首師大教育統(tǒng)計學課件05概率分布

第五章概率分布問題假設對1000名報考某高中的學生進行分班考試，若要按能力將這些學生分為A、B、C、D、E五個組（或等級），且每組能力組距相等。根據(jù)正態(tài)分布的理論，每一等級應分布多少學生?？

某套測驗中有10道正誤判斷題，若要了解學生對所測內容在什么情況下是真正領會了，或什么情況下屬猜測的成分多，應如何分析？第一節(jié)概率的基本概念

一、概率的定義隨機事件：指在一定條件下可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件概率：表示隨機事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標。一、概率的定義后驗概率（或統(tǒng)計概率）

隨機事件的頻率當n無限增大時，隨機事件A的頻率會穩(wěn)定在一個常數(shù)P，這個常數(shù)就是隨機事件A的概率。（6．1）先驗概率（古典概率）古典概率模型要求滿足兩個條件：⑴試驗的所有可能結果是有限的；⑵每一種可能結果出現(xiàn)的可能性相等。（6．2）二．概率的公理系統(tǒng)1．任何隨機事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數(shù)，即0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即P（A）=03．必然事件的概率等于1，即P（A）=1

三．概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件Ａ發(fā)生，則事件Ｂ就一定不發(fā)生，這樣的兩個事件為互不相容事件。兩互不相容事件和的概率，等于這兩個事件概率之和，即（6．3）（6．4）概率的乘法定理若事件Ａ發(fā)生不影響事件Ｂ是否發(fā)生，這樣的兩個事件為互相獨立事件。兩個互相獨立事件積的概率，等于這兩個事件概率的乘積，即（9．5）（9．6）例1：某一學生從５個試題中任意抽取一題，進行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個學生把抽過的試題還回后，后一個學生再抽，則４個學生都抽到試題1的概率是多少？

計算抽到第一題或第二題的概率應為抽到第一題的概率和抽到第二題的概率之和，即四個學生都抽到第一題即四個學生同時抽到第一題，其概率應為抽到第一題的概率的乘積，即例2：從30個白球和20個黑球共50個球中隨機抽取兩次（放回抽樣），問抽出一個黑球和一個白球的概率是多少？抽出一個白球的概率為3／5,抽出一個黑球的概率為2／5。抽出一個黑球和一個白球的情況應包括先抽出一個黑球、后抽出一個白球和先抽出一個白球、后抽出一個黑球兩種情況。因此：四、概率分布類型概率分布（probabilitydistribution）是指對隨機變量取不同值時的概率的描述，一般用概率分布函數(shù)進行描述。依不同的標準，對概率分布可作不同的分類。１、離散型分布與連續(xù)型分布依隨機變量的類型，可將概率分布分為離散型概率分布與連續(xù)型概率分布。心理與教育統(tǒng)計學中最常用的離散型分布是二項分布，最常用的連續(xù)型分布是正態(tài)分布。

２、經驗分布與理論分布依分布函數(shù)的來源，可將概率分布分為經驗分布與理論分布。經驗分布（empiricaldistribution）是指根據(jù)觀察或實驗所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布。理論分布（theoreticaldistribution）是按某種數(shù)學模型計算出的概率分布。３、基本隨機變量分布與抽樣分布依所描述的數(shù)據(jù)的樣本特性，可將概率分布分為基本隨機變量分布與抽樣分布（samplingdistribution）?；倦S機變量分布是隨機變量各種不同取值情況的概率分布，抽樣分布是從同一總體內抽取的不同樣本的統(tǒng)計量的概率分布。例如：統(tǒng)計資料表明：汽車事故經常發(fā)生在離家不遠的地方，是否意味著在離家遠的地方開車比在城里開車更安全。統(tǒng)計資料表明：大多數(shù)汽車事故出在中速行駛的過程中，極少事故是出在150/小時高速行駛過程中，是否意味著高速行駛比較安全？統(tǒng)計資料表明：一個國家喝牛奶和死于癌癥的人比例都很高，是否說明牛奶引起癌癥呢？第二節(jié)正態(tài)分布正態(tài)分布（normaldistribution）也稱為常態(tài)分布，是連續(xù)型隨機變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計的理論與實際應用中占有最重要地位的一種理論分布。正態(tài)分布由棣．莫弗于1733年發(fā)現(xiàn)的。拉普拉斯、高斯對正態(tài)分布的研究也做出了貢獻，故有時稱正態(tài)分布為高斯分布。1．正態(tài)分布曲線函數(shù)正態(tài)分布曲線函數(shù)又稱概率密度函數(shù)，其一般公式為公式所描述的正態(tài)曲線，由σ和μ兩個參數(shù)決定。（公式6-1）均值相同，標準差不同的正態(tài)形式正態(tài)分布的特點面積：p=1中央點最高，雙側對稱

