第五講 動點問題

2121第五講動問題例1(2000年)圖1,在半徑6,圓角為90的扇形OAB的AB上有一個動P,PH⊥足為H,△OPH重心為(1)當在運動時線段GO、GP、GH中,無長度保持不變的線段果有,指出這樣的線段求出相應(yīng)的長度.(2)PH

,于x的函數(shù)解析式，并寫函數(shù)的定義域(自變量x的取值范圍).(3)如△是等腰三角形,試求出線段PH的長解:(1)點在弧上動時OP保持不變,是線段、、中長度保持不變的線段，這條線段是GH=

22NH=OP=2.332

B(2)在Rt△POH

中,

OHOP

,∴

POH

.

N

G

x在RtMPH中,

O

M

H

APH

1x362

.

圖1∴

=GP=MP=3

36x

(0<<6).(3)△等腰三角形有三種可能情況①GP=PH,

13

36x

2

x,得經(jīng)檢驗,x

是原方程的根

,且符合題意.②GP=GH,

13

36x2得.經(jīng)檢驗,是原方程的根,不符合題意.③PH=GH,

x

.綜上所述,果△PGH是等腰三角形么線段PH長為二、應(yīng)用例式建立函數(shù)解析式

或例22006年·山東）如圖在ABC,AB=AC=1,D,E在直線BC上運動.設(shè)BD=,之間的數(shù)解析式；(1)如果∠°,∠DAE=105°確定

.(2)如果∠的度數(shù)的度數(shù)為足怎樣的關(guān)系式時,(1)

與x之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°∴∠ABC=ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°∵∠BAC=30,∠DAE=105,∴∠DAB+CAE=75°,又∠DAB+ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴,CE

D

A

E∴

xy

,∴

y

1x

.

B圖

5●5●(2)由∠DAB+CAE=

,∠DAB+∠ADB=∠ABC=

90

2

,函數(shù)關(guān)系式成立∴

90

2

=

,

整理得

2

90

.

2

90

時,函數(shù)解析式

y

1x

成立.例3(2005年上海)圖3(1),△ABC,∠ABC=90,AB=4,BC=3.點邊上的一個動點點O為圓心作圓,與邊切于點D,交線段OC于點E.作EP⊥ED,射線AB于P,交射CB點F.(1)求:eq\o\ac(△,x)∽△AEP.(2)OA=,AP=y,關(guān)于函數(shù)解析式,寫出它的定義域.(3)當BF=1時線段AP的.解:(1)結(jié)OD.根據(jù)題意,OD⊥AB,∴∠°∠∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠∠∠AEP,∴△△AEP.(2)∵ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°∴OD∥BC,∴

xADx,355

,(

0

3∴OD=x,AD=.∴AE=xx=x.55584xxAD∵△ADE△AEP,∴,∴AE8x525x).8

.∴

y

x

C

P

F

B3(2)

EO

D

A(3)BF=1，①若EP線段CB的延長線于點F,圖3(1)，則CF=4.∵∠AEP,∴PEC.FBP=DEP=90,∠FPB=∠DPE,∴∠F=PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.8=4,得x.求得y2,AP=2.∴5-58

B

F②若EP交段CB于點F,如圖3(2),則CF=2.類似①,得CF=CE.

P815∴5-=2,得x.58可求得yAP=6.

C

3(1)

●EO

D

A綜上所述,當BF=1時段AP的長為2或6.4、?郴州）如圖，在平面直角坐標系中，A、兩點的坐標分別是（，）和（，），P是線段上的一動點（不與A、重合），坐標為（m，﹣m）（m為常數(shù)）．（1）求經(jīng)過、P、三點的拋物線的解析式；（2）當P點線段上移動時，過O、、B三點的拋物線的對稱軸是否會隨著P的移動而改變；（3）當P動到點（）時，請你在過O、P、三點的拋物線上至少找出兩點，使每個點都能與、兩點構(gòu)成等腰三角形，并求出這兩點的坐標．

