江蘇省泰興、如皋四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷

江蘇省泰興、如皋四校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試卷

閱卷人

、單選題（共8題；共16分）

得分

1.（2分）二項(xiàng)式（4+2）底的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）

A.第7項(xiàng)B.第8項(xiàng)C.第9項(xiàng)D.第1()項(xiàng)

【答案】C

【解析】【解答】二項(xiàng)式Q+急駕的展開式通項(xiàng)為77+1=式2-X12T?弓）'=/-2r.x124.

412-1r=0.解得r=8.

因此，二項(xiàng)式（％+稱的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第9項(xiàng).

故答案為：C.

【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的幕指數(shù)等于0,求出r的值，可得答案.

2.（2分）在四面體OABC中，OA=a，OB=b＞瓦=B點(diǎn)”在04上，且OM=2M4N是8C的中

點(diǎn)，則而=（）

A.1a-|h+|cB'|?+|^-|c

n2f

C.^a+^b—^cD--3a+2b+2C

【答案】D

【解析】【解答】由已知而=赤+麗=赤+；配=赤+/（沆一而）=：石+

所以，MN—ON—OM—(fe+c)—，五=—++

故答案為：D.

【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算可得而V=+再利用加=力_晶可求得結(jié)果.

3.（2分）設(shè)4n,%分別為等比數(shù)列｛*,｛.｝的前71項(xiàng)和.若含=耙（匹b為常數(shù)），則符=

（）

【答案】C

【解析】【解答】由題意，供=3

Bn3+b

設(shè)4n=(2"+a)m,Bn=(3"+b)zn

76

則。7=A7—A6=[(2+d)—(2+d)]m=64m

-B3=[(34+b)—(33+b)]m—54m

a7_64m_32

"b4~54m—27

故答案為：c

n

【分析】設(shè)4=(2“+a)m,Bn=(3+b')m,則a7=87-人6=64m,h4=B4-B3=54m,求解

即可.

4.(2分)《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒

種這十二節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列的結(jié)論.已知某地立春與立夏兩個(gè)節(jié)氣的日影長分別為10.5尺

和4.5尺，現(xiàn)在從該地日影長小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長情況統(tǒng)計(jì)，則所選取這

2個(gè)節(jié)氣中至少有1個(gè)節(jié)氣的日影長小于5尺的概率為()

A34「135

A-7BR，7C，21nD，7

【答案】D

【解析】【解答】設(shè)這十二節(jié)氣中第71(71CN*)個(gè)節(jié)氣的日影長為斯尺，

可知數(shù)列｛a“｝為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

由題后得=10.5,a1。=4.5,6d=—CL^=—6,?1-d=-1.,

an=(14+(n-4)d=10.5—(n—4)=14.5—n.

令即=14.5-n<9,解得n>5.5；令即=14.5-n<5,解得n>9.5.

從該地日影長小于9尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取2個(gè)節(jié)氣，所有的基本事件有：(。6,。7)、(。6,。8)、?6,

。9)、(。6，。10)、(。6，all)'(。6，a12)'(。7，。8)'(。7，。9)、(a7>a10)'(a7>all)'(。7，。12)、

(a8,a9)'(a8>a10)'(a8'all)'(a8'a12)'(a9'a10)'99，all)'(a9'a12)'(a10'all)'

(a10,a12)'(all1a12),共21個(gè)，

其中，事件”所選取這2個(gè)節(jié)氣中至少有1個(gè)節(jié)氣的日影長小于5尺”所包含的基本事件有：(。6,

。10）、（06，。11）、（%'@12）、（07，。10）、（口7，@11）、（口7，。12）、（a8f。10）、（a8f。11）、（a89

。12）、（。9，。10）、（a9f。11）、（a9r@12）、（口10，Qll）、（a10f%2）、（allfa12）f共15個(gè)，

因此，所求事件的概率為II=搟.

故答案為：D.

【分析】設(shè)這十二節(jié)氣中第n（nCN*）個(gè)節(jié)氣的日影長為與尺，可知數(shù)列｛a“｝為等差數(shù)列，根據(jù)題意

求得該數(shù)列的公差，確定數(shù)列｛0J中小于9尺和小于5尺的項(xiàng)，列舉出所有的基本事件，利用古典

概型的概率公式可求得所求事件的概率.

