高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題八立體幾何4直線平面垂直的判定與性質(zhì)綜合篇課件新人教A版

考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)1.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義如果直線l和平面α內(nèi)的①任意一條

直線都垂直,我們就說直線l與平

面α垂直,記作l⊥α.(2)直線與平面垂直的判定和性質(zhì)考點清單類別文字語言圖形語言符號語言判定如果一條直線與一個平面內(nèi)的②兩條相

交直線

都垂直,則該直線與此平面垂直(即線線垂直?線面垂直)

?③

l⊥α

如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面

?b⊥α性質(zhì)如果一條直線和一個平面垂直,則這條直線

垂直于平面內(nèi)任意一條直線(即線面垂直?線線垂直)

?④

a⊥b

垂直于同一個平面的兩條直線平行

?a∥b2.直線與平面所成的角(1)定義:平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的⑤銳角

叫做這

條直線和這個平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角

是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°的角.(2)線面角θ的取值范圍:0°≤θ≤90°.常用結(jié)論(1)過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.(2)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.直線l和平面α的位置關(guān)系l?α或l∥αl⊥αl和α斜交θ(直線l與平面α所成的角)的取值范圍θ=0°θ=90°0°<θ<90°考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)1.二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做

二面角的棱,這兩個半平面叫做二面角的面.如果記棱為l,那么兩個面分

別為α、β的二面角記作α-l-β.在二面角的棱上任取一點,以該點為垂足,在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于

棱的射線,則兩射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.類別文字語言圖形語言符號語言判定兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直

∠AOB是二面角α-l-β的

平面角,且∠AOB=90°,

則α⊥β

如果一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面互相垂直(即線面垂直?面面垂直)

?⑥

β⊥α

2.面面垂直的判定和性質(zhì)性質(zhì)如果兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面

?l⊥α

如果兩個相交平面同時垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面

?l⊥γ知識拓展

垂直問題的轉(zhuǎn)化方向圖

在垂直關(guān)系中,線面垂直是核心,已知線面垂直,既可為證明線線垂直提供

依據(jù),又可為利用判定定理證明面面垂直做好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)

定理時,一般需作輔助線,基本作法是過其中一個平面內(nèi)不在棱上的一點

作交線的垂線,從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為

線線垂直問題.考法一證明直線與平面垂直的方法知能拓展例1如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E

是PB的中點,F是DC上的點,且DF=

AB,PH為△PAD中邊AD上的高.求證:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.解題導(dǎo)引(1)結(jié)合已知條件分析可知,欲證PH⊥平面ABCD,只需證PH⊥

AB,由AB⊥平面PAD得證(注意使用分析法,找出使線面垂直成立的充分

條件);(2)欲證EF⊥平面PAB,可轉(zhuǎn)化為證與EF平行的直線垂直于平面

PAB,再結(jié)合已知條件PD=AD,取PA的中點M,證明MD⊥平面PAB即可.證明(1)因為AB⊥平面PAD,PH?平面PAD,所以PH⊥AB.因為PH為△PAD中邊AD上的高,所以PH⊥AD.因為AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD.(2)如圖,取PA的中點M,連接MD,ME.因為E是PB的中點,所以ME=

AB,ME∥AB.又因為DF=

AB,DF∥AB,所以ME=DF,ME∥DF,所以四邊形MEFD是平行四邊形,所以EF∥MD.因為PD=AD,M是PA的中點,所以MD⊥PA.因為AB⊥平面PAD,DM?平面PAD,所以MD⊥AB.因為PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.方法總結(jié)證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法:①線面垂直的判定定理;②直線垂直

于平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);③面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥

β);④面面垂直的性質(zhì).(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直,而證明線線垂直需借助線面垂直

的性質(zhì).經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

S是Rt△ABC所在平面外的一點,且SA=SB=SC,D為斜邊AC的中點.(1)求證:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.

