高三總復(fù)習(xí)三角函數(shù)

高三總復(fù)習(xí)-三角函數(shù)本講進(jìn)度《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)本講主要內(nèi)容1、三角函數(shù)的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式和差倍半公式等；3、三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)。學(xué)習(xí)指導(dǎo)1、角的概念的推廣。從運(yùn)動(dòng)的角度，在旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)圈數(shù)上引進(jìn)負(fù)角及大于360。的角。這樣一來，在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)角的終邊確定時(shí)，其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，下同)。為了把握這些角之間的聯(lián)系，引進(jìn)終邊相同的角的概念，凡是與終邊a相同的角，都可以表示成k-3600+a的形式，特例，終邊在x軸上的角集合｛a|a=k?180。，k￡Z｝,終邊在y軸上的角集合｛a|a=k?1800+900,k￡Z｝,終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合｛a|a=k?900,k￡Z｝。在已知三角函數(shù)值的大小求角的大小時(shí)，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉ǎ苷_地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長(zhǎng)公式二|a|七扇形面積公式S=1R=1R2|a|，其中a為弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)。TOC\o"1-5"\h\z2 22、利用直角坐標(biāo)系，可以把直角三角形中的三角函數(shù)推廣到任意角的三角數(shù)。三角函數(shù)定義是本章重點(diǎn)，從它可以推出一些三角公式。重視用數(shù)學(xué)定義解題。設(shè)P(x,y)是角a終邊上任一點(diǎn)(與原點(diǎn)不重合)，記rTOPI=%：x2+y2，則sina=*,cosa=-,r ry xtana--,cota=—。x y利用三角函數(shù)定義，可以得到(1)誘導(dǎo)公式：即k汽t+a與a之間函數(shù)值關(guān)系(k￡Z),其規(guī)律是“奇2變偶不變，符號(hào)看象限”；(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式：平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系，商數(shù)關(guān)系。3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導(dǎo)公式是和差公式的特例，對(duì)公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式：cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a，變形后得cos2a--~'0s2a,sin2a--~COs2a,2 2可以作為降幕公式使用。三角變換公式除用來化簡(jiǎn)三角函數(shù)式外，還為研究三角函數(shù)圖象及性質(zhì)做準(zhǔn)備。4、三角函數(shù)的性質(zhì)除了一般函數(shù)通性外，還出現(xiàn)了前面幾種函數(shù)所沒有的周期性。周期性的定義：設(shè)T為非零常數(shù)，若對(duì)f(x)定義域中的每一個(gè)x,均有f(x+T)=f(x),則稱T為f(x)的周期。當(dāng)T為f(x)周期時(shí)，kT(k￡Z,kW0)也為f(x)周期。三角函數(shù)圖象是性質(zhì)的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數(shù)線作函數(shù)圖象稱為幾何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法(1)等價(jià)變換。熟練運(yùn)用公式對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，化歸為熟悉的基本問題；

(2)數(shù)形結(jié)合。充分利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角函數(shù)圖象幫助解題;(3)分類討論。四、典型例題例1、已知函數(shù)f(x)=log1(sinx-cosx)2(1)求它的定義域和值域；(2)求它的單調(diào)區(qū)間；(3)判斷它的奇偶性；(4)判斷它的周期性。解題思路分析：TOC\o"1-5"\h\z在 5(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數(shù)線及2k汽+<x<2k兀+-汽，k￡Z4 4冗 5???函數(shù)定乂域?yàn)?2k汽+—,2k汽+—汽)，k￡Z4 4?sinx—cosx=v2sin(x一：)；.當(dāng)x￡(2k—+—,2k—+——)時(shí)，0<sin(x——)<14 4 4；.0<sinx一cos<v'2???y>logj2=一2??函數(shù)值域?yàn)椋?1,+8)2(3)：f(x)定義域在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱??f(x)不具備奇偶性(4)Vf(x+2n)=f(x)??函數(shù)f(x)最小正周期為2n注；利用單位圓中的三角函數(shù)線可知，以I、II象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx-cosx的符號(hào)以n、m象限角平分線為標(biāo)準(zhǔn)，可區(qū)分sinx+cosx的符號(hào)，如圖。例2、化簡(jiǎn)2v1+sina+v;2(i+cosa),a￡(n,2n)解題思路分析：湊根號(hào)下為完全平方式，化無理式為有理式a. .aaa,.a,a、°TOC\o"1-5"\h\z.1+sina=sin2——+cos2——+2sin—cos—=(sin——+cos—)22 2 2 2 2 2\o"CurrentDocument"一、一?一a一、 a2(1+cosa)=2(1+2cos2—-1)=4cos2—；.原式=21sin—+cos—I+21cos—I2 2 2