5.（2分）“萊洛三角形”是以正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長為半徑畫圓弧得到的.“萊

洛三角形”在實(shí)際生活中有非常重要的用途，“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”的核心零部件為“曲側(cè)面三棱柱”，而該“曲

側(cè)面三棱柱”的底面就是“萊洛三角形”.如圖是一個(gè)底面為萊洛三角形的曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直

于底面，高為5,且底面任意兩頂點(diǎn)之間的距離為4,則其表面積為（）

A.32兀-168B.367r-168C.42兀-16百D.48兀-16百

【答案】B

【解析】【解答】由題意形=界4=箏

則三個(gè)側(cè)面的面積之和為3x等x5=20兀

如圖陰影部分的面積為S短形一SgBC=4x竽'4-46=等一4百

所以底面積為（粵-4V3）x3+4V3=8兀一8V3

所以上下兩個(gè)底面面積之和為167-16V3

故表面積為167r-16V3+207r=367r-16V3

故答案為：B

【分析】先求出底面的每一段圓弧的長，從而可求出側(cè)面積，再求出底面面積，從而得出答案.

6.（2分）（1）將k個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1,2...,卜+1的卜+1個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球

個(gè)數(shù)沒有限制），記1號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)為。；（2）將k+1個(gè)小球隨機(jī)地投入編號(hào)為1,2…，k+

2的2+2個(gè)盒子中（每個(gè)盒子容納的小球個(gè)數(shù)沒有限制），記k+2號(hào)盒子中小球的個(gè)數(shù)為％，則

（）

A.E(&)<E(f2)D&)<0?2)

B.E(&)<E<2)>D0)

C.%)>%)D8)<D⑤)

D.E(fi)>E(3)。61)>D&)

【答案】A

【解析】【解答】問題轉(zhuǎn)化為將一個(gè)小球投入到k+1個(gè)盒子中，投k次，投入1號(hào)盒子中小球的次數(shù)

為故。?B(k,AJ)

1k11k2

同理可得：0?B（k+1，與）

乙rtIZ

1k+111(/c+1)

=+=m,姐=(k+l)W。-

k/c+1

k2/c+17

V0<FFI<FP2,-w<(F+2)2

即E(f])<E&)，D&)〈D0)

故答案為：A

【分析】問題轉(zhuǎn)化為將一個(gè)小球投入到k+1個(gè)盒子中，投k次，投入1號(hào)盒子中小球的次數(shù)為。，

符合二項(xiàng)分布，可用二項(xiàng)分布相關(guān)公式求解.

7.（2分）已知球O的半徑為2,A,B,C為球面上的三個(gè)點(diǎn)，力8=2,點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)，若OP

與平面ABC所成角的最大值為生則0到平面ABC的距離為()

R「

A.23t5.V—3j—J21

【答案】A

【解析】【解答】記AABC外接圓圓心為O',貝lj。。'，平面ABC,

故ZOP。，為OP與平面ABC所成的角，

如圖，當(dāng)P移動(dòng)到AB中點(diǎn)K時(shí)，OP的長度最小,

對應(yīng)正切值最大，OP與平面ABC所成的角最大，

則NOK。'為OP與平面ABC所成的最大角，

根據(jù)題意：sin/OK。，=苧，

設(shè)。‘K=t，貝I。。'=V3t-OK=2t,

在RtaAOO,與RtzMO'K中，有。4=O'O2+O'A2=O'O2+O'K2+AK2,

即22=(?)?+/+i，求得：…亨，

故O到平面ABC的距離為0。，=Kt=|

故答案為：A.

【分析】作出輔助線，找到NOPO'為OP與平面ABC所成的角，且P移動(dòng)到AB中點(diǎn)K時(shí)，0P的長

度最小，N0K。，為OP與平面ABC所成的最大角，設(shè)出邊長，列出方程，求出O到平面ABC的距離

8.(2分)已知直線y=kx々＞0)既是函數(shù)/(x)=%2+l的圖象的切線，同時(shí)也是函數(shù)g(%)=

緇+lnx(pCR)的圖象的切線，則函數(shù)g(x)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.0或1D.1或2

【答案】B

【解析】【解答】設(shè)4(/,*+1)是函數(shù)/(%)=/+1圖象的切點(diǎn)，

則吊=/(尤1)=2/，.?.天=2(1)

又蜉+1=kx1(2),

將(1)代入(2)消去與整理得：k2=4,：.k=2,

設(shè)B(%2，彘等+In久2)是函數(shù)g(x)=彩"+Inx的切點(diǎn)，

，丁人2XiJ.

