數(shù)論中的若干問題和進(jìn)展

數(shù)論中的若干問題和進(jìn)展一.概述Peano公理：自然數(shù)（正整數(shù)）和零。減法：整數(shù)Z。除法：有理數(shù)Q。極限：實(shí)數(shù)R。(π,√2,?)求解代數(shù)方程：復(fù)數(shù)C。一.概述數(shù)論大致分為兩類問題：1）素?cái)?shù)問題。如Riemann猜想，Goldbach猜想等。2）整系數(shù)多項(xiàng)式方程的整數(shù)解。如Fermat猜想，BSD猜想等。二.素?cái)?shù)

如果正整數(shù)m整除正整數(shù)n，稱m是n的一個(gè)因子。如果正整數(shù)p的因子只有1和p，那么p稱為素?cái)?shù)。如2，3，5，7，11，13，17，19等等。二.素?cái)?shù)

算術(shù)基本定理：任何一個(gè)正整數(shù)都可表示為素?cái)?shù)的乘積。不考慮乘積秩序，表達(dá)式唯一。如：4=2x2,6=2x3，12=2x2x3等等。二.素?cái)?shù)定理（Euclid）：素?cái)?shù)有無限多。證法一：如果素?cái)?shù)只有有限多個(gè)，記為那么根據(jù)算術(shù)基本定理，的素?cái)?shù)因子就一定不是上述的素?cái)?shù)，矛盾！二.素?cái)?shù)證法二（Riemann)：根據(jù)算術(shù)基本定理，其中s是大于1的實(shí)數(shù)。如果素?cái)?shù)只有有限多，那么無論s取什么值等式右邊都是有限值，而等式左邊當(dāng)s=1時(shí)是發(fā)散的。矛盾！二.素?cái)?shù)利用證法二可以證明：定理（Dirichlet)：等差級(jí)數(shù)a，a+d，a+2d，…，a+nd，…中如果a和d互素，那么該等差級(jí)數(shù)中會(huì)有無限多個(gè)素?cái)?shù)。二.素?cái)?shù)Riemannzeta函數(shù)滿足函數(shù)方程s1-s。(Riemann猜想)：Riemannzeta函數(shù)的非平凡零點(diǎn)在實(shí)部為1/2的豎直線。二.素?cái)?shù)

如果p和p+2都是素?cái)?shù)，稱（p，p+2）為孿生素?cái)?shù)。如（3，5）；（5，7）；（11，13）；（17，19）等等。猜想：孿生素?cái)?shù)有無限多對(duì)？二.素?cái)?shù)Green-Tao定理：對(duì)任意正整數(shù)n，存在長(zhǎng)度為n且每一項(xiàng)都是素?cái)?shù)的等差級(jí)數(shù)。例如：{

3，7，11

}

(n=3)

{5，11，17，23，29}(n=5)

二.素?cái)?shù)目前用計(jì)算機(jī)明確找到最長(zhǎng)的素?cái)?shù)等差級(jí)數(shù)是{61711+366384x223092870xk:k=0,1,2,…,24}二.素?cái)?shù)猜想1:(Goldbach猜想)

任意大于2的偶數(shù)都可寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。猜想2:(Schinzel猜想):首項(xiàng)系數(shù)為正的整系數(shù)不可約多項(xiàng)式,若沒有固定正因子,則存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為該多項(xiàng)式的形式。二.素?cái)?shù)特例:(Landau猜想)

是否存在無限多素?cái)?shù)可寫為x+1的形式？類似地，可以有多個(gè)變?cè)腿舾蓚€(gè)多項(xiàng)式的Schinzel猜想。二.素?cái)?shù)Dirichlet定理：對(duì)任給定的非退化本原二元二次型，都存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可表示為該二元二次型的形式。

