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PAGEPAGE1課時分層訓(xùn)練(五十四)模擬方法——概率的應(yīng)用A組根底達標(biāo)(建議用時:30分鐘)一、選擇題1.在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,那么X≤1的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)B[在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù)X,那么X≤1,即-2≤X≤1的概率為P=eq\f(3,5).]2.如圖10-3-4所示,半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域,在圓中隨機扔一粒豆子,它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是eq\f(1,3),那么陰影局部的面積是()圖10-3-4【導(dǎo)學(xué)號:66482467】A.eq\f(π,3) B.πC.2π D.3πD[設(shè)陰影局部的面積為S,且圓的面積S′=π·32=9π.由幾何概型的概率得eq\f(S,S′)=eq\f(1,3),那么S=3π.]3.假設(shè)將一個質(zhì)點隨機投入如圖10-3-5所示的長方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,那么質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()圖10-3-5A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)B[設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A,那么P(A)=eq\f(陰影面積,長方形面積)=eq\f(\f(1,2)π·12,1×2)=eq\f(π,4).]4.(2022·山東高考)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,那么事件“-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1”發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)A[不等式-1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2),即eq\f(1,2)≤x+eq\f(1,2)≤2,解得0≤x≤eq\f(3,2),故由幾何概型的概率公式得P=eq\f(\f(3,2)-0,2-0)=eq\f(3,4).]5.正三棱錐S-ABC的底面邊長為4,高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點P,使得VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)A[當(dāng)點P到底面ABC的距離小于eq\f(3,2)時,VP-ABC<eq\f(1,2)VS-ABC.由幾何概型知,所求概率為P=1-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3=eq\f(7,8).]6.(2022·西安模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z=(x-1)+yi(x,y∈R),假設(shè)|z|≤1,那么y≥x的概率為()【導(dǎo)學(xué)號:66482468】A.eq\f(3,4)+eq\f(1,2)π B.eq\f(1,2)+eq\f(1,π)C.eq\f(1,2)-eq\f(1,π) D.eq\f(1,4)-eq\f(1,2π)D[|z|=eq\r(x-12+y2)≤1,即(x-1)2+y2≤1,表示的是圓及其內(nèi)部,如下圖.當(dāng)|z|≤1時,y≥x表示的是圖中陰影局部.∵S圓=π×12=π,S陰影=eq\f(π,4)-eq\f(1,2)×12=eq\f(π-2,4).故所求事件的概率P=eq\f(S陰影,S圓)=eq\f(\f(π-2,4),π)=eq\f(1,4)-eq\f(1,2π).]二、填空題7.(2022·鄭州模擬)在區(qū)間[-2,4]上隨機地取一個數(shù)x,假設(shè)x滿足|x|≤m的概率為eq\f(5,6),那么m=________.3[由|x|≤m,得-m≤x≤m.當(dāng)m≤2時,由題意得eq\f(2m,6)=eq\f(5,6),解得m=2.5,矛盾,舍去.當(dāng)2<m<4時,由題意得eq\f(m--2,6)=eq\f(5,6),解得m=3.]8.(2022·重慶高考)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p,那么方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根的概率為________.eq\f(2,3)[∵方程x2+2px+3p-2=0有兩個負根,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ=4p2-43p-2≥0,,x1+x2=-2p<0,,x1x2=3p-2>0,))解得eq\f(2,3)<p≤1或p≥2.故所求概率P=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(2,3)))+5-2,5)=eq\f(2,3).]9.小波通過做游戲的方式來確定周末活動,他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點,假設(shè)此點到圓心的距離大于eq\f(1,2),那么周末去看電影;假設(shè)此點到圓心的距離小于eq\f(1,4),那么去打籃球;否那么,在家看書.那么小波周末不在家看書的概率為________.eq\f(13,16)[∵去看電影的概率P1=eq\f(π·12-π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π·12)=eq\f(3,4),去打籃球的概率P2=eq\f(π·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2,π·12)=eq\f(1,16),∴不在家看書的概率為P=eq\f(3,4)+eq\f(1,16)=eq\f(13,16).]10.一個長方體空屋子,長,寬,高分別為5米,4米,3米,地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計),可捕捉距其一米空間內(nèi)的蒼蠅,假設(shè)一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入,并在房間內(nèi)盤旋,那么蒼蠅被捕捉的概率是________.eq\f(π,120)[屋子的體積為5×4×3=60米3,捕蠅器能捕捉到的空間體積為eq\f(1,8)×eq\f(4,3)π×13×3=eq\f(π,2)米3,故蒼蠅被捕捉的概率是eq\f(\f(π,2),60)=eq\f(π,120).]B組能力提升(建議用時:15分鐘)1.(2022·湖北高考)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x+y≤eq\f(1,2)〞的概率,p2為事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率,那么()A.p1<p2<eq\f(1,2) B.p2<eq\f(1,2)<p1C.eq\f(1,2)<p2<p1 D.p1<eq\f(1,2)<p2D[如圖,滿足條件的x,y構(gòu)成的點(x,y)在正方形OBCA內(nèi),其面積為1.事件“x+y≤eq\f(1,2)〞對應(yīng)的圖形為陰影△ODE(如圖①),其面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)=eq\f(1,8),故p1=eq\f(1,8)<eq\f(1,2),事件“xy≤eq\f(1,2)〞對應(yīng)的圖形為斜線表示局部(如圖②),其面積顯然大于eq\f(1,2),故p2>eq\f(1,2),那么p1<eq\f(1,2)<p2,應(yīng)選D.]2.(2022·陜西質(zhì)檢(二))在長方形ABCD中,AB=2,BC=1,O為AB的中點,在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點,那么取到的點到O點的距離大于1的概率為()A.eq\f(π,4) B.1-eq\f(π,8)C.eq\f(π,8) D.1-eq\f(π,4)D[由題意得長方形ABCD的面積為1×2=2,其中滿足到點O的距離小于等于1的點在以AB為直徑的半圓內(nèi),其面積為eq\f(1,2)×π×12=eq\f(π,2),那么所求概率為1-eq\f(\f(π,2),2)=1-eq\f(π,4),應(yīng)選D.]3.隨機地向半圓0<y<eq\r(2ax-x2)(a為正數(shù))內(nèi)擲一點,點落在圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,那么原點與該點的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4)的概率為________.eq\f(1,2)+eq\f(1,π)[由0<y<eq\r(2ax-x2)(a>0),得(x-a)2+y2<a2,因此半圓區(qū)域如下圖.設(shè)A表示事件“原點與該點的連線與x軸的夾角小于eq\f(π,4),由幾何概型的概率計算公式得P(A)=eq\f(A的面積,半圓的面積)=eq\f(\f(1,4)πa2+\f(1,2)a2,\f(1,2)πa2)=eq\f(1,2)+eq\f(1,π).]4.關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.假設(shè)a是從區(qū)間[0,3]任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數(shù),那么方程有實根的概率為
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