據(jù)題意g'3)=G餐+*=2,又居+岫=2*2

故2以—x2+lnx2—1=0,

令九(x)=2x2—x+Inx—1,(x>0),

h(x)=4%—1+>2]4x—1=3>0>

故h(x)=2x2-x+lnx-1,(x>0)在定義域上為增函數(shù)，

又九(1)=0,故無2=1'

故g'(i)=1+號(hào)=2,

'.p=4,g(x)=+Inx=Inx-[y+4在(0,+8)上是增函數(shù)

當(dāng)％=—時(shí)，g0)<0；當(dāng)x=l時(shí)，g⑴=2>0；

由零點(diǎn)存在性定理可得，g(x)存在唯一一個(gè)與6(宏，1)

函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1,

故答案為：B.

【分析】設(shè)AQi，/+1)是函數(shù)/(%)=/+1圖象的切點(diǎn)，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得k=2,設(shè)

B(%2，器+ln%2)是函數(shù)g(x)=彩+lnx的切點(diǎn)，同樣利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出p=4,然后

,T人2Xi1

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可求出答案。

閱卷人

二、多選題(共4題；共8分)

得分

9.(2分)下列說法中，正確的有()

A.數(shù)據(jù)6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的70%分位數(shù)是7

B.若事件A,B滿足0<P(4),P(F)<=P(A)?[1-P(B)],貝必與8獨(dú)立

C.若隨機(jī)變量X?B(6,1),則。⑶奇

D.已知6個(gè)正整數(shù)，它們的平均數(shù)是5,中位數(shù)是4,唯一的眾數(shù)是3,則這6個(gè)數(shù)的極差最大

時(shí)，方差的值是當(dāng)

【答案】B,D

【解析】【解答】對于A,數(shù)據(jù)1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的70%分位數(shù)為學(xué)=7.5,所以A

不符合題意，

對于B,若事件A,B滿足0<P(4),2(8)<1且「(2月)=「(4)?口一「(8)],則4與否相互獨(dú)立，所

以2與B獨(dú)立，所以B符合題意，

對于C,因?yàn)殡S機(jī)變量X?B(6,所以。(X)=6x/x(1所以C不符合題意，

對于D,因?yàn)?個(gè)正整數(shù)極差最大，所以最小的數(shù)為I,因?yàn)槲ㄒ坏谋姅?shù)為3,所以3只能出現(xiàn)2

次，若超過2次，則中位數(shù)為3,與中位數(shù)是4相矛盾，所以前4個(gè)數(shù)為1,3,3,5,設(shè)另兩個(gè)數(shù)

為b,c(5<b<c)，因?yàn)槠骄鶖?shù)為5,所以b+c=18,而要使極差c—l最大，當(dāng)且僅當(dāng)c最大，此

時(shí)。=6,c=12,所以這6個(gè)數(shù)為1,3,3,5,6,12,所以這6個(gè)數(shù)的方差為焉[(1一+2x

(3-5)2+(5-5)2+(6-5)24-(12-5)2]=等所以D符合題意,

故答案為：BD

【分析】對于A,由百分位數(shù)的定義求解判斷，對于B,由獨(dú)立事件的根絕率公式判斷，對于C,由

二項(xiàng)分布的方差公式求解判斷，對于D,根據(jù)題意可求出這6個(gè)數(shù)，然后再求其方差即可.

10.(2分)已知等差數(shù)列｛。工的公差不為0,即=1且。2,?4>成等比數(shù)列，則()

C.黯普DV

【答案】A,B,D

【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列｛&J的公差為d(d^O).

因?yàn)榈?1且a2,a4,ci8成等比數(shù)列，所以(l+3d)2=(l+d)(l+7d>

解得：d=1,所以即=%+(n一l)d=14-(n—1)x1=n.

對于A：貧=貂=2人符合題意；

對于B：因畸企4.=上〉0,所喝喧.B符合題意；

對于C：*=也揣乎=竽?；汣不符合題意；

對于D：因?yàn)镾n—斯=嗎5一71=嗎大，所以當(dāng)時(shí)，Sn—an=嗎220,即配2

即.D符合題意.

故答案為：ABD

【分析】先求出通項(xiàng)公式斯=n,再利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式對四個(gè)選項(xiàng)一一計(jì)算，進(jìn)行判斷.

