2023版高考數(shù)學大一輪復(fù)習第八章立體幾何與空間向量8.4平行關(guān)系試題理北師大版

PAGEPAGE18第八章立體幾何與空間向量8.4平行關(guān)系試題理北師大版1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件a∩α＝?aα，bα，a∥ba∥αa∥α，aβ，α∩β＝b結(jié)論a∥αb∥αa∩α＝?a∥b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形條件α∩β＝?aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，aβ結(jié)論α∥βα∥βa∥ba∥α【知識拓展】重要結(jié)論：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即假設(shè)a⊥α，a⊥β，那么α∥β；(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即假設(shè)a⊥α，b⊥α，那么a∥b；(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即假設(shè)α∥β，β∥γ，那么α∥γ.【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)假設(shè)一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線平行于這個平面．(×)(2)假設(shè)一條直線平行于一個平面，那么這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線．(×)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．(×)(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．(√)(5)假設(shè)直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，那么a∥α.(×)(6)假設(shè)α∥β，直線a∥α，那么a∥β.(×)1．(教材改編)以下命題中正確的選項是()A．假設(shè)a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．假設(shè)直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．假設(shè)直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α答案D解析A中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確．2．設(shè)l，m為直線，α，β為平面，且lα，mβ，那么“l(fā)∩m＝?〞是“α∥β〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析當平面與平面平行時，兩個平面內(nèi)的直線沒有交點，故“l(fā)∩m＝?〞是“α∥β〞的必要條件；當兩個平面內(nèi)的直線沒有交點時，兩個平面可以相交，∴l(xiāng)∩m＝?是α∥β的必要不充分條件．3．(2022·濟南模擬)平面α∥平面β的一個充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，aα，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α答案D解析假設(shè)α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，那么a∥α，a∥β，故排除A.假設(shè)α∩β＝l，aα，a∥l，那么a∥β，故排除B.假設(shè)α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，那么a∥β，b∥α，故排除C.應(yīng)選D.4．(教材改編)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，那么BD1與平面AEC的位置關(guān)系為________．答案平行解析連接BD，設(shè)BD∩AC＝O，連接EO，在△BDD1中，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，那么BD1∥EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，那么四邊形EFGH的形狀為________．答案平行四邊形解析∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.證明(1)連接EC，∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，∴BC綊AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點．又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點，H是CD的中點，∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH平面OHF，∴GH∥平面PAD.命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2(2022·長沙模擬)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為2eq\r(17).點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；(2)假設(shè)EB＝2，求四邊形GEFH的面積．(1)證明因為BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連接OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高．由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝eq\f(1,4)DB＝eq\f(1,2)OB，即K為OB的中點．再由PO∥GK得GK＝eq\f(1,2)PO，即G是PB的中點，且GH＝eq\f(1,2)BC＝4.由可得OB＝4eq\r(2)，PO＝eq\r(PB2－OB2)＝eq\r(68－32)＝6，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝eq\f(GH＋EF,2)·GK＝eq\f(4＋8,2)×3＝18.思維升華判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(αα，bα，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，aα，aβ，a∥α?a∥β)．如下圖，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．證明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形．∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角或其補角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1．在本例條件下，假設(shè)D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證明如下圖，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B，又HD平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2．在本例條件下，假設(shè)D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如下圖，連接A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DM平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.思維升華證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行〞、“線面平行〞、“面面平行〞的相互轉(zhuǎn)化．(2022·許昌三校第三次考試)如下圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明(1)如下圖，設(shè)DF與GN交于點O，連接AE，那么AE必過點O，連接MO，那么MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因為BE平面DMF，MO平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.因為DE平面MNG，GN平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因為BD平面MNG，MN平面MNG，所以BD∥平面MNG.因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4如下圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？假設(shè)存在，請確定點E的位置；假設(shè)不存在，請說明理由．解方法一存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點F，連接DF，那么DF∥B1C1，∵AB的中點為E，連接EF，ED，那么EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假設(shè)在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，如圖，取BB1的中點F，連接DF，EF，ED，那么DF∥B1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點．即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.思維升華利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決．如下圖，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？解∵AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可證EF∥GH，∴截面EFGH是平行四邊形．