Iwaniec將這個(gè)結(jié)果推廣到二元二次非退化本原多項(xiàng)式情形。

二.素?cái)?shù)Friedlander-Iwaniec（1998）定理：存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可以表示為x+y的形式。Heath-Brown（2001）定理：存在無限多個(gè)素?cái)?shù)可以表示為x+2y的形式。三.丟番圖方程整數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式方程都稱為丟番圖方程。希爾伯特第十問題：是否存在一個(gè)能確定整系數(shù)多項(xiàng)式方程有無整數(shù)解的算法？答案：否。(Davies-Putnam-Robinson-Matijasevic-Cudnovskii)三.丟番圖方程必要條件：1）方程在實(shí)數(shù)域上有解。2）方程模任何整數(shù)m有解。三.丟番圖方程例：方程沒有整數(shù)解。（沒有實(shí)數(shù)解）。例：方程沒有整數(shù)解。（模3沒有解）。三.丟番圖方程設(shè)為素?cái)?shù)。由中國(guó)剩余定理：三.丟番圖方程

對(duì)素?cái)?shù)p，考慮（乘積拓?fù)洌┑拈]包。記為Zp。上述必要條件:方程在實(shí)數(shù)域R和Zp上均有解。此時(shí)稱方程局部有解。四.線性方程

由帶余除法法：線性方程有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)方程局部有解，即上述必要條件也是充分條件。五.二次方程

·

一個(gè)二次齊次整系數(shù)方程有本原解當(dāng)且僅當(dāng)該方程局部有非平凡解。（Hasse-Minkowski定理）

·一般一個(gè)二次整系數(shù)方程局部有解推不出它有整數(shù)解。這個(gè)問題有比較完整的答案，但仍沒有得到徹底解決。五.二次方程

例(Fermat)：若二次齊次方程F(x,y,z)=0有一個(gè)非平凡的整數(shù)解，則該方程有無限多組本原整數(shù)解，由Q∪{∞}參數(shù)化。費(fèi)馬的證明：F(x,y,z)=0有非平凡的整數(shù)解一一對(duì)應(yīng)于的有理解。五.二次方程·(Fermat-Gauss):一個(gè)整數(shù)可表為兩個(gè)整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為兩平方和。·(Gauss-Legendre):一個(gè)整數(shù)可表為三個(gè)整數(shù)的平方和當(dāng)且僅當(dāng)局部可表為三平方和?！?Lagrange):每個(gè)正整數(shù)可表為四個(gè)整數(shù)的平方和。六.三次方程

·三次齊次多項(xiàng)式局部有非平凡解推不出該方程有整數(shù)解。·三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式給出射影空間虧格為1的一條光滑曲線。判定這類整系數(shù)方程是否存在非平凡的本原的整數(shù)解仍沒有一般的方法。六.三次方程·如果三元三次齊次光滑整系數(shù)多項(xiàng)式方程有一個(gè)非平凡的本原的整數(shù)解，稱該方程為橢圓曲線。記為E?！E圓曲線上非平凡的本原的整數(shù)解E(Z)構(gòu)成一個(gè)有限生成的交換群。(Mordell定理)六.三次方程根據(jù)有限生成交換群的結(jié)構(gòu)定理

E(Z)≌Z⊕E(Z)·定理(Mazur)：﹟E(Z)≤16·猜想：可任意大？六.三次方程

除有限多個(gè)素?cái)?shù)外，E模素?cái)?shù)p成為有限域上的一條橢圓曲線。定義：其中=p+1-#E(

)。

稱為E的L-函數(shù)。六.三次方程·定理(Wiles，Taylor-Wiles，Taylor，…)：

E的L-函數(shù)可解析開拓到全復(fù)平面并滿足函數(shù)方程s←→2-s?！SD猜想：E的L函數(shù)在s=1處零點(diǎn)的階=。六.三次方程·定理(Kolyvagin，Gross-Zagier)：當(dāng)E的L-函數(shù)在s=1的階≤1時(shí)，BSD猜想成立。七.高次方程·定理（Siegel）：次數(shù)大于2的兩個(gè)變?cè)恼禂?shù)多項(xiàng)式（光滑）方程僅有有限多個(gè)整數(shù)解。·定理（Faltings）：次數(shù)大于3的三個(gè)變?cè)R次（光滑）多項(xiàng)式至多僅有有限多個(gè)非平凡的本原解。