11.(2分)18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),那么當(dāng)n

比較大時(shí)，可視為X服從正態(tài)分布N(〃，a2),其密度函數(shù)。(出=1清￥，%?(-8,+

?八)一42na

8).任意正態(tài)分布X?N(〃，。2),可通過變換Z=號(hào)3轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(〃=0且。=1).當(dāng)

Z?N(0,1)時(shí)，對任意實(shí)數(shù)x,記t(x)=P(ZV%),則()

A.t(—x)=1—t(x)

B.當(dāng)％>0時(shí)，P(|Z|V%)=1—2tQ)

c.隨機(jī)變量X?N(〃，a2),當(dāng)〃減小，。增大時(shí)，概率P(|X-〃|<a)保持不變

D.隨機(jī)變量X?N(〃，a2),當(dāng)〃，c都增大時(shí)，概率P(|X—/<。)單調(diào)增大

【答案】A,C

【解析】【解答】對于A,根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：t(—x)=P(Z<-x)=P(Z>x)=1-

P(Z<x)=1—t(x),A符合題意；

對于B,當(dāng)％>0時(shí)，P(|Z|<x)=P(-x<Z<x)=1-P(Z<-x)-P(Z>x)=1-2P(Z>x)

=1-2[1-P(Z<x)]=2P(Z<%)-1=2t(x)-1,B不符合題意；

對于C,D,根據(jù)正態(tài)分布的3。準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中。代表標(biāo)準(zhǔn)差，〃代表均值，

%=〃即為圖象的對稱軸，根據(jù)3。原則可知X數(shù)值分布在(〃-o,〃+(r)中的概率為0.6826,是常

數(shù)，

故由P(|X-〃|<c)=P(〃一<T<X<〃+c)可知，C符合題意，D不符合題意,

故答案為：AC

【分析】根據(jù)=P(Z<-x)=P(Z2x)=1-P(Z<x)=1-t(x),可判斷A；

由P(|Z|<x)=P(-x<Z<%)=1-2P(Z>x)=2t(x)-1,判斷B；

根據(jù)正態(tài)分布的3。準(zhǔn)則可判斷C,D.

12.(2分)甲罐中有2個(gè)紅球、2個(gè)黑球，乙罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球

放入乙罐，以A表示事件”由甲罐取出的球是紅球“，再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以B表示事件“由乙

罐取出的球是紅球“，則()

1174

A.P(A)=方B.P(B\A)=^C.P(B)=6D.P(A|B)=?

【答案】A,C,D

【解析】【解答】因?yàn)榧坠拗杏?個(gè)紅球、2個(gè)黑球，所以PG4)=[=a，A符合題意；

因?yàn)镻⑻=|x[+,x號(hào)=否所以C符合題意；

因?yàn)镻Q4B)另x?=J，P(B)="所以P(A|B)=q^=2,D符合題意；

1

32

-_-

因?yàn)镻(B|4)P7一3所以B不符合題意;

2-

故答案為：ACD

【分析】根據(jù)古典概型求概率公式得到P(A)=會(huì)由全概率公式計(jì)算P(B)=g，由條件概率計(jì)算

BD選項(xiàng)中的概率.

閱卷人

-----------------M、填空題(共4題；共4分)

得分

13.(1分)若函數(shù)f(x)=Inx-+ni在(1,/⑴)處的切線過點(diǎn)(0,2)，則實(shí)數(shù)m=.

【答案】6

【解析】【解答】由題意，函數(shù)/Q)=lnx—4+加，可得/(吟=又+飛，

仃x2

可得/(1)=2，且/(l)=m-2,所以笠鋁=2,解得rn=6.

故答案為：6.

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)/㈤=11^—9+m的導(dǎo)函數(shù)/'(%)=：+',將x=l代入求得/'(1)=

2,/(l)=m-2,再根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式即可求得m.

14.(1分)若(X+=劭+%％+a?/+…+42022%2022,則劭+。2+。4…+。2022被4除得的

余數(shù)為.

【答案】1

【解析】【解答】由題知，X=—1時(shí)，CZ]—。2+。3-'+…+02022=1(1)>

X=1時(shí)，即+。2+。3+…+a2022=3之°22②，由①+②得，

。0+。2+。4+--1-a2022=^(32022+1)>

故上(a0+。2++--+-02022)=§(32022+1)=g(91011+1)

11

1011

=g[(8+I)】。】】+1]=2(^0118+盤0118101°+...+Cioio81+cioii+1)

11

=g(CPou81011+/118】。】。+???+C舐?8】)+4

所以被4除得的余數(shù)是1.