設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角)．又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，那么由平面幾何知識可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，兩式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，∴S?EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)．∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，∴eq\f(bsinα,a)x(a－x)≤eq\f(absinα,4)，當且僅當x＝a－x時等號成立．此時x＝eq\f(a,2)，y＝eq\f(b,2).即當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大．5．立體幾何中的探索性問題典例(12分)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝eq\f(2,3).(1)求四棱錐S－ABCD的體積；(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明．標準解答解(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝eq\f(2,3)，SA＝2，∴AD＝3.[2分]由題意知四棱錐S－ABCD的底面為直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，VS－ABCD＝eq\f(1,3)·SA·eq\f(1,2)·(BC＋AD)·AB＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋3)×2＝eq\f(10,3).[6分](2)當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時，可使CE∥平面SAB.[8分]證明如下：取SD上靠近D的三等分點為E，取SA上靠近A的三等分點為F，連接CE，EF，BF，那么EF綊eq\f(2,3)AD，BC綊eq\f(2,3)AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF.[10分]又∵BF平面SAB，CE平面SAB，∴CE∥平面SAB.[12分]解決立體幾何中的探索性問題的步驟：第一步：寫出探求的最后結(jié)論；第二步：證明探求結(jié)論的正確性；第三步：給出明確答案；第四步：反思回憶，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題標準．1．(2022·保定模擬)有以下命題：①假設(shè)直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，那么直線l∥α；②假設(shè)直線a在平面α外，那么a∥α；③假設(shè)直線a∥b，b∥α，那么a∥α；④假設(shè)直線a∥b，b∥α，那么a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線．其中真命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案A解析命題①：l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②：直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③：a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確．應(yīng)選A.2．(2022·濱州模擬)m，n，l1，l2表示直線，α，β表示平面．假設(shè)mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，那么α∥β的一個充分條件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2答案D解析由定理“如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個平面平行，那么這兩個平面平行〞可得，由選項D可推知α∥β.應(yīng)選D.3．對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，以下命題中的真命題是()A．假設(shè)m∥α，n∥α，那么m∥nB．假設(shè)m∥α，nα，那么m∥nC．假設(shè)m∥α，n⊥α，那么m∥nD．假設(shè)m⊥α，n⊥α，那么m∥n答案D解析對A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯誤；對B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯誤；對C，m與n垂直而非平行，故C錯誤；對D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確．4．如圖，L，M，N分別為正方體對應(yīng)棱的中點，那么平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合答案C解析如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.5．(2022·全國甲卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有以下四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，mα，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號)答案②③④解析當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.6．設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，nγ，且________，那么m∥n〞中的橫線處填入以下三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ.可以填入的條件有________．答案①或③解析由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當n∥β，mγ時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確．7．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，那么點Q滿足條件________時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案Q為CC1的中點解析假設(shè)Q為CC1的中點．因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連接DB，因為O是底面ABCD的中心，所以D1B∥PO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，且PA∩PO于P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.8．將一個真命題中的“平面〞換成“直線〞、“直線〞換成“平面〞后仍是真命題，那么該命題稱為“可換命題〞．給出以下四個命題：①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行．其中是“可換命題〞的是________．(填命題的序號)答案①③解析由線面垂直的性質(zhì)定理可知①是真命題，且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題，故①是“可換命題〞；因為垂直于同一平面的兩平面可能平行或相交，所以②是假命題，不是“可換命題〞；由公理4可知③是真命題，且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題，故③是“可換命題〞；因為平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故④是假命題，故④不是“可換命題〞．9.如圖，空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4，那么平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，周長的取值范圍是________．答案(8,10)解析設(shè)eq\f(DH,DA)＝eq\f(GH,AC)＝k，∴eq\f(AH,DA)＝eq\f(EH,BD)＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周長＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周長的取值范圍為(8,10)．10.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為________．答案eq\f(45,2)解析如圖，取AC的中點G，連接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，那么SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分別為AB，BC的中點，那么H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF綊eq\f(1,2)AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝(eq\f(1,2)AC)·(eq\f(1,2)SB)＝eq\f(45,2).11.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點．求證：(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明(1)取B1D1的中點O，連接GO，OB，易證四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥EG，由線面平行的判定定理即可證EG∥平面BB1D1D.(2)由題意可知BD∥B1D1.如圖，連接HB、D1F，易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1∥BF.又B1D1∩