考點：二次函數(shù)綜合題。分析：（1設(shè)出拋物線的解析式，根據(jù)拋物線經(jīng)過原點，B點，P點可列出方程求出a，的值確定解析式；（2）求出拋物線的稱軸，可知是個定值，故不變；（3）可作出對稱軸x軸的交點為K，過K點作PB的垂直平分線，交拋物線于兩點，這兩點就符合要求．解答：解：（）設(shè)拋物線的解析式為+bx+c，因為拋物線過原點O（，）．所以c=0．，．所以﹣x

+

x；（2拋物線的對稱軸是﹣=．所以它不會隨的移動而改變；（3點0滿足設(shè)拋物線的對稱軸與x軸于K，過作PB的垂直平分線交拋物線于QQ點則△QPB△PB是腰三角形．因為P點的坐標是（，）．所以QQ的解析式是y=x，拋物線的解析式為y=﹣2x+2x．所以直線和拋物線的交點Q，Q兩點的坐標是（），（，﹣）．

，

5（2011湘西州）如圖．拋物線y=x﹣與x軸相交于點A和點B與y軸交于點C．（1）求點A、點和點C的坐標．（2）求直線AC的解析式．（3）設(shè)點是第二象限內(nèi)拋物線上的一點，且=6求點M的坐標．（4）若點P在線上以每秒個單位長度的速度從動（不與BA重合），同時，點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運．設(shè)運動的時間為t，請求出△APQ面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并出當t何值時，△APQ的面積最大，最大面積是多少？考點：二次函數(shù)綜合題。專題：綜合題。分析：（1令y=0求得拋物線與橫軸的交點坐標，令x=0求得圖象與軸的點坐標即可．（2）利用已知的兩的坐標根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式即可．（3）設(shè)出點M的坐標為（x，﹣x﹣2x+3），然后表示出其面積

=6，解得即可．（4）證明BNP∽△BEO，由已知令y=0出點E的坐標，利用線段比求NPBE的長．求S與t的函數(shù)關(guān)系式后用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．解答（1令x﹣2x+3=0（（﹣1）=0x=，x=1A﹣3，0）B（，0），C03）；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得，解之得，；（3）設(shè)M點坐標為（，﹣﹣），AB=4，因為在第二象限，所以﹣﹣2x+3＞，所以=6，解之，得=0x=﹣，

∵AO=3CO=3，∴△是等腰直角三角形，，所以點的縱坐標為tS=∵，∴當t=2時，△最大，最大面積是．

（＜t＜）當x=0時，y=3，（不合題意）當﹣2時，y=3．所以點的坐標為（﹣，3）；（4）由題意，得，PB=4﹣，點評本題是二次函數(shù)的綜合題型其中涉及的到大知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．6（2011山東菏澤20，12分）如圖，拋物線y=（1）求拋物線的解式及頂點坐標；（2）判斷ABC形狀，證明你的結(jié)論；

x+﹣2與x軸交于A，B點，與y軸交于C點且（﹣10）．

OM（3）點M，）是上的一個動點，當+的值最小時，求m值．OM考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）把A的坐標代入拋物線解析式，求b值，即可的出拋物線的解析式，根據(jù)頂點坐標公式，即可求出頂點坐標；（2）根據(jù)直角三角的性質(zhì)，推出AC+OC=5BCOC+

=20，即AC+BC=25=AB，即可確△ABC是直角三角形；（3）作出點關(guān)于x的對稱點C′，′（，2，OC連接C'D交x軸于點M，根軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+的值最?。紫却_定最小值，然后根據(jù)三角形相似的有關(guān)性質(zhì)定理，求m值解答：解：（）把點A（﹣1）的坐標代入拋物線的解析式y(tǒng)=

x+bx﹣，整理后解得b，所以拋物線的解析式為

322

．頂點D

25

；（2=5AC

=+OC=5

=+OB=20∴AC+=，∴△ABC是直角三