-,八cos一<02比汽_a,9__/,3 a,a、八當(dāng)—<一<一汽,汽<a<一汽時(shí)，sin—+cos—>0224 2 2 2/.原式=2sin—2一尸，_3 a,a/八汽<一<汽,一汽<a<2汽時(shí)，sin——+cos—<02 2 2 2/.原式二/.原式二—2sin——4cos—=—2v5sin(41+arctan2)???原式二4???原式二42sin-23n<a<—兀2—2v5sin(—2v5sin(—+arctan2)-冗<-<2兀2注：1、本題利用了“1”的逆代技巧，即化1為sin24+cos2-,是欲擒故縱原則。一般地有xl+sin2a=1sina±cosaI，<1+cos2a=v2IcosaI，11—cos2a=v2lsinal。2、三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為、強(qiáng)+b2sin（x+。）（取。=arctanb）是常用變形手段。特別是與特殊角有關(guān)的sin土cosx，土sinx土v3cosx，要熟練掌握變形a結(jié)論。sin21400 cos21400 2sin1003cos21403cos21400—sin21400原式二sin21400cos21400 2sin100(v3cos1400—sin1400)(<3cos1400+sin1400)(—(—sin400cos400)22sin100—4sin800-sin2000=—8isin280042sin100=—8isin280042sin100sin2000 “sin2000” =—16 =16sin800cos80。sin1600注：在化簡(jiǎn)三角函數(shù)式過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如本題平方差公式。例4、已知00<a鄧<900,且sina，sinp是方程x2—(<2cos400)x+cos2400—-=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，/^2求sin（B-5a）的值。解題思路分析：由韋達(dá)定理得sina+sinp=J2cos400,sinasinp=cos2400-2J ■ J l'；.sinp-sina=\：(sinp-sina)2=%.(sina+sinB)2—4sinasinp=v2(1一cos240。)=<2sin400又sina+sinp=l2cos400sinp=2(.：2cos400+22sin400)=sin850一1— —二一.一.一一sina=—(七2cos400—%：2sin400)=sin50???00<a鄧<900B=85。a=50sin(p-5a)=sin600=注：利用韋達(dá)定理變形尋找與sina,sinp相關(guān)的方程組，在求出sina,sinp后再利用單調(diào)性求a,p的值。例5、(1)已知cos(2a+p)+5cosp=0,求tan(a+p),tana的值;⑵已知m=-5，求3cosw20的值。解題思路分析：(1)從變換角的差異著手。?「2a+B=(a+B)+a,p=(a+B)-a；.8cos[(a+p)+a]+5cos[(a+p)-a]=0展開得：13cos(a+B)cosa-3sin(a+p)sina=013同除以cos(a+p)cosa得：tan(a+p)tana=—3(2)以三角函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)..2sin0+cos0_2tan0+1sin0—3cos0 tan0—32tan0+1=—5tan0—33(cos20—sin20)+8sin0cos0 3—3tan20+8tan0sin20+cos20sin20+cos201+tan20注；齊次式是三角函數(shù)式中的基本式，其處理方法是化切或降幕。xx例6、已知函數(shù)f(x)=asin42-sin22(a￡(0,1)),求f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調(diào)性。解題思路分析：

?cX?cXcx一sin2—cos2一sin4-—sin2X=-sin2—(1-sin2X)=2 2 2 2. 、 1. 11一cos2xcos2x一1sinx)2=——sin2x 4 4 2 8cos2x-1/.f(x)=a8人1c1令u=-cos2x——?jiǎng)ty=au???0<a<1，y=au是減函數(shù)兀..由2xg[2k汽一汽,2k汽]得xg[k汽 ,k汽]，此為f(x)的減區(qū)間2由2xg[2k汽,2k汽+汽]得xg[k汽,k汽+四"此為f(x)增區(qū)間2u(-x)=u(x)f(x)=f(-x)??f(x)為偶函數(shù)/u(x+n)=f(x)；.f(x+n)=f(x)??f(x)為周期函數(shù)，最小正周期為n當(dāng)x=kn(k￡Z)時(shí)，yi=1五 1當(dāng)x=kn+ (k￡Z)時(shí)，y=a42 nax注：研究三角函數(shù)性質(zhì)，一般降幕化為y=Asin(wx+Q)等一名一次一項(xiàng)的形式。五、同步練習(xí)(一)選擇題1、下列函數(shù)中，既是(0,-)上的增函數(shù)，又是以n為周期的偶函數(shù)是2A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2sin2x2、如果函數(shù)y=sin2x+acos2x圖象關(guān)于直線x=--對(duì)稱，則a值為8TOC\o"1-5"\h\zA、B、-1 C、1 D、、巧- 53、函數(shù)y=Asin(wx+Q)(A>0,①>0),在一個(gè)周期內(nèi)，當(dāng)x=時(shí)，y=2；當(dāng)x=--時(shí)，y=-2,則8 max 8 minA、A、y=2sin(x+-)24B、y=2sin(2x+—) C、y=2sin(x+—)4 4\o"CurrentDocument"一?，一 -y=-2sin(2x+8)4、已知tana+1=1998,則sec2a+tan2a的值為1一tanaA、1997 BA、1997 B、1998C、1999D、20005、已知tana,tanp是方程x2+3v3x+4=0兩根，且a,pg（一］，?，則a+p等于A、C、汽2一或一汽3 3D、6A、C、汽2一或一汽3 3D、6、則sinx?siny的最小值為A、-1B、C、D、7、A、5.5B7、A、5.5B、6.5C、D、函數(shù)f(x)=3sin(x+10o)+5sin(x+700)的最大值是8、若B￡（0,2n］，則使sin0<cos0<cot0<tan0成立的B取值范圍是，冗兀、 ，3、 ，53、 ，7 、A、（一,一） B、（一汽,汽） C、（一汽,一汽） D、（一汽,2汽）42 4 4 2 49、下列命題正確的是A、若a,p是第一象限角，a鄧，則sina>sinpB、函數(shù)y=sinx,cotx的單調(diào)區(qū)間是（2k汽一^,2k汽+金），k￡ZC、函數(shù)y=1-COS2X的最小正周期是2nsin2xk在立0、函數(shù)y=sinxcos2y-cosxsin2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則6= +,k￡ZTOC\o"1-5"\h\z2 410、函數(shù)f（x）=10gl（sin2x+cos2x）的單調(diào)減區(qū)間是3冗冗_(dá) 冗五 一 五3A、（k汽——,k汽+—） B、（k汽—一,k汽+—］C. （k汽+—,k汽+一汽）4 8 8 8 8 8五 5 .一（k汽+—,k汽+一汽）k￡Z8 8（二）填空題11、函數(shù)f（x）=sin（x+B）+\'3cos（x-B）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則B=12、已知。+p=3，且3!3（tanatanp+c）+tana=0