故答案為：1.

【分析】分別?。?-1,%=1兩式相加可以求得劭+。2+。4+-+。2022=4(32°22+1),進(jìn)而根

據(jù)二項(xiàng)式定理展開，判斷被4除得的余數(shù).

15.(1分)3名女生和4名男生隨機(jī)站成一排，則每名女生旁邊都有男生的概率為.

【答案】||

【解析】【解答】解：依題意基本事件總數(shù)為四,

若女生都不相鄰，首先將4個(gè)男生全排列，再將3個(gè)女生插入所形成的5個(gè)空中的3個(gè)空，則有

小混種排法,

若有兩個(gè)女生相鄰，首先從3個(gè)女生中選出2個(gè)作為一個(gè)整體4將4個(gè)男生全排列，

再將整體4插入中間3個(gè)空中的1個(gè)，再將另一個(gè)女生插入4個(gè)空中的1個(gè)空，則有點(diǎn)星所用川種

排法，

故每名女生旁邊都有男生的概率P=但浮翅=||

故答案為：||

【分析】由排列數(shù)確定基本事件總數(shù)，再由（1）女生都不相鄰；（2）有兩個(gè)女生相鄰；確定要求事

件包含的基本事件個(gè)數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式即可求解。

16.（1分）如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-4BCD,過點(diǎn)4作一個(gè)平面分別交P8,PC,PC于點(diǎn)

E,F,G,若器=|，囂=｝則舒的值為

【解析】【解答】在正四棱錐尸-ABC。中，連接AC,B。交于。點(diǎn)，連接P0,則P01平面4BCD,

AC1BD

以AC、BD交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(0,0,b),A(a,0,0)，8(0,a,0),￡)(0,-a,0)，C(-a,0,0)(a、b>0),則麗=

(0,Q,—b),PC=(—a,0,—b),PD=(0,—Q,—b),PA=(a,0,—b),

.?.朋=|而=(0,醇一第PF=1PC=(-p0,

由題意A,E,F,G四點(diǎn)共面，則有而=%而+y而+z而，其中x+y+z=l,

設(shè)同=2而=(0,-aX,-M),Ae(0,1),

/.(a,0,-h)=x(0,等T）+y（T，0,-1)+z(0,-aA,一池)=(一詈，嬰

_3bx_by

aXz,-bXz)

52

a

一飛y一-anry=—2

3ax]八3Y

—g--aAz=0-Az=0&

由方程組《，即《5,解得”3,

3bxby,i7善+也=1

——g----■一bAz=-b

%+y+z=1<x+y+z=1

所以舒=4

故答案為：C.

【分析】以AC、BD交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA、OB、OP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐

標(biāo)系，設(shè)P(0,0,b),A(a,0,0),5(0,a,0),0(0,-a,0),C(-a,0,0)(a、b>0),則

PB=(0,a,-b),PC=(-a,0,-b),PD=(0,-a,-b)，PA=(a,0,一b)，可得而=

|麗=(0,手，一等),==0,-1）.由4,E,F,G四點(diǎn)共面有，設(shè)且？=工匠+

yPF+zPG，PG=XPD=(0,-aA,一抽)，求％值即可得答案.

閱卷入

四、解答題（共6題；共65分）

得分

17.(10分)

17

(1)(5分)甯一］。學(xué)求C皆+7+1+晤+2+猾+3+Cg4的值（用數(shù)字作答）;

QX_QLX

（2）（5分）已知x+r―11n；1試求X，n的值.

f~<X-T1—_-13-Lf->X—.1,

4=可得m!(5-m)!m!(6-m)!_7xm!x(7-m)!

【答案】⑴解:甯10c夕J倚-5!6!——10x7!’

nrjm!(5—m)!m!x(6—m)x(5—m)!__7xm!x(7-m)(6—m)(5—m)!

75!6x5!=10x7x6x5!'

