2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計問題文北師大版

PAGEPAGE112022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)高考專題突破六高考中的概率與統(tǒng)計問題文北師大版1．(2022·安陽質(zhì)檢)一射手對同一目標進行4次射擊，且射擊結(jié)果之間互不影響．至少命中一次的概率為eq\f(80,81)，那么此射手的命中率為()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(8,9)答案C解析設(shè)此射手未命中目標的概率為p，那么1－p4＝eq\f(80,81)，所以p＝eq\f(1,3)，故1－p＝eq\f(2,3).2．在可行域內(nèi)任取一點，其規(guī)那么如算法框圖所示，那么能輸出數(shù)對(x，y)的概率是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,2)答案B解析依題意可行域為正方形，輸出數(shù)對(x，y)形成的圖形為圖中陰影局部，故所求概率為P＝eq\f(\f(1,4)π\(zhòng)b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2,\f(\r(2),2)·\f(\r(2),2))＝eq\f(π,4).3．(2022·西安模擬)紅、藍兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6枚棋子按車、馬、炮順序排成一列，記事件“每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍棋子在后〞為事件A，那么事件A發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,20)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)答案C解析紅、藍兩色車、馬、炮棋子各一枚，將這6枚棋子按車、馬、炮順序排成一列，根本領(lǐng)件總數(shù)n＝2×2×2＝8.每對同字的棋子中，均為紅棋子在前，藍棋子在后為事件A，那么事件A包含的根本領(lǐng)件個數(shù)m＝1，∴事件A發(fā)生的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(1,8).4．(2022·哈爾濱模擬)甲、乙、丙三人站成一排照相，那么甲、乙兩人相鄰而站的概率為________．答案eq\f(2,3)解析甲、乙、丙三人隨機地站成一排有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6種排法，由概率計算公式得，甲、乙兩人相鄰而站的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).5.為了從甲、乙兩名運發(fā)動中選拔一人參加某次運動會跳水工程，對甲、乙兩名運發(fā)動進行培訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的假設(shè)干次預(yù)賽成績中隨機抽取6次，得到莖葉圖如下圖．從平均成績及發(fā)揮穩(wěn)定性的角度考慮，你認為選派________(填甲或乙)運發(fā)動適宜．答案甲解析根據(jù)莖葉圖，可得eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)×(78＋79＋81＋84＋93＋95)＝85，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)×(75＋80＋83＋85＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(84－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝eq\f(133,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝eq\f(139,3).因為eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲運發(fā)動的成績比擬穩(wěn)定，選派甲運發(fā)動參賽比擬適宜.題型一古典概型與幾何概型例1(1)(2022·山東)在[－1,1]上隨機地取一個數(shù)k，那么事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交〞發(fā)生的概率為________．(2)假設(shè)任意x∈A，那么eq\f(1,x)∈A，就稱A是“和諧〞集合，那么在集合M＝{－1,0，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，1,2,3,4}的所有非空子集中，“和諧〞集合的概率是________．答案(1)eq\f(3,4)(2)eq\f(1,17)解析(1)由得，圓心(5,0)到直線y＝kx的距離小于半徑，∴eq\f(|5k|,\r(k2＋1))<3，解得－eq\f(3,4)<k<eq\f(3,4)，由幾何概型得P＝eq\f(\f(3,4)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4))),1－－1)＝eq\f(3,4).(2)由題意，“和諧〞集合中不含0和4，而2和eq\f(1,2)，3和eq\f(1,3)成對出現(xiàn)，1和－1可單獨出現(xiàn)，故“和諧〞集合分別為{1}，{－1}，{－1,1}，{2，eq\f(1,2)}，{3，eq\f(1,3)}，{1,3，eq\f(1,3)}，{1,2，eq\f(1,2)}，{－1,2，eq\f(1,2)}，{－1,3，eq\f(1,3)}，{3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{2，eq\f(1,2)，1，－1}，{3，eq\f(1,3)，1，－1}，{1,3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{－1,3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)}，{3，eq\f(1,3)，2，eq\f(1,2)，1，－1}，共15個，而集合M的非空子集有28－1＝255個，故“和諧〞集合的概率是P＝eq\f(15,255)＝eq\f(1,17).思維升華幾何概型與古典概型的本質(zhì)區(qū)別在于試驗結(jié)果的無限性，幾何概型經(jīng)常涉及的幾何度量有長度、面積、體積等，解決幾何概型的關(guān)鍵是找準幾何測度；古典概型是命題的重點，對于較復(fù)雜的根本領(lǐng)件空間，列舉時要按照一定的規(guī)律進行，做到不重不漏．(1)(2022·江蘇)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次，那么出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是________．