首師大教育統(tǒng)計(jì)學(xué)課件05概率分布

第五章概率分布問題假設(shè)對(duì)1000名報(bào)考某高中的學(xué)生進(jìn)行分班考試，若要按能力將這些學(xué)生分為A、B、C、D、E五個(gè)組（或等級(jí)），且每組能力組距相等。根據(jù)正態(tài)分布的理論，每一等級(jí)應(yīng)分布多少學(xué)生?？

某套測(cè)驗(yàn)中有10道正誤判斷題，若要了解學(xué)生對(duì)所測(cè)內(nèi)容在什么情況下是真正領(lǐng)會(huì)了，或什么情況下屬猜測(cè)的成分多，應(yīng)如何分析？第一節(jié)概率的基本概念

一、概率的定義隨機(jī)事件：指在一定條件下可能出現(xiàn)，也可能不出現(xiàn)的事件概率：表示隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小的客觀指標(biāo)。一、概率的定義后驗(yàn)概率（或統(tǒng)計(jì)概率）

隨機(jī)事件的頻率當(dāng)n無限增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)P，這個(gè)常數(shù)就是隨機(jī)事件A的概率。（6．1）先驗(yàn)概率（古典概率）古典概率模型要求滿足兩個(gè)條件：⑴試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的；⑵每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。（6．2）二．概率的公理系統(tǒng)1．任何隨機(jī)事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數(shù)，即0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即P（A）=03．必然事件的概率等于1，即P（A）=1

三．概率的加法定理和乘法定理概率的加法定理若事件Ａ發(fā)生，則事件Ｂ就一定不發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件為互不相容事件。兩互不相容事件和的概率，等于這兩個(gè)事件概率之和，即（6．3）（6．4）概率的乘法定理若事件Ａ發(fā)生不影響事件Ｂ是否發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件為互相獨(dú)立事件。兩個(gè)互相獨(dú)立事件積的概率，等于這兩個(gè)事件概率的乘積，即（9．5）（9．6）例1：某一學(xué)生從５個(gè)試題中任意抽取一題，進(jìn)行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個(gè)學(xué)生把抽過的試題還回后，后一個(gè)學(xué)生再抽，則４個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率是多少？

計(jì)算抽到第一題或第二題的概率應(yīng)為抽到第一題的概率和抽到第二題的概率之和，即四個(gè)學(xué)生都抽到第一題即四個(gè)學(xué)生同時(shí)抽到第一題，其概率應(yīng)為抽到第一題的概率的乘積，即例2：從30個(gè)白球和20個(gè)黑球共50個(gè)球中隨機(jī)抽取兩次（放回抽樣），問抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率是多少？抽出一個(gè)白球的概率為3／5,抽出一個(gè)黑球的概率為2／5。抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的情況應(yīng)包括先抽出一個(gè)黑球、后抽出一個(gè)白球和先抽出一個(gè)白球、后抽出一個(gè)黑球兩種情況。因此：四、概率分布類型概率分布（probabilitydistribution）是指對(duì)隨機(jī)變量取不同值時(shí)的概率的描述，一般用概率分布函數(shù)進(jìn)行描述。依不同的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)概率分布可作不同的分類。１、離散型分布與連續(xù)型分布依隨機(jī)變量的類型，可將概率分布分為離散型概率分布與連續(xù)型概率分布。心理與教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的離散型分布是二項(xiàng)分布，最常用的連續(xù)型分布是正態(tài)分布。