一簇分布

→形狀，→位置

2．標準正態(tài)分布曲線將標準分數(shù)代入正態(tài)曲線函數(shù)并且，令σ＝1則公式變換為標準正態(tài)分布函數(shù)：以Ｚ為橫坐標，以Ｙ為縱坐標，可繪制標準正態(tài)分布曲線。標準正態(tài)分布曲線的縱線高度Ｙ為概率密度，曲線下的面積為概率。3．標準正態(tài)分布曲線的特點⑴．曲線在Ｚ＝０處達到最高點⑵．曲線以Ｚ＝０處為中心，雙側對稱⑶．曲線從最高點向左右緩慢下降，向兩側無限延伸，但永不與基線相交。⑷．標準正態(tài)分布曲線的平均數(shù)為０，標準差為１。從Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之間幾乎分布著全部數(shù)據(jù)。⑸．曲線的拐點為正負一個標準差處。三．標準正態(tài)分布表及使用1．標準正態(tài)分布表利用積分公式可求出正態(tài)曲線下任何區(qū)間的面積，但需要計算，非常麻煩。統(tǒng)計學家已編制好了標準正態(tài)分布表，使其使用非常方便。正態(tài)曲線表正態(tài)曲線表：以σ為測量面積的單位，用積分法則算出Z所對應的各個部分的面積（P）及y值，制成的曲線表。正態(tài)曲線表的三個數(shù)值面積值：p高度值：y刻度值：Z三個值的求解1、Z→P求均數(shù)（0）與某個Z值間的P值：查表法。例：Z=0～Z=1P=0.34134

Z=1.96P=0.475求Z值以上或以下的概率例：Z=1.96以上的概率P=0.5-0.475=0.025求任何兩個Z值間的P值例:-1.2σ~2.4σ0.6σ~1.5σ2P→Z

查表：近似結果例：P=0.30，Z=0.85

3、P→Y

查表法：近似結果例：P=0.30，Y=0.27798幾個常用值1．±1σ：2．±2σ：3．±3σ：

4．±1.96σ：5．±2.58σ：

正態(tài)理論的應用一求分布中特定分數(shù)間個體數(shù)量例：假設500名學生的數(shù)學成績分布符合正態(tài)分布。且已知平均分70，標準差5分。試問60分以下，60~80分，80分以上，這三個分數(shù)段中，學生的人數(shù)分布各為多少？已知：N=500，M=70，SD=5P←Z←M，SD，X解題步驟①

XZ

：

②ZP：③求各段的P60～80：

80以上：

④求各區(qū)間的人數(shù)：

60以下:60～80：80以上：

二確定能力分組或等級評定人數(shù)

例：假設對100名報考大學的學生進行分班考試，要按能力將這些學生分為A、B、C、D、E五個小組（或等級），每組能力組距相等，若考試成績所測得的分數(shù)是正態(tài)的，問A、B、C、D、E各組應當分布幾名學生？

解題步驟①確定Z值的范圍

②ZP

A=0.49865－0.46407=0.03458B=0.464017－0.22575=0.23832C=0.22575×2=0.4515D=B=0.23832E=A=0.03458（或0.03593）③求各組人數(shù)：

三分析試題的相對難度例：在一次共有四個試題的考試中，學生答對每題的人數(shù)百分比分別為：70%，50%，30%，10%。試問各題的難度如何？各題間的難度差一樣嗎？為什么？

①PZ：

試題答對率PZ

1.70.7－.5=.2-0.522.50.5－.5=00.003.30.3－.5=.20.524.10.1－.5=.41.28②求難度差

③線性轉換:試題答對率QP’ZDP

1.70.30.20-0.52.524.482.50.50.000.00.525.003.30.70.200.52.765.524.10.90.401.28－6.28四品質評定數(shù)量化

例：三位教師對100名學生的學習能力進行了等級評價。

教師對學生的評定

等級甲乙丙

A51020B252025C404035D252015E5105∑100100100

3名學生的所獲得的評定等級

學生教師甲教師乙教師丙

1BAA2ABA3DCC試比較其中三位學生學習能力的高低是否一樣？

解題 思路11、問題分析

①是否等值？②能否轉化？2、分析過程

甲教師評定結果

表7-3甲教師評定結果RnPA50.05B250.25C400.40D250.25E50.05∑1001.00⑵求各等級比率的中間值

①確定位置

②確定中間值

③確定查表值

A：P’=.05/2+.45=.475PF=.05/2+.95=.975

B：P’=.25/2+.2=.325PF=.25/2+.7=.825

C：P’=0PF=.5

⑶PZ

甲教師評定的相對結果

RnPP中值P’

Z

A50.050.9750.4751.96B250.250.8250.3250.93C400.40.50.0000.00D250.250.1750.3250.93E50.050.0250.4751.93∑100

由此可以得到三位老師的評定的Z分數(shù)等級教師甲教師乙教師丙A1.961.651.28B0.940.840.45C00-0.32D-0.94-0.84-1.15E-1.96-1.65-1.96練習某區(qū)要在2500名初三學生中選50名學生參加全市初中物理競賽。已知該區(qū)初三上學期物理考試成績近似正態(tài)分布，且平均數(shù)57分，標準差16分。若以這次考試為準來選拔參加競賽的學生，分數(shù)線應定為多少？

