高三總復習三角函數

高三總復習-三角函數本講進度《三角函數》復習本講主要內容1、三角函數的概念及象限角、弧度制等概念；2、三角公式，包括誘導公式，同角三角函數關系式和差倍半公式等；3、三角函數的圖象及性質。學習指導1、角的概念的推廣。從運動的角度，在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大于360。的角。這樣一來，在直角坐標系中，當角的終邊確定時，其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上，角的頂點與原點重合，下同)。為了把握這些角之間的聯系，引進終邊相同的角的概念，凡是與終邊a相同的角，都可以表示成k-3600+a的形式，特例，終邊在x軸上的角集合｛a|a=k?180。，k￡Z｝,終邊在y軸上的角集合｛a|a=k?1800+900,k￡Z｝,終邊在坐標軸上的角的集合｛a|a=k?900,k￡Z｝。在已知三角函數值的大小求角的大小時，通常先確定角的終邊位置，然后再確定大小?；《戎剖墙堑亩攘康闹匾硎痉ǎ苷_地進行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度制。在弧度制下，扇形弧長公式二|a|七扇形面積公式S=1R=1R2|a|，其中a為弧所對圓心角的弧度數。TOC\o"1-5"\h\z2 22、利用直角坐標系，可以把直角三角形中的三角函數推廣到任意角的三角數。三角函數定義是本章重點，從它可以推出一些三角公式。重視用數學定義解題。設P(x,y)是角a終邊上任一點(與原點不重合)，記rTOPI=%：x2+y2，則sina=*,cosa=-,r ry xtana--,cota=—。x y利用三角函數定義，可以得到(1)誘導公式：即k汽t+a與a之間函數值關系(k￡Z),其規(guī)律是“奇2變偶不變，符號看象限”；(2)同角三角函數關系式：平方關系，倒數關系，商數關系。3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式，誘導公式是和差公式的特例，對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式：cos2a=2cos2a-1=1-2sin2a，變形后得cos2a--~'0s2a,sin2a--~COs2a,2 2可以作為降幕公式使用。三角變換公式除用來化簡三角函數式外，還為研究三角函數圖象及性質做準備。4、三角函數的性質除了一般函數通性外，還出現了前面幾種函數所沒有的周期性。周期性的定義：設T為非零常數，若對f(x)定義域中的每一個x,均有f(x+T)=f(x),則稱T為f(x)的周期。當T為f(x)周期時，kT(k￡Z,kW0)也為f(x)周期。三角函數圖象是性質的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數線作函數圖象稱為幾何作圖法，熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。5、本章思想方法(1)等價變換。熟練運用公式對問題進行轉化，化歸為熟悉的基本問題；

(2)數形結合。充分利用單位圓中的三角函數線及三角函數圖象幫助解題;(3)分類討論。四、典型例題例1、已知函數f(x)=log1(sinx-cosx)2(1)求它的定義域和值域；(2)求它的單調區(qū)間；(3)判斷它的奇偶性；(4)判斷它的周期性。解題思路分析：TOC\o"1-5"\h\z在 5(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數線及2k汽+<x<2k兀+-汽，k￡Z4 4冗 5???函數定乂域為(2k汽+—,2k汽+—汽)，k￡Z4 4?sinx—cosx=v2sin(x一：)；.當x￡(2k—+—,2k—+——)時，0<sin(x——)<14 4 4；.0<sinx一cos<v'2???y>logj2=一2??函數值域為［-1,+8)2(3)：f(x)定義域在數軸上對應的點關于原點不對稱??f(x)不具備奇偶性(4)Vf(x+2n)=f(x)??函數f(x)最小正周期為2n注；利用單位圓中的三角函數線可知，以I、II象限角平分線為標準，可區(qū)分sinx-cosx的符號以n、m象限角平分線為標準，可區(qū)分sinx+cosx的符號，如圖。例2、化簡2v1+sina+v;2(i+cosa),a￡(n,2n)解題思路分析：湊根號下為完全平方式，化無理式為有理式a. .aaa,.a,a、°TOC\o"1-5"\h\z.1+sina=sin2——+cos2——+2sin—cos—=(sin——+cos—)22 2 2 2 2 2\o"CurrentDocument"一、一?一a一、 a2(1+cosa)=2(1+2cos2—-1)=4cos2—；.原式=21sin—+cos—I+21cos—I2 2 2

