2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算試題理北師大版

PAGEPAGE14第五章平面向量5.1平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算試題理北師大版1．向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度為單位1的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量如果表示兩個(gè)向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)向量平行或共線(xiàn)0與任一向量平行相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙葦M大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線(xiàn)性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法那么(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共線(xiàn)的判定定理a是一個(gè)非零向量，假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ.，使得b＝λa，那么向量b與非零向量a共線(xiàn)．【知識(shí)拓展】1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6())＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．2．假設(shè)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，假設(shè)點(diǎn)A，B，C共線(xiàn)，那么λ＋μ＝1.【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)向量與有向線(xiàn)段是一樣的，因此可以用有向線(xiàn)段來(lái)表示向量．(×)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān)．(√)(3)假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.(×)(4)假設(shè)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線(xiàn)向量，那么A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上．(×)(5)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線(xiàn)時(shí)，一定有b＝λa，反之成立．(√)1．給出以下命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；②假設(shè)a，b都是單位向量，那么a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))相等．那么所有正確命題的序號(hào)是()A．① B．③C．①③ D．①②答案A解析根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))互為相反向量，故③錯(cuò)誤．2．(教材改編)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，那么向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))答案A解析如圖，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).3．對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＝－b，∴a∥b；當(dāng)a∥b時(shí)，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0〞是“a∥b〞的充分不必要條件．4．a(chǎn)，b是不共線(xiàn)的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是()A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案D解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1，應(yīng)選D.5．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，那么λ＝________.答案2解析由向量加法的平行四邊形法那么，得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).又O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.題型一平面向量的概念例1給出以下四個(gè)命題：①假設(shè)|a|＝|b|，那么a＝b；②假設(shè)A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③假設(shè)a＝b，b＝c，那么a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是()A．②③ B．①②C．③④ D．②④答案A解析①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|且eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，那么eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.應(yīng)選A.思維升華向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)(1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度．(2)非零共線(xiàn)向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制．(3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等．(4)單位向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度．(5)零向量的關(guān)鍵是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線(xiàn)．設(shè)a0為單位向量，①假設(shè)a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，那么a＝|a|a0；②假設(shè)a與a0平行，那么a＝|a|a0；③假設(shè)a與a0平行且|a|＝1，那么a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；假設(shè)a與a0平行，那么a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.題型二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算命題點(diǎn)1向量的線(xiàn)性運(yùn)算例2(1)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，假設(shè)點(diǎn)D滿(mǎn)足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，那么eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c B.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c(2)(2022·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，那么()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))答案(1)A(2)A解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))，即4eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝3eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).命題點(diǎn)2根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算求參數(shù)例3(1)設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.假設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，那么λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．(2)在△ABC中，點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線(xiàn)段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，假設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么x的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))答案(1)eq\f(1,2)(2)D解析(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，即λ1＋λ2＝eq\f(1,2).(2)設(shè)eq\o(CO,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(BC,\s\up6(→))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋y(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－yeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1＋y)eq\o(AC,\s\up6(→)).∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，點(diǎn)O在線(xiàn)段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴x＝－y，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)).思維升華平面向量線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法那么．(2)求向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法那么；求差用三角形法那么；求首尾相連向量的和用三角形法那么．(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比擬求參數(shù)的值．如圖，一直線(xiàn)EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)K，其中，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，那么λ的值為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(2,7)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)答案A解析∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(5,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AF,\s\up6(→)).由向量加法的平行四邊形法那么可知，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AK,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(AF,\s\up6(→))))＝eq\f(5,2)λeq\o(AE,\s\up6(→))＋2λeq\o(AF,\s\up6(→))，由E，F(xiàn)，K三點(diǎn)共線(xiàn)，可得λ＝eq\f(2,9)，應(yīng)選A.題型三共線(xiàn)定理的應(yīng)用例4設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(xiàn)．(1)假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線(xiàn)．