首師大教育統(tǒng)計學(xué)課件03集中量數(shù)

第三章集中量數(shù)集中趨勢和離中趨勢是次數(shù)分布的兩個基本特征。數(shù)據(jù)的集中趨勢是指數(shù)據(jù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度，用來描述這一特點的統(tǒng)計量稱為集中量數(shù)。常用的集中量數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等等。數(shù)據(jù)的離中趨勢指數(shù)據(jù)中數(shù)據(jù)彼此的分散程度，用來描述這一特點的統(tǒng)計量稱為差異量數(shù)。第一節(jié)算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（arithmeticaverage

）一般簡稱為平均數(shù)（average）或均數(shù)、均值（mean），一般用Ｍ表示，或算術(shù)平均數(shù)是最常用的集中量。一．算術(shù)平均數(shù)的計算方法原始數(shù)據(jù)計算公式（4．１）算術(shù)平均數(shù)的特點在一組數(shù)據(jù)中，每個變量與平均數(shù)的差（離差）的總和為零。在一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)都加上一個常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C在一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)都乘上一個常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘常數(shù)C使用次數(shù)分布表計算平均數(shù)表4-152名學(xué)生數(shù)學(xué)成績平均數(shù)計算表成績組中值Xc頻數(shù)fF*Xc計算95－97.5219590－92.5218585－87.53262.580－52.55262.575－77.5862070－72.511797.565－67.59607.560－62.55312.555－57.5423050－52.5210545－47.5147.5合計523595.0二、算術(shù)平均數(shù)的意義算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量。它是“真值”（truescore）的最佳估計值。真值是反映某種現(xiàn)象的真實水平的分?jǐn)?shù)。由于測量過程中的各種偶然因素的影響，真值往往很難得到。在實際測量中，往往采用“多次測量，取平均數(shù)”的方法，用平均數(shù)去估計真值。三、算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點

優(yōu)點：算術(shù)平均數(shù)具備一個良好的集中量所應(yīng)具備的一些特點：反應(yīng)靈敏、有公式嚴(yán)密確定、簡明易懂、適合代數(shù)運算等等，因此是一個最常用的集中量。主要不足：容易受兩極端數(shù)值的影響；一組數(shù)據(jù)中有模糊不清的數(shù)值時無法計算。四、計算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原則同質(zhì)性原則：算術(shù)平均數(shù)只能用于表示同類數(shù)據(jù)的集中趨勢。平均數(shù)與個體數(shù)值相結(jié)合的原則：在解釋個體特征時，既要看平均數(shù)，也要結(jié)合個體的數(shù)據(jù)。平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合原則：描述一組數(shù)據(jù)時既要分析其集中趨勢，也要分析離散程度。第二節(jié)中位數(shù)中位數(shù)（median）又稱為中數(shù)，是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中位于中間位置的數(shù)。中位數(shù)是常用集中量的一種。一般用Md或Mdn表示。1、中位數(shù)的計算方法原始數(shù)據(jù)計算法1、一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的首先將一組數(shù)據(jù)按順序排列2一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的1）重復(fù)數(shù)值沒有位于中間的，與無重復(fù)數(shù)值的一樣求中位數(shù)2）當(dāng)重復(fù)數(shù)值位于中間，數(shù)列個數(shù)為奇數(shù)的如：1111111113131317173）當(dāng)重復(fù)數(shù)值位于中間，數(shù)列個數(shù)為偶數(shù)的次數(shù)分布表計算法由次數(shù)分布表計算中位數(shù)需要用到累積次數(shù)分布表。當(dāng)表中數(shù)據(jù)的累積方向不同時，計算公式也不同。表4-252名學(xué)生數(shù)學(xué)成績次數(shù)分布表成績頻數(shù)f累積頻數(shù)95－25290－25085－34880－54575－84070－113265－92160－51255－4750－2345－11合計5274.457473.5573.172.6572.271.7571.370.8570.469.9569.51110987654321由下至上累積頻數(shù)計算公式公式中:Lb為中位數(shù)所在組的精確下限

fb為中位數(shù)所在組下限以下的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fMd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距（4．3a）由上至下累積頻數(shù)計算公式公式中:La為中位數(shù)所在組的精確上限

fa為中位數(shù)所在組上限以上的累積頻數(shù)

n為數(shù)據(jù)總和

fMd為中位數(shù)所在組的頻數(shù)

i為組距（4．3b）表4-352名學(xué)生數(shù)學(xué)成績中位數(shù)計算表成績頻數(shù)f累積頻數(shù)計算95252902508534880545758407011326592160512554750234511合計52３．中位數(shù)的特點及應(yīng)用中位數(shù)是根據(jù)全部數(shù)據(jù)的個數(shù)來確定其位置的，意義簡明，對按順序排列的數(shù)據(jù)來講，計算中位數(shù)也比較容易。中位數(shù)不受兩端極端數(shù)據(jù)的影響，但反應(yīng)不靈敏，也不適合進一步代數(shù)運算的要求。一般用于下列情況：一組數(shù)據(jù)中有極端數(shù)據(jù)時；一組數(shù)據(jù)中有個別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時；資料屬于等級性質(zhì)時。第三節(jié)眾數(shù)眾數(shù)（mode）用Mo表示，有兩種定義：理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點相對應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點；粗略眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)。眾數(shù)也是一種集中量，也可用來表示一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。１．眾數(shù)的計算方法

觀察法尋找粗略眾數(shù)未分組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)即為眾數(shù)。次數(shù)分布表中，頻數(shù)最多那一組數(shù)據(jù)的組中值，即為眾數(shù)。公式法計算理論眾數(shù)的近似值用公式計算的眾數(shù)稱為理論眾數(shù)。一般在心理與教育統(tǒng)計中常用的公式有皮爾遜的經(jīng)驗公式和金氏插補法公式。皮爾遜經(jīng)驗公式金氏插補法（4．5）（4．6）皮爾遜經(jīng)驗公式只有當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時才能使用。當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈偏態(tài)時，一般用金氏插補法計算眾數(shù)。２．眾數(shù)的優(yōu)缺點眾數(shù)的概念簡單易懂，但比較粗略，不能靈敏地反映一組數(shù)據(jù)的變化，而且不適合進一步代數(shù)運算。一般用于類別變量或等級變量的資料。4．算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)三者的關(guān)系在正態(tài)分布中：在正偏態(tài)分布中：在負(fù)偏態(tài)分布中：第四節(jié)其它集中量數(shù)除了算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)以外，在應(yīng)用中還有一些其它集中量。這些統(tǒng)計指標(biāo)可以從其它角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢。１．加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同比重數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，一般用表示。其計算公式有兩種：

（4．7）（4．8）所謂權(quán)數(shù)是指各變量在構(gòu)成總體中的重要性程度。２．幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)（geometricmean）是n個數(shù)值連乘積的n次方根，用或表示。計算公式為當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時，可用幾何平均數(shù)表示該組數(shù)據(jù)的集中趨勢。（4．9）幾何平均數(shù)的變式兩邊取對數(shù)，得注意：幾何平均數(shù)計算的是平均的變化情況，如果要計算平均增長率，需要從幾何平均數(shù)中減去基數(shù)1。（4．10）集中量不同測量水平的數(shù)據(jù)－集中量*溫州大