6—m_(7—m)(6—m)

可得1—,整理可得租2—23m+42=0,解得m=2或血=21,

610x6

因?yàn)?WmW5,所以m=2,

所以+Cy+CQ+C9+C$o=CQ+CQ+C9+C?。=C9+C9+C|Q=C*；o+C?o

門6八s11x10x9x8x7“c

=*=皓=04X3X2X1=462-

（2）解：由喘=。產(chǎn)可得％=2%（舍去）或%+2%=n,所以？1=3%,

H+1

所以c31______n!_______M______n!______

n=，即G+DUn-.-]）!=（專-1）!.（71_畀1）「

化簡得11?6+1）[=3?（冬+1）專，SPll（n+3）=6（2n+3）,解得幾=15,所以X=5.

【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

18.（10分）已知｛時(shí)｝為等差數(shù)列，｛瓦｝為等比數(shù)列，的=比=1，&5=5（。4一43），b5=4（b4-

b3）.

（1）（5分）求｛an｝和｛生｝的通項(xiàng)公式;

（3an-2）bw>為奇數(shù)

（2）（5分）對任意的正整數(shù)n,。叫+2

步」，n為偶數(shù)

°n+l

①求Cl+c3+C5+…+C2n-1

②求C2+C4+C6+…+C2n

【答案】（1）解:設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為數(shù)等比數(shù)列｛既｝的公比為q.

由劭=1,。5=5（。4一。3），即由+4d=5d,可得d=1.

從而｛an｝的通項(xiàng)公式為斯=n.

=

由bi=1,654（%—%），即^3q2=4（b3Q一匕3）

又回H0,可得q?—4q+4=0,解得q=2,

71

從而｛?。耐?xiàng)公式為6n=2T.

_（30九一2）力九_(tái)（3（-2）271T_2計(jì)12幾-1

（2）解：①.當(dāng)九為奇數(shù)時(shí),----,

Q幾%+2n（n+2）—n+2n

272n

所以Ci+C3+C5+…+c2n-l=4+4

4-+…+（二2/c+l2/c-l”磊T

②.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，cn=件」=*

un+l乙

n

2k-l1,352n-32n-l（..

22=1C2k=X4卜=4+不+廣+產(chǎn)T+T-（I）

112q2n-32n-1

由（1）得4a=1C2k=系+不+/+..?+▽+產(chǎn)T（2）

由m7曰3（〃_1,2工工22n-l_總-切12n-l

由（1）,（2）倚￡遙2k=4+於+…+?一尸-一4一產(chǎn)'

22112n-l156n+5

=-X-X=-

33^~4-?^4123x4n+l

從而得：￡k1。2卜=|一森?

【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛a4｝的公差為d,等比數(shù)列｛%｝的公比為q.分別由等差等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式求出公差和公比，即可得出答案.

（2）①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)-，可得°=絲_2二，由裂項(xiàng)相消求和即可.

nn+2n

②當(dāng)71為偶數(shù)時(shí)，金=#1=與3,由錯(cuò)位相減法求和即可.

un+l乙

19.（10分）如圖，三棱錐A-BCD中，BC=BD=&,CD=2,O為CD中點(diǎn)，平面AOB_L平面

BCD.

（1）（5分）證明：AC=AD

（2）（5分）若三棱錐A-BCD的體積為|,二面角4-CD-B的余弦值為第，E為BC中點(diǎn).求

BD與平面AED所成角的正弦值.

【答案】（1）證明：因?yàn)锽C=BD,。為CD中點(diǎn)，

所以BOLCD,

又因?yàn)槠矫鍭OBL平面BCD,交線為BO,

所以CDJ_平面AOB,

因?yàn)?0u平面AOB,

所以CDLAO,

由三線合一知：AC=AD.

（2）解：過點(diǎn)A作AH,BO,

因?yàn)槠矫鍭OB_L平面BCD,交線為BO,

所以AH_L平面BCD,

在RSBCO中，CO=^CD=1-BC=瓜

所以B0=V5,

由V/I-BCD=』SABCD'AH,即:=gx-BO-AH-字4H

解得：A“=等

由（1）可知：CD_LBO,且CD_LAO,

故乙40B為二面角A-CD-B的平面角，

在RtAAHO中，cosNAOB=*，AH=等，

AO=1,OH=暫，

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，m）,分別為y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,竽），5（0,-等，0）,C（l,第，0）,。（-1,W，0）,E8,-哈，0）

所以前=（一1,遙，0），荏=&,一膂，一竽），AD=（~1，半，一等）

設(shè)平面AED的法向量為運(yùn)=（%,y,z）,

'13店2店a

AE.芾=尹—--g-z—0

則不妨取訶=（—通，-3,1）

At）-it=—x+-g-y----于-z=0

設(shè)BD與平面AED所成角為仇

則sin”|cos",刑=解能=冬

【解析】【分析】（1）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，由三線合一證明出結(jié)論;

（2）由體積求出竽，由二面角求出4。=1,OH=鳥建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量

求解線面角.