(1)證明∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線(xiàn)．又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)解假設(shè)ka＋b與a＋kb共線(xiàn)，那么存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1.思維升華(1)證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)解決，但應(yīng)注意向量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系．當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)．(2)向量a、b共線(xiàn)是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，假設(shè)λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，那么向量a、b不共線(xiàn)．(1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，那么()A．A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)B．A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)C．A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)D．B，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)(2)如下圖，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，那么△ABC與△AOC的面積之比為_(kāi)_______．答案(1)B(2)2解析(1)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共線(xiàn)，又有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．應(yīng)選B.(2)取AC的中點(diǎn)D，連接OD，那么eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O是AC邊上的中線(xiàn)BD的中點(diǎn)，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC與△AOC面積之比為2.5．容易無(wú)視的零向量典例以下表達(dá)錯(cuò)誤的選項(xiàng)是________．①假設(shè)a∥b，b∥c，那么a∥c.②假設(shè)非零向量a與b方向相同或相反，那么a＋b與a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同．④向量b與向量a共線(xiàn)的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.⑤eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.⑥假設(shè)λa＝λb，那么a＝b.錯(cuò)解展示解析⑤中兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.答案⑤現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解析對(duì)于①，當(dāng)b＝0時(shí)，a不一定與c平行．對(duì)于②，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同．對(duì)于③，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立．對(duì)于④，當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，λ有無(wú)數(shù)個(gè)值；當(dāng)a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時(shí)，λ不存在．對(duì)于⑤，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0.對(duì)于⑥，當(dāng)λ＝0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均錯(cuò)．答案①②③④⑤⑥糾錯(cuò)心得在考慮向量共線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，要注意考慮零向量．1．a(chǎn)，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A．a(chǎn)＋b＝0 B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線(xiàn)反向 D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb答案D解析因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，那么a與b共線(xiàn)同向，故D正確．2．向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線(xiàn)，但a＋b與c共線(xiàn)，且b＋c與a共線(xiàn)，那么向量a＋b＋c等于()A．a(chǎn)B．bC．cD．0答案D解析依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，那么有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線(xiàn)，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，選D.3．eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，那么以下一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是()A．A，B，CB．A，B，DC．B，C，DD．A，C，D答案B解析因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)．4．平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，假設(shè)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，那么點(diǎn)P與△ABC的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上 B．點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上C．點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上 D．點(diǎn)P在△ABC外部答案C解析由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上．5.如下圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，那么m＋n的值為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析∵O為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up6(→))＋neq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線(xiàn)，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.6．設(shè)P為銳角△ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，假設(shè)cos∠BAC＝eq\f(2,5)，那么k等于()A.eq\f(5,14)B.eq\f(2,14)C.eq\f(5,7)D.eq\f(3,7)答案A解析取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，那么PD⊥BC，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝k(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))(k∈R)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝2keq\o(AD,\s\up6(→))，∴A，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴AB＝AC，∴cos∠BAC＝cos∠DPC＝eq\f(DP,PC)＝eq\f(DP,PA)＝eq\f(2,5)，∴AP＝eq\f(5,7)AD，∴2k＝eq\f(5,7)，解得k＝eq\f(5,14)，應(yīng)選A.7．(2022·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，那么實(shí)數(shù)λ＝____________.答案eq\f(1,2)解析∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，那么得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).8.(2022·濱州一模)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，假設(shè)起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿(mǎn)足c＝xa＋yb(x，y∈R)，那么x＋y＝________.答案eq\f(13,5)解析如圖，取單位向量i，j，那么a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5)，))∴x＋y＝eq\f(13,5).9．設(shè)a，b不共線(xiàn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，假設(shè)A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，那么實(shí)數(shù)p的值是________．答案－1解析∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線(xiàn)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∵a，b不共線(xiàn)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.10.設(shè)G為△ABC的重心，且sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，那么角B的大小為_(kāi)_______．答案60°解析∵G是△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，eq\o(GA,\s\up6(→))＝－(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，將其代入sinA·eq\o(GA,\s\up6(→))＋sinB·eq\o(GB,\s\up6(→))＋sinC·eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，得(sinB－sinA)eq\o(GB,\s\up6(→))＋(sinC－sinA)eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.又eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))不共線(xiàn)，∴sinB－sinA＝0，sinC－sinA＝0，那么sinB＝sinA＝sinC．根據(jù)正弦定理知b＝a＝c，∴△ABC是等邊三角形，那么角B＝60°.11.如圖，在△ABC中，D、E分別為BC、AC邊上的中點(diǎn)，G為BE上一點(diǎn)，且GB＝2GE，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).解eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．設(shè)a，b是不共線(xiàn)的兩個(gè)非零向量．(1)假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)；(2)假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三點(diǎn)共線(xiàn)，求k的值．(1)證明由得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6