\o\al(r,7)ar·eq\f(1,x2r－7).令2r－7＝3，那么r＝5.由22·Ceq\o\al(5,7)a5＝84得a＝1，應選C.]6.(2022·浙江，5)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)f(m，n)，那么f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A.45B.60C.120D.2106.C[在(1＋x)6的展開式中，xm的系數(shù)為Ceq\o\al(m,6)，在(1＋y)4的展開式中，yn的系數(shù)為Ceq\o\al(n,4)，故f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)·Ceq\o\al(n,4).從而f(3，0)＝Ceq\o\al(3,6)＝20，f(2，1)＝Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝60,f(1，2)＝Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＝36,f(0，3)＝Ceq\o\al(3,4)＝4，應選C.]7.(2022·四川，2)在x(1＋x)6的展開式中，含x3項的系數(shù)為()A.30B.20C.15D.107.C[只需求(1＋x)6的展開式中含x2項的系數(shù)即可,而含x2項的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15，應選C.]8.(2022·湖南，4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的展開式中x2y3的系數(shù)是()A.－20B.－5C.5D.208.A[展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\f(1,2)x)5－k·(－2y)k＝(－1)k·22k－5Ceq\o\al(k,5)x5－k·yk，令5－k＝2，得k＝3.那么展開式中x2y3的系數(shù)為(－1)3·22×3－5Ceq\o\al(3,5)＝－20，應選A.]9.(2022·全國Ⅰ，14)(2x＋eq\r(x))5的展開式中，x3的系數(shù)是______________(用數(shù)字填寫答案).9.10[(2x＋eq\r(x))5展開式的通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x)5－k(eq\r(x))k＝Ceq\o\al(k,5)25－kx5－eq\f(k,2)，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－eq\f(k,2)＝3解得k＝4，得T5＝Ceq\o\al(4,5)25－4x5－eq\f(4,2)＝10x3，∴x3的系數(shù)是10.]10.(2022·北京，10)在(1－2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為________.10.60[展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·16－r·(－2x)r＝Ceq\o\al(r,6)(－2x)r.令r＝2得T3＝Ceq\o\al(2,6)·4x2＝60x2，即x2的系數(shù)為60.]11.(2022·北京，9)在(2＋x)5的展開式中，x3的系數(shù)為________(用數(shù)字作答).11.40[展開式通項為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)25－rxr，∴當r＝3時，系數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·25－3＝40.]12.(2022·天津，12)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4x)))6的展開式中，x2的系數(shù)為________.12.eq\f(15,16)[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4x)))eq\s\up12(6)的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4x)))eq\s\up12(r)＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))eq\s\up12(r)x6－2r；當6－2r＝2時，r＝2，所以x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(15,16).]13.(2022·新課標全國Ⅰ，13)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________(用數(shù)字填寫答案).13.－20[由二項展開式公式可知，含x2y7的項可表示為x·Ceq\o\al(7,8)xy7－y·Ceq\o\al(6,8)x2y6，故(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為Ceq\o\al(7,8)－Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(1,8)－Ceq\o\al(2,8)＝8－28＝－20.]14.(2022·新課標全國Ⅱ，13)(x＋a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，那么a＝________(用數(shù)字作答).14.eq\f(1,2)[Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－rar,令10－r＝7,得r＝3,∴Ceq\o\al(3,10)a3＝15，即eq\f(10×9×8,3×2×1)a3＝15,∴a3＝eq\f(1,8)，∴a＝eq\f(1,2).]15.(2022·安徽，13)設a≠0，n是大于1的自然數(shù)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x,a)))n的展開式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.假設點Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如下圖，那么a＝________.1