20.（10分）今年兩會(huì)期間國家對學(xué)生學(xué)業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會(huì)的

共鳴.某大學(xué)學(xué)生發(fā)展中心對大一的400名男生做了單次引體向上的測試，得到了如圖所示的直方圖

（引體向上個(gè)數(shù)只記整數(shù)）.學(xué)生發(fā)展中心為進(jìn)一步了解情況，組織了兩個(gè)研究小組.

P(K2

0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

ko0.460.711.322.072.713.8450.246.6357.87910.282

(1)(5分)第一小組決定從單次完成1-15個(gè)的引體向上男生中，按照分層抽樣抽取11人進(jìn)行

全面的體能測試，

①單次完成11-15個(gè)引體向上的男生甲被抽到的概率是多少？

②該小組又從這11人中抽取3人進(jìn)行個(gè)別訪談，記抽到“單次完成引體向上1-5個(gè)”的人數(shù)為隨

機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)(5分)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進(jìn)行研究，得到了這400人的學(xué)

業(yè)成績與體育成績之間的2X2列聯(lián)表.

學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計(jì)

體育成績不優(yōu)秀100200300

體育成績優(yōu)秀5050100

總計(jì)150250400

請你根據(jù)聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？

【答案】(1)解：①???0.02：0.03：0.06=2：3.-6

236

**???x11—2,.?x11—3,??x11—6,

111111

即從1-5中選2個(gè)，6-10個(gè)中選3個(gè)，11-15個(gè)中選6個(gè)，

又因?yàn)閱未瓮瓿?1-15個(gè)引體向上的人共有0.06x5x400=120人，

記“單次完成11-15個(gè)引體向上的甲被抽中”為事件A,則PQ4）=繆=得=上.

°IZUzu

C120

②X的可能取值為0,1,2,

則P（X=0）=m=||,P（X=1）=竽=翁「儂=2）=等=春

L11L11L11

???x的分布列為：

X012

28243

P

555555

282436

...E(X)=0x品+1X京+2x^=1T.

22

(2)解：...2=_____n(ad_bc)______=400<5000-10000；_80_匠ano、7o.

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)300x100x150x250~~8889>7,87Q9

.??有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān).

【解析】【分析】（1）①從1-5中選2個(gè)，6-10個(gè)中選3個(gè)，11-15個(gè)中選6個(gè)，單次完成11-15

個(gè)引體向上的人共有120人，利用古典概型、排列組合可求；

②X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，從而求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）求出K2=^>7,879,從而有的99.5%把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān).

21.（15分）2022年初某公司研發(fā)一種新產(chǎn)品并投入市場，開始銷量較少，經(jīng)推廣，銷量逐月增加,

下表為2022年1月份到7月份，銷量y（單位：百件）與月份x之間的關(guān)系.

月份X1234567

銷量y611213466101196

參考數(shù)據(jù):

77

WxiVi100.54

yV

i=li=l

其中《=igyrv=^￡7=1%參考公式：

v9

對于一組數(shù)據(jù)Ql，Vt）,（火，〃2），…，（%i，n）其回歸直線畬=a的斜率和截距的最小

〉.-u：Vi—nuv

二乘估計(jì)公式分別為：：=、——y，a=v-pu.

V.u?-nuz

-i=lL

（1）（5分）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷）/=（1%+8與丁=。￡/，（c,d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適合作為銷

量y與月份x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）？

（2）（5分）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測2022年8月

份的銷量；

（3）（5分）考慮銷量、產(chǎn)品更新及價(jià)格逐漸下降等因素，預(yù)測從2022年1月份到12月份（x的

取值依次記作1到12）,每百件該產(chǎn)品的利潤為P=10-。.。5/+06元，求2022年幾月份該產(chǎn)品的利

潤Q最大.

【答案】（1）解：根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=cd”適合作為銷量y與月份x的回歸方程類型。

（2）解：對丁=cd*兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得：Igy=Ige+xlgd.