(2)(2022·濟南月考)函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，記函數(shù)f(x)滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤12，,f－1≤3))為事件A，那么事件A發(fā)生的概率為()A.eq\f(5,8)B.eq\f(5,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)答案(1)eq\f(5,6)(2)A解析(1)根本領(lǐng)件共有36個．列舉如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中滿足點數(shù)之和小于10的有30個．故所求概率為P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2≤12，,f－1≤3))即為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8，,－b＋c≤2.))作出0≤b≤4,0≤c≤4及eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＋c≤8，,－b＋c≤2))表示的區(qū)域(圖略)，由幾何概型概率公式得所求概率為P＝eq\f(16－6,16)＝eq\f(5,8).題型二概率與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例2經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如下圖．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品．以X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；解(1)當X∈[100,130)時，T＝500X－300(130－X)＝800X－39000.當X∈[130,150]時，T＝500×130＝65000.所以T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(800X－39000，100≤X<130，,65000，130≤X≤150.))(2)由(1)知利潤T不少于57000元當且僅當120≤X≤150.由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7.跟蹤訓(xùn)練2(2022·衡陽模擬)某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(總分值100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下圖的頻率分布直方圖．(1)求圖中實數(shù)a的值；(2)假設(shè)該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；(3)假設(shè)從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率．解(1)由，得10×(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.025＋0.010)＝1，解得a＝0.03.(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可知成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.010)＝0.85.由于該校高一年級共有學(xué)生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)為640×0.85＝544.(3)易知成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05＝2，這2人分別記為A，B；成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1＝4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).假設(shè)從數(shù)學(xué)成績在[40,50)與[90,100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生，那么所有的根本領(lǐng)件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個．如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40,50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90,100]分數(shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值一定大于10.記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10〞為事件M，那么事件M包含的根本領(lǐng)件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個，故所求概率P(M)＝eq\f(7,15).題型三概率與統(tǒng)計案例的綜合應(yīng)用例3(2022·湖北武漢華中師大一附中期末)某高中采取分層抽樣的方法從應(yīng)屆高二學(xué)生中按照性別抽出20名學(xué)生作為樣本，其選報文科、理科的情況如下表所示.性別科目男女文科25理科103(1)假設(shè)在該樣本中從報考文科的男生和報考理科的女生中隨機地選出3人召開座談會，試求3人中既有男生也有女生的概率；(2)用獨立性檢驗的方法分析有多大的把握認為該中學(xué)的高二學(xué)生選報文理科與性別有關(guān)？參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)P(χ2≥k0)0.100.050.010.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828解(1)報考文科的2名男生記為A1，A2，報考文科的3名女生記為B1，B2，B3，從5人中選3人有(A1，A2，B1)，(A1，A2，B2)，(A1，A2，B3)，(A1，B1，B2)，(A1，B1，B3)，(A1，B2，B3)，(A2，B1，B2)，(A2，B1，B3)，(A2，B2，B3)，(B1，B2，B3)，共10種．3人中既有男生也有女生的有9種，∴所求概率為eq\f(9,10).(2)χ2＝eq\f(20×2×3－10×52,12×8×13×7)≈4.432>3.841，可知有95%以上的把握認為該中學(xué)的高二學(xué)生選報文理科與性別有關(guān)．思維升華統(tǒng)計以考查抽樣方法、樣本的頻率分布、樣本特征數(shù)的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實際問題相結(jié)合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計算對應(yīng)起來，只有這樣才能有效地解決問題．為了解大學(xué)生觀看某衛(wèi)視某綜藝節(jié)目是否與性別有關(guān)，一所大學(xué)心理學(xué)教師從該校學(xué)生中隨機抽取了50人進行問卷調(diào)查，得到了如下的列聯(lián)表：喜歡看“某綜藝節(jié)目〞不喜歡看“某綜藝節(jié)目〞合計女生5男生10合計50假設(shè)該教師采用分層抽樣的方法從50份問卷調(diào)查中繼續(xù)抽查了10份進行重點分析，知道其中喜歡看“某綜藝節(jié)目〞的有6人．