分析結果

①求入選率：②確定P’：③PZ：④ZX：第三節(jié)二項分布二項分布（bionimaldistribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里分布。1．二項試驗滿足以下條件的試驗稱為二項試驗：一次試驗只有兩種可能的結果，即成功和失?。桓鞔卧囼炏嗷オ毩?，即各次試驗之間互不影響；各次試驗中成功的概率相等，失敗的概率也相等。2．二項分布函數(shù)二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。數(shù)學模型

二項展開式的通式（即二項分布函數(shù)）：（6．7）二項展開式的要點：項數(shù)：二項展開式中共有n＋1項。方次：p的方次，從n→0為降冪；q的方次從0→n為升冪。每項p與q方次之和等于n。系數(shù)：各項系數(shù)是成、敗總人數(shù)的組合數(shù)。項數(shù)為奇數(shù)時：中間系數(shù)最大；項數(shù)為偶數(shù)時：中間兩項系數(shù)相等例10個硬幣拋一次，或一個硬幣拋十次，問五次或五次以上正面向上的概率是多少？P177例３：從男生占２/５的學校中隨機抽取６個學生，問正好抽到４個男生的概率是多少？最多抽到２個男生的概率是多少？解：將n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入（6．7）式，則恰好抽到4個男生的概率為最多抽到２個男生的概率，等于１個也沒有抽到、抽到１個和抽到兩個男生的概率之和，即3．二項分布圖以成功事件出現(xiàn)的次數(shù)為橫坐標，以成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)的概率為縱坐標，繪制直方圖或多邊圖，即為二項分布圖。二項分布是離散型分布，其概率直方圖是躍階式。二項分布的性質從概率直方圖可以看到，二項分布有如下性質：①．當p=q時，圖形是對稱的。②．當p≠q時，直方圖呈偏態(tài)。p＞q與p＜q時的偏斜方向相反。4．二項分布的平均數(shù)和標準差如果二項分布滿足p＞q且nq≥5（或者p＜q且np≥5時，二項分布接近于正態(tài)分布?？捎孟旅娴姆椒ㄓ嬎愣椃植嫉钠骄鶖?shù)和標準差。二項分布的平均數(shù)為二項分布的標準差為（6．8）（6．9）5．二項分布的應用二項分布函數(shù)除了用來求成功事件恰好出現(xiàn)X次的概率之外，在教育中主要用來判斷試驗結果的機遇性與真實性的界限。1二項分布的均數(shù)與標準差；應用前提

平均數(shù)

標準差

應用——猜測性

例：某測驗中有10道正誤選擇題，試分析學生的掌握情況或猜測的可能性。

①條件分析

②求均數(shù)和標準差③確定一定可信度時的掌握程度P=95%P=99%④結果解釋：練習1、某測驗有30個正誤題，試問學生要做對多少題，才屬掌握了所學的內容。

K=μ+1.96σ=202、設有10個正誤判斷題和10個選擇題（每題4個備選答案中只有一個正確），試比較兩套試題的優(yōu)劣（假設學生答對了8題）。

1）條件分析

2）正誤題的概率3）選擇題的概率

4）解釋

第四節(jié)樣本分布

樣本分布指樣本統(tǒng)計量的分布，是統(tǒng)計推論的重要依據(jù)。正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布t分布F分布2分布q分布

統(tǒng)計術語1、隨機樣本抽樣原則：隨機性要求：機會均等彼此獨立2、抽樣誤差定義：由抽樣的隨機性引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異。

一正態(tài)分布及漸進正態(tài)分布是指樣本統(tǒng)計量為正態(tài)分布或接近正態(tài)分布，可根據(jù)正態(tài)分布的概率進行統(tǒng)計推論。1樣本平均數(shù)的分布若總體正態(tài)，方差已知，則從中抽取容量為n的一切可能樣本的均數(shù)分布也呈正態(tài)；其中σx被稱為標準誤或者平均數(shù)的標準誤符號：SE（StandardError

）

解釋：SE越小，樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)越接近，樣本對總體的代表性越好，用樣本統(tǒng)計量推斷總體也越可靠?？傮w分布為非正態(tài)，但方差已知，只要n足夠大，樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。

意義：

闡明了樣本均數(shù)的分布；

給出樣本均數(shù)分布的兩個重要參數(shù)的計算方法。

標準誤與標準差的異同同：都是離中趨勢的指標。異：

S：一般變量值離中趨勢的指標。

SE：樣本統(tǒng)計量離中趨勢的指標。2方差及標準差的分布總體分布為正態(tài)，樣本容量為n，n足夠大，樣本方差及標準差的分布趨于正態(tài)，其分布的平均數(shù)與標準差與母總體的關系：（二）t分布1定義：由小樣本統(tǒng)計量形成的概率分布t分布與自由度（n-1）有關注：統(tǒng)計學上的自由度是指當以樣本的統(tǒng)計量來估計總體的參數(shù)時，樣本中獨立或能自由變化的自變量的個數(shù)，稱為該統(tǒng)計量的自由度。t分布的特點平均值為0，以平均值0左右對稱的分布，左側為負值，右側為正值