設(shè)Igy=u,則v=lgc+xlgd,因?yàn)樾?4,v=1.54,fx?=140,

j=]

所以Igd=0.25,

把樣本中心點(diǎn)（4,1.54）代入v=Ige+xlgd,得：Ige=0.54,所以0=0.54+0.25%，

即1g夕=0.54+0.25x,

所以y關(guān)于x的回歸方程為夕=10°-54+0-25x=IO0-54x10025x=3.47x10°-25x.

把x=8代入上式，得了=3.47x102=347，

所以預(yù)測2022年8月份的銷量為347百件（34700件）.

（3）解：由題意得Q=yP=3.47X1O_OO5X2+O'85X（xGN且1<x<12）,

構(gòu)造函數(shù)/（%）=一0.05%2+085x（%>0）,

所以當(dāng)x=8或9時(shí)，f（x）取最大值，

即2022年8月份或9月份利潤最大.

【解析】【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，結(jié)合所給出函數(shù)圖象可得出答案；

（2）對y=cdx兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得：lgy=lgc+xlgd,再由公式以及給出的數(shù)據(jù)求出方程,

然后把x=8代入回歸方程；

（3）由題意利潤Q=yP,然后求出其最大值即可.

22.(10分)已知函數(shù)/(久)=x-：sinx一竽lnx+1.

(1)(5分)當(dāng)m=2時(shí)，試判斷函數(shù)/(%)在(兀，+8)上的單調(diào)性；

(2)(5分)存在%1，%2E(0，+8),小。X2，/。1)=/(%2)，求證：2Vm2.

【答案】(1)解：(方法一)當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=x-sinx-Inx+1，f(%)=1—)cos%一

lijx6(jii+8)時(shí)，f(x)=1—icosx—1—i—=i—0,

所以，當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)/(%)在(兀，+8)上單調(diào)遞增.

(方法二)當(dāng)m=2時(shí)，/(x)=x—sinx-Inx+1,/(%)=1—^cosx-1，

]12

由1-Kcosx——=0=cosx=2——，

2xx

結(jié)合函數(shù)丫=cosx與y=2—(圖象可知：當(dāng)》￡(7T,+8)時(shí)，cosx<1,2—：>2—系>1,

所以兩函數(shù)圖象沒有交點(diǎn)，且2-2>cosx.

X

所以當(dāng)X￡(兀，+8)時(shí)，/(%)=1—；cosx-；>0.

所以，當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)/(%)在(江，+8)上單調(diào)遞增.

(2)證明:不妨設(shè)由/(%1)=f(%2)得，

1.m-1.m「

}—sinx}nx

%i-2sinxj—2Inxj+1=x2j2-y'2+1，

777,1

???y(lnx2-In%])=%2一一,(sin%2.sin/).

設(shè)g(%)=%-sin%,則g'(x)=1-cos%>0，故g(%)在(0,+8)上為增函數(shù),

???%2—sin%2>—sin/,從而％2->sinx2-sin%!,

???2(lnx2-In%])=上一-](sin%2-sin%])>,(不一*i)，

x7—Xi

???m〉Inx^-lnxf

要證％1%2<瓶2只要證m>A/x1x2,

下面證明：痣毋>際，即證諄>照，

令±=,，貝此>1,即證明品〉缶只要證明：Int—導(dǎo)<0,

設(shè)/i(t)=Int—年，/(t)=—崎會(huì)-<o，則h(t)在(1,+8)單調(diào)遞減，

當(dāng)t>l時(shí)，h(t)<h(l)=0,從而Int—丁<0得證，即忌菊]>信利

：,m>即％i%2<n;2.

【解析】【分析】(1)求出/(%)=1cosx—J,當(dāng)xem，+8)時(shí)，/'(X)的最小值大于零，函數(shù)

/(%)在(兀，+8)上單調(diào)遞增；

(2)令《=孑，將X62<巾2轉(zhuǎn)化為導(dǎo)>在，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明最小值小于0.

入1inu

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：93分

客觀題（占比）26.0(28.0%)

分值分布

主觀題（占比）67.0(72.0%)

客觀題（占比）14(63.6%)

題量分布

主觀題（占比）8(36.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)4.0(4.3%)

解答題6(27.3%)65.0(69.9%)

多選題4(18.2%)8.0(8.6%)

單選題8(36.4%)16.0(17.2%)

3、試