(1)請將上面的列聯(lián)表補充完整；(2)是否有99.5%的把握認為喜歡看“某綜藝節(jié)目〞與性別有關(guān)？說明你的理由；(3)喜歡看“某綜藝節(jié)目〞的10位男生中，A1，A2，A3，A4，A5還喜歡看新聞，B1，B2，B3還喜歡看動畫片，C1，C2還喜歡看韓劇，現(xiàn)在從喜歡看新聞、動畫片和韓劇的男生中各選出1名進行其他方面的調(diào)查，求B1和C1不全被選中的概率．下面的臨界值表供參考：P(χ2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)解(1)由分層抽樣知識知，喜歡看“某綜藝節(jié)目〞的同學(xué)有50×eq\f(6,10)＝30(人)，故不喜歡看“某綜藝節(jié)目〞的同學(xué)有50－30＝20(人)，于是可將列聯(lián)表補充如下：喜歡看“某綜藝節(jié)目〞不喜歡看“某綜藝節(jié)目〞合計女生20525男生101525合計302050(2)∵χ2＝eq\f(50×20×15－10×52,30×20×25×25)≈8.333>7.879.∴有99.5%的把握認為喜歡看“某綜藝節(jié)目〞與性別有關(guān)．(3)從喜歡看“某綜藝節(jié)目〞的10位男生中選出喜歡看韓劇、喜歡看新聞、喜歡看動畫片的各1名，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件共有N＝5×3×2＝30(個)，用M表示“B1，C1不全被選中〞這一事件，那么其對立事件eq\x\to(M)表示“B1，C1全被選中〞這一事件，由于eq\x\to(M)由(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，(A4，B1，C1)，(A5，B1，C1)5個根本領(lǐng)件組成，所以P(eq\x\to(M))＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6).由對立事件的概率公式得P(M)＝1－P(eq\x\to(M))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).1．甲、乙兩人進行兩種游戲，兩種游戲規(guī)那么如下：游戲Ⅰ：口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1,2,3,4,5，甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否那么算乙贏．游戲Ⅱ：口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的6個球，其中4個白球、2個紅球，由裁判有放回地摸兩次球，即第一次摸出記下顏色后放回再摸第二次，摸出兩球同色算甲贏，摸出兩球不同色算乙贏．(1)求游戲Ⅰ中甲贏的概率；(2)求游戲Ⅱ中乙贏的概率，并比擬這兩種游戲哪種游戲更公平，試說明理由．解(1)∵游戲Ⅰ中有放回地依次摸出兩球的根本領(lǐng)件有5×5＝25(個)，其中甲贏有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，(2,2)，(2,4)，(4,4)，(4,2)，共13個根本領(lǐng)件，∴游戲Ⅰ中甲贏的概率為P＝eq\f(13,25).(2)設(shè)4個白球為a，b，c，d,2個紅球為A，B，那么游戲Ⅱ中有放回地依次摸出兩球，根本領(lǐng)件有6×6＝36(個)，其中乙贏有(a，A)，(b，A)，(c，A)，(d，A)，(a，B)，(b，B)，(c，B)，(d，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(A，d)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(B，d)，共16個根本領(lǐng)件，∴游戲Ⅱ中乙贏的概率為P′＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).∵|eq\f(13,25)－eq\f(1,2)|<|eq\f(4,9)－eq\f(1,2)|，∴游戲Ⅰ更公平．2．在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10項和S10＝55.(1)求an和bn；(2)現(xiàn)分別從{an}和{bn}的前3項中各隨機抽取一項，寫出相應(yīng)的根本領(lǐng)件，并求這兩項的值相等的概率．解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得S10＝10＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分別從{an}和{bn}的前3項中各隨機抽取一項，得到的根本領(lǐng)件有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，共9個．符合題意的根本領(lǐng)件有(1,1)，(2,2)，共2個．故所求的概率P＝eq\f(2,9).3．某班甲、乙兩名同學(xué)參加100米達標訓(xùn)練，在相同條件下兩人10次訓(xùn)練的成績(單位：秒)如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011.513.114.511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5(1)請畫出莖葉圖．如果從甲、乙兩名同學(xué)中選一名參加學(xué)校的100米比賽，從成績的穩(wěn)定性方面考慮，選派誰參加比賽更好，并說明理由(不用計算，可通過統(tǒng)計圖直接答復(fù)結(jié)論)；(2)經(jīng)過對甲、乙兩位同學(xué)的假設(shè)干次成績的統(tǒng)計，甲、乙的成績都均勻分布在[11.5,14.5]之間，現(xiàn)甲、乙比賽一次，求甲、乙成績之差的絕對值小于0.8秒的概率．解(1)甲、乙兩人10次訓(xùn)練的成績的莖葉圖如圖：從統(tǒng)計圖中可以看出，乙的成績較為集中，差異程度較小，乙成績的穩(wěn)定性更好，所以選派乙同學(xué)代表班級參加比賽更好．(2)設(shè)甲同學(xué)的成績?yōu)閤，乙同學(xué)的成績?yōu)閥，那么|x－y|<0.8，得x－0.8<y<0.8＋x，如圖，陰影局部面積即為3×3－2.2×2.2＝4.16，那么P(|x－y|<0.8)＝P(x－0.8<y<0.8＋x)＝eq\f(4.16,3×3)＝eq\f(104,225).4.(2022·貴陽模擬)一次考試中，五名學(xué)生的數(shù)學(xué)、物理成績?nèi)缦卤硭荆簩W(xué)生A1A2A3A4A5數(shù)學(xué)成績x(分)8991939597物理成績y(分)8789899293(1)要從5名學(xué)生中選2人參加一項活動，求選中的學(xué)生中至少有一人的物理成績高于90分的概率；(2)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)和散點圖(在所給坐標系中畫出)說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強弱．如果具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請說明理由．參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s