解題導(dǎo)引證明(1)如圖所示,取AB的中點E,連接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分別為AC,AB的中點,∴DE∥BC,∵BC⊥AB,∴DE⊥AB,∵SA=SB,∴SE⊥AB.又DE,SE?平面SDE,且SE∩DE=E,∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE,∴AB⊥SD.在△SAC中,SA=SC,D為AC的中點,∴SD⊥AC.又AC,AB?平面ABC,且AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC,且BD?平面ABC,∴SD⊥BD,又SD,AC?平面SAC,且SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.例

(2017廣東廣州一模,19)如圖①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥

BC,BD⊥DC,點E是BC邊的中點,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面

BCD,連接AE,AC,DE,得到如圖②所示的幾何體.(1)求證:AB⊥平面ADC;(2)若AD=1,AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角的正切值為

,求點B到平面ADE的距離.圖①圖②解題導(dǎo)引(1)(2)由(1)得∠DAC為AC與平面ABD所成的角

由tan∠DAC=

=

及AD=1得CD=

利用△ABD∽△DCB得直角梯形各邊邊長

利用VB-ADE=VA-BDE得點B到平面ADE的距離解析(1)證明:因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BD

⊥DC,DC?平面BCD,所以DC⊥平面ABD.因為AB?平面ABD,所以DC⊥AB,又因為AD⊥AB,且DC∩AD=D,所以AB⊥平面ADC.(2)由(1)知DC⊥平面ABD,所以AC在平面ABD內(nèi)的正投影為AD,即∠DAC

為AC與其在平面ABD內(nèi)的正投影所成角.依題意得tan∠DAC=

=

,因為AD=1,所以CD=

.設(shè)AB=x(x>0),則BD=

,因為△ABD∽△DCB,所以

=

,即

=

,解得x=

,故AB=

,BD=

,BC=3.由于AB⊥平面ADC,AC?平面ADC,所以AB⊥AC,又E為BC的中點,所以由平面幾何知識得AE=

=

,因為BD⊥DC,E為BC的中點,所以DE=

=

,所以S△ADE=

×1×

=

.因為DC⊥平面ABD,所以VA-BCD=VC-ABD=

CD·S△ABD=

.設(shè)點B到平面ADE的距離為d.則由

d·S△ADE=VB-ADE=VA-BDE=

VA-BCD=

,得d=

,即點B到平面ADE的距離為

.考法二證明平面與平面垂直的方法例2

(2020山東仿真聯(lián)考,18)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC為等腰直

角三角形,AA1=

AB=

AC=2

,平面BB1C1C⊥平面ABC,點E為棱A1A的中點,∠B1BC=60°.(1)證明:平面B1CE⊥平面BB1C1C;(2)求二面角A-B1C-E的余弦值.解析(1)證明:分別取BC,B1C的中點O和F,連接OA,OF,EF,B1O.因為AB=

AC,O為BC的中點,所以AO⊥BC,因為平面BB1C1C⊥平面ABC,且平面BB1C1C∩平面ABC=BC,所以AO⊥平面BB1C1C.因為F是B1C的中點,O是BC的中點,所以FO∥BB1,且FO=

BB1,因為點E為棱A1A的中點,AA1BB1,所以AE∥BB1,且AE=

BB1,所以FO∥AE,且FO=AE,所以四邊形AOFE是平行四邊形,則EF∥AO.因為AO⊥平面BB1C1C,所以EF⊥平面BB1C1C,因為EF?平面B1CE,所以平面B1CE⊥平面BB1C1C.(2)由題意得B1O⊥BC,則B1O⊥平面ABC,故OA,OC,OB1兩兩垂直.以O(shè)為坐

標(biāo)原點,

,

,

的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則A(

,0,0),C(0,

,0),B1(0,0,

),E

,故

=(0,

,-

),

=

,

=(-

,

,0),設(shè)平面B1CE的法向量為m=(x1,y1,z1),則

令z1=1,得m=(0,

,1).設(shè)平面AB1C的法向量為n=(x2,y2,z2),則

令y2=

,得n=(

,

,1),則cos<m,n>=

=

=

,由圖可知二面角A-B1C-E為銳二面角,則二面角A-B1C-E的余弦值為

.方法總結(jié)

證明面面垂直的常用方法1.利用面面垂直的定義(作出兩平面構(gòu)成的二面角的平面角,計算平面角

為90°);2.利用面面垂直的判定定理:a⊥β,a?α?α⊥β;3.證明兩個平面垂直,通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直

來實現(xiàn)的,因此,在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、

面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.經(jīng)典例題以下為教師用書專用例

(2018河南洛陽一模,19)如圖,在四棱