２、經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布依分布函數(shù)的來源，可將概率分布分為經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布。經(jīng)驗(yàn)分布（empiricaldistribution）是指根據(jù)觀察或?qū)嶒?yàn)所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對(duì)頻率分布。理論分布（theoreticaldistribution）是按某種數(shù)學(xué)模型計(jì)算出的概率分布。３、基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布依所描述的數(shù)據(jù)的樣本特性，可將概率分布分為基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布（samplingdistribution）。基本隨機(jī)變量分布是隨機(jī)變量各種不同取值情況的概率分布，抽樣分布是從同一總體內(nèi)抽取的不同樣本的統(tǒng)計(jì)量的概率分布。例如：統(tǒng)計(jì)資料表明：汽車事故經(jīng)常發(fā)生在離家不遠(yuǎn)的地方，是否意味著在離家遠(yuǎn)的地方開車比在城里開車更安全。統(tǒng)計(jì)資料表明：大多數(shù)汽車事故出在中速行駛的過程中，極少事故是出在150/小時(shí)高速行駛過程中，是否意味著高速行駛比較安全？統(tǒng)計(jì)資料表明：一個(gè)國(guó)家喝牛奶和死于癌癥的人比例都很高，是否說明牛奶引起癌癥呢？第二節(jié)正態(tài)分布正態(tài)分布（normaldistribution）也稱為常態(tài)分布，是連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占有最重要地位的一種理論分布。正態(tài)分布由棣．莫弗于1733年發(fā)現(xiàn)的。拉普拉斯、高斯對(duì)正態(tài)分布的研究也做出了貢獻(xiàn)，故有時(shí)稱正態(tài)分布為高斯分布。1．正態(tài)分布曲線函數(shù)正態(tài)分布曲線函數(shù)又稱概率密度函數(shù)，其一般公式為公式所描述的正態(tài)曲線，由σ和μ兩個(gè)參數(shù)決定。（公式6-1）均值相同，標(biāo)準(zhǔn)差不同的正態(tài)形式正態(tài)分布的特點(diǎn)面積：p=1中央點(diǎn)最高，雙側(cè)對(duì)稱

一簇分布

→形狀，→位置

2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線將標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)代入正態(tài)曲線函數(shù)并且，令σ＝1則公式變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)：以Ｚ為橫坐標(biāo)，以Ｙ為縱坐標(biāo)，可繪制標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的縱線高度Ｙ為概率密度，曲線下的面積為概率。3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)⑴．曲線在Ｚ＝０處達(dá)到最高點(diǎn)⑵．曲線以Ｚ＝０處為中心，雙側(cè)對(duì)稱⑶．曲線從最高點(diǎn)向左右緩慢下降，向兩側(cè)無限延伸，但永不與基線相交。⑷．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的平均數(shù)為０，標(biāo)準(zhǔn)差為１。從Ｚ＝－3至Ｚ＝＋3之間幾乎分布著全部數(shù)據(jù)。⑸．曲線的拐點(diǎn)為正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處。三．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及使用1．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表利用積分公式可求出正態(tài)曲線下任何區(qū)間的面積，但需要計(jì)算，非常麻煩。統(tǒng)計(jì)學(xué)家已編制好了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，使其使用非常方便。正態(tài)曲線表正態(tài)曲線表：以σ為測(cè)量面積的單位，用積分法則算出Z所對(duì)應(yīng)的各個(gè)部分的面積（P）及y值，制成的曲線表。正態(tài)曲線表的三個(gè)數(shù)值面積值：p高度值：y刻度值：Z三個(gè)值的求解1、Z→P求均數(shù)（0）與某個(gè)Z值間的P值：查表法。例：Z=0～Z=1P=0.34134

Z=1.96P=0.475求Z值以上或以下的概率例：Z=1.96以上的概率P=0.5-0.475=0.025求任何兩個(gè)Z值間的P值例:-1.2σ~2.4σ0.6σ~1.5σ2P→Z

查表：近似結(jié)果例：P=0.30，Z=0.85

3、P→Y

查表法：近似結(jié)果例：P=0.30，Y=0.27798幾個(gè)常用值1．±1σ：2．±2σ：3．±3σ：

4．±1.96σ：5．±2.58σ：

正態(tài)理論的應(yīng)用一求分布中特定分?jǐn)?shù)間個(gè)體數(shù)量例：假設(shè)500名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分布符合正態(tài)分布。且已知平均分70，標(biāo)準(zhǔn)差5分。試問60分以下，60~80分，80分以上，這三個(gè)分?jǐn)?shù)段中，學(xué)生的人數(shù)分布各為多少？已知：N=500，M=70，SD=5P←Z←M，SD，X解題步驟①

XZ

：

②ZP：③求各段的P60～80：

80以上：

④求各區(qū)間的人數(shù)：

60以下:60～80：80以上：

二確定能力分組或等級(jí)評(píng)定人數(shù)

例：假設(shè)對(duì)100名報(bào)考大學(xué)的學(xué)生進(jìn)行分班考試，要按能力將這些學(xué)生分為A、B、C、D、E五個(gè)小組（或等級(jí)），每組能力組距相等，若考試成績(jī)所測(cè)得的分?jǐn)?shù)是正態(tài)的，問A、B、C、D、E各組應(yīng)當(dāng)分布幾名學(xué)生？

解題步驟①確定Z值的范圍

②ZP

A=0.49865－0.46407=0.03458B=0.464017－0.22575=0.23832C=0.22575×2=0.4515D=B=0.23832E=A=0.03458（或0.03593）③求各組人數(shù)：