-,八cos一<02比汽_a,9__/,3 a,a、八當—<一<一汽,汽<a<一汽時，sin—+cos—>0224 2 2 2/.原式=2sin—2一尸，_3 a,a/八汽<一<汽,一汽<a<2汽時，sin——+cos—<02 2 2 2/.原式二/.原式二—2sin——4cos—=—2v5sin(41+arctan2)???原式二4???原式二42sin-23n<a<—兀2—2v5sin(—2v5sin(—+arctan2)-冗<-<2兀2注：1、本題利用了“1”的逆代技巧，即化1為sin24+cos2-,是欲擒故縱原則。一般地有xl+sin2a=1sina±cosaI，<1+cos2a=v2IcosaI，11—cos2a=v2lsinal。2、三角函數式asinx+bcosx是基本三角函數式之一，引進輔助角，將它化為、強+b2sin（x+。）（取。=arctanb）是常用變形手段。特別是與特殊角有關的sin土cosx，土sinx土v3cosx，要熟練掌握變形a結論。sin21400 cos21400 2sin1003cos21403cos21400—sin21400原式二sin21400cos21400 2sin100(v3cos1400—sin1400)(<3cos1400+sin1400)(—(—sin400cos400)22sin100—4sin800-sin2000=—8isin280042sin100=—8isin280042sin100sin2000 “sin2000” =—16 =16sin800cos80。sin1600注：在化簡三角函數式過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數變形公式，如本題平方差公式。例4、已知00<a鄧<900,且sina，sinp是方程x2—(<2cos400)x+cos2400—-=0的兩個實數根，/^2求sin（B-5a）的值。解題思路分析：由韋達定理得sina+sinp=J2cos400,sinasinp=cos2400-2J ■ J l'；.sinp-sina=\：(sinp-sina)2=%.(sina+sinB)2—4sinasinp=v2(1一cos240。)=<2sin400又sina+sinp=l2cos400sinp=2(.：2cos400+22sin400)=sin850一1— —二一.一.一一sina=—(七2cos400—%：2sin400)=sin50???00<a鄧<900B=85。a=50sin(p-5a)=sin600=注：利用韋達定理變形尋找與sina,sinp相關的方程組，在求出sina,sinp后再利用單調性求a,p的值。例5、(1)已知cos(2a+p)+5cosp=0,求tan(a+p),tana的值;⑵已知m=-5，求3cosw20的值。解題思路分析：(1)從變換角的差異著手。?「2a+B=(a+B)+a,p=(a+B)-a；.8cos[(a+p)+a]+5cos[(a+p)-a]=0展開得：13cos(a+B)cosa-3sin(a+p)sina=013同除以cos(a+p)cosa得：tan(a+p)tana=—3(2)以三角函數結構特點出發(fā)..2sin0+cos0_2tan0+1sin0—3cos0 tan0—32tan0+1=—5tan0—33(cos20—sin20)+8sin0cos0 3—3tan20+8tan0sin20+cos20sin20+cos201+tan20注；齊次式是三角函數式中的基本式，其處理方法是化切或降幕。xx例6、已知函數f(x)=asin42-sin22(a￡(0,1)),求f(x)的最值，并討論周期性，奇偶性，單調性。解題思路分析：

?cX?cXcx一sin2—cos2一sin4-—sin2X=-sin2—(1-sin2X)=2 2 2 2. 、 1. 11一cos2xcos2x一1sinx)2=——sin2x 4 4 2 8cos2x-1/.f(x)=a8人1c1令u=-cos2x——則y=au???0<a<1，y=au是減函數兀..由2xg[2k汽一汽,2k汽]得xg[k汽 ,k汽]，此為f(x)的減區(qū)間2由2xg[2k汽,2k汽+汽]得xg[k汽,k汽+四"此為f(x)增區(qū)間2u(-x)=u(x)f(x)=f(-x)??f(x)為偶函數/u(x+n)=f(x)；.f(x+n)=f(x)??f(x)為周期函數，最小正周期為n當x=kn(k￡Z)時，yi=1五 1當x=kn+ (k￡Z)時，y=a42 nax注：研究三角函數性質，一般降幕化為y=Asin(wx+Q)等一名一次一項的形式。五、同步練習(一)選擇題1、下列函數中，既是(0,-)上的增函數，又是以n為周期的偶函數是2A、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2sin2x2、如果函數y=sin2x+acos2x圖象關于直線x=--對稱，則a值為8TOC\o"1-5"\h\zA、B、-1 C、1 D、、巧- 53、函數y=Asin(wx+Q)(A>0,①>0),在一個周期內，當x=時，y=2；當x=--時，y=-2,則8 max 8 minA、A、y=2sin(x+-)24B、y=2sin(2x+—) C、y=2sin(x+—)4 4\o"CurrentDocument"一?，一 -y=-2sin(2x+8)4、已知tana+1=1998,則sec2a+tan2a的值為1一tanaA、1997 BA、1997 B、1998C、1999D、20005、已知tana,tanp是方程x2+3v3x+4=0兩根，且a,pg（一］，?，則a+p等于A、C、汽2一或一汽3 3D、6A、C、汽2一或一汽3 3D、6、則sinx?siny的最小值為A、-1B、C、D、7、A、5.5B7、A、5.5B、6.5C、D、函數f(x)=3sin(x+10o)+5sin(x+700)的最大值是8、若B￡（0,2n］，則使sin0<cos0<cot0<tan0成立的B取值范圍是，冗兀、 ，3、 ，53、 ，7 、A、（一,一） B、（一汽,汽） C、（一汽,一汽） D、（一汽,2汽）42 4 4 2 49、下列命題正確的是A、若a,p是第一象限角，a鄧，則sina>sinpB、函數y=sinx,cotx的單調區(qū)間是（2k汽一^,2k汽+金），k￡ZC、函數y=1-COS2X的最小正周期是2nsin2xk在立0、函數y=sinxcos2y-cosxsin2x的圖象關于y軸對稱，則6= +,k￡ZTOC\o"1-5"\h\z2 410、函數f（x）=10gl（sin2x+cos2x）的單調減區(qū)間是3冗冗_ 冗五 一 五3A、（k汽——,k汽+—） B、（k汽—一,k汽+—］C. （k汽+—,k汽+一汽）4 8 8 8 8 8五 5 .一（k汽+—,k汽+一汽）k￡Z8 8（二）填空題11、函數f（x）=sin（x+B）+\'3cos（x-B）的圖象關于y軸對稱，則B=12、已知。+p=3，且3!3（tanatanp+c）+tana=0