三分析試題的相對(duì)難度例：在一次共有四個(gè)試題的考試中，學(xué)生答對(duì)每題的人數(shù)百分比分別為：70%，50%，30%，10%。試問各題的難度如何？各題間的難度差一樣嗎？為什么？

①PZ：

試題答對(duì)率PZ

1.70.7－.5=.2-0.522.50.5－.5=00.003.30.3－.5=.20.524.10.1－.5=.41.28②求難度差

③線性轉(zhuǎn)換:試題答對(duì)率QP’ZDP

1.70.30.20-0.52.524.482.50.50.000.00.525.003.30.70.200.52.765.524.10.90.401.28－6.28四品質(zhì)評(píng)定數(shù)量化

例：三位教師對(duì)100名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行了等級(jí)評(píng)價(jià)。

教師對(duì)學(xué)生的評(píng)定

等級(jí)甲乙丙

A51020B252025C404035D252015E5105∑100100100

3名學(xué)生的所獲得的評(píng)定等級(jí)

學(xué)生教師甲教師乙教師丙

1BAA2ABA3DCC試比較其中三位學(xué)生學(xué)習(xí)能力的高低是否一樣？

解題 思路11、問題分析

①是否等值？②能否轉(zhuǎn)化？2、分析過程

甲教師評(píng)定結(jié)果

表7-3甲教師評(píng)定結(jié)果RnPA50.05B250.25C400.40D250.25E50.05∑1001.00⑵求各等級(jí)比率的中間值

①確定位置

②確定中間值

③確定查表值

A：P’=.05/2+.45=.475PF=.05/2+.95=.975

B：P’=.25/2+.2=.325PF=.25/2+.7=.825

C：P’=0PF=.5

⑶PZ

甲教師評(píng)定的相對(duì)結(jié)果

RnPP中值P’

Z

A50.050.9750.4751.96B250.250.8250.3250.93C400.40.50.0000.00D250.250.1750.3250.93E50.050.0250.4751.93∑100

由此可以得到三位老師的評(píng)定的Z分?jǐn)?shù)等級(jí)教師甲教師乙教師丙A1.961.651.28B0.940.840.45C00-0.32D-0.94-0.84-1.15E-1.96-1.65-1.96練習(xí)某區(qū)要在2500名初三學(xué)生中選50名學(xué)生參加全市初中物理競(jìng)賽。已知該區(qū)初三上學(xué)期物理考試成績(jī)近似正態(tài)分布，且平均數(shù)57分，標(biāo)準(zhǔn)差16分。若以這次考試為準(zhǔn)來選拔參加競(jìng)賽的學(xué)生，分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？

分析結(jié)果

①求入選率：②確定P’：③PZ：④ZX：第三節(jié)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布（bionimaldistribution）是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它是由貝努里創(chuàng)始的，因此又稱為貝努里分布。1．二項(xiàng)試驗(yàn)滿足以下條件的試驗(yàn)稱為二項(xiàng)試驗(yàn)：一次試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果，即成功和失敗；各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，即各次試驗(yàn)之間互不影響；各次試驗(yàn)中成功的概率相等，失敗的概率也相等。2．二項(xiàng)分布函數(shù)二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。數(shù)學(xué)模型

二項(xiàng)展開式的通式（即二項(xiàng)分布函數(shù)）：（6．7）二項(xiàng)展開式的要點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式中共有n＋1項(xiàng)。方次：p的方次，從n→0為降冪；q的方次從0→n為升冪。每項(xiàng)p與q方次之和等于n。系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)是成、敗總?cè)藬?shù)的組合數(shù)。項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)：中間系數(shù)最大；項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)：中間兩項(xiàng)系數(shù)相等例10個(gè)硬幣拋一次，或一個(gè)硬幣拋十次，問五次或五次以上正面向上的概率是多少？P177例３：從男生占２/５的學(xué)校中隨機(jī)抽?。秱€(gè)學(xué)生，問正好抽到４個(gè)男生的概率是多少？最多抽到２個(gè)男生的概率是多少？解：將n=6，p=2/5，q=3/5，X=4代入（6．7）式，則恰好抽到4個(gè)男生的概率為最多抽到２個(gè)男生的概率，等于１個(gè)也沒有抽到、抽到１個(gè)和抽到兩個(gè)男生的概率之和，即3．二項(xiàng)分布圖以成功事件出現(xiàn)的次數(shù)為橫坐標(biāo)，以成功事件出現(xiàn)不同次數(shù)的概率為縱坐標(biāo)，繪制直方圖或多邊圖，即為二項(xiàng)分布圖。二項(xiàng)分布是離散型分布，其概率直方圖是躍階式。二項(xiàng)分布的性質(zhì)從概率直方圖可以看到，二項(xiàng)分布有如下性質(zhì)：①．當(dāng)p=q時(shí)，圖形是對(duì)稱的。②．當(dāng)p≠q時(shí)，直方圖呈偏態(tài)。p＞q與p＜q時(shí)的偏斜方向相反。4．二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差如果二項(xiàng)分布滿足p＞q且nq≥5（或者p＜q且np≥5時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布?？捎孟旅娴姆椒ㄓ?jì)算二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。二項(xiàng)分布的平均數(shù)為二項(xiàng)分布的標(biāo)準(zhǔn)差為（6．8）（6．9）5．二項(xiàng)分布的應(yīng)用二項(xiàng)分布函數(shù)除了用來求成功事件恰好出現(xiàn)X次的概率之外，在教育中主要用來判斷試驗(yàn)結(jié)果的機(jī)遇性與真實(shí)性的界限。1二項(xiàng)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；應(yīng)用前提

平均數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)差

應(yīng)用——猜測(cè)性

例：某測(cè)驗(yàn)中有10道正誤選擇題，試分析學(xué)生的掌握情況或猜測(cè)的可能性。

①條件分析

②求均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差③確定一定可信度時(shí)的掌握程度P=95%P=99%④結(jié)果解釋：練習(xí)1、某測(cè)驗(yàn)有30個(gè)正誤題，試問學(xué)生要做對(duì)多少題，才屬掌握了所學(xué)的內(nèi)容。

K=μ+1.96σ=202、設(shè)有10個(gè)正誤判斷題和10個(gè)選擇題（每題4個(gè)備選答案中只有一個(gè)正確），試比較兩套試題的優(yōu)劣（假設(shè)學(xué)生答對(duì)了8題）。

1）條件分析

2）正誤題的概率3）選擇題的概率

4）解釋

第四節(jié)樣本分布

樣本分布指樣本統(tǒng)計(jì)量的分布，是統(tǒng)計(jì)推論的重要依據(jù)。正態(tài)分布及漸近正態(tài)分布t分布F分布2分布q分布

統(tǒng)計(jì)術(shù)語1、隨機(jī)樣本抽樣原則：隨機(jī)性要求：機(jī)會(huì)均等彼此獨(dú)立2、抽樣誤差定義：由抽樣的隨機(jī)性引起的樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)之間的差異。

一正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布是指樣本統(tǒng)計(jì)量為正態(tài)分布或接近正態(tài)分布，可根據(jù)正態(tài)分布的概率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論。1樣本平均數(shù)的分布若總體正態(tài)，方差已知，則從中抽取容量為n的一切可能樣本的均數(shù)分布也呈正態(tài)；其中σx被稱為標(biāo)準(zhǔn)誤或者平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤符號(hào)：SE（StandardError

）

解釋：SE越小，樣本統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)越接近，樣本對(duì)總體的代表性越好，用樣本統(tǒng)計(jì)量推斷總體也越可靠?？傮w分布為非正態(tài)，但方差已知，只要n足夠大，樣本均數(shù)的分布接近正態(tài)分布。

意義：

闡明了樣本均數(shù)的分布；

給出樣本均數(shù)分布的兩個(gè)重要參數(shù)的計(jì)算方法。

標(biāo)準(zhǔn)誤與標(biāo)準(zhǔn)差的異同同：都是離中趨勢(shì)的指標(biāo)。異：

S：一般變量值離中趨勢(shì)的指標(biāo)。

SE：樣本統(tǒng)計(jì)量離中趨勢(shì)的指標(biāo)。2方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布總體分布為正態(tài)，樣本容量為n，n足夠大，樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布趨于正態(tài)，其分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差與母總體的關(guān)系：（二）t分布1定義：由小樣本統(tǒng)計(jì)量形成的概率分布t分布與自由度（n-1）有關(guān)注：統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自由度是指當(dāng)以樣本的統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體的參數(shù)時(shí)，樣本中獨(dú)立或能自由變化的自變量的個(gè)數(shù)，稱為該統(tǒng)計(jì)量的自由度。t分布的特點(diǎn)平均值為0，以平均值0左右對(duì)稱的分布，左側(cè)為負(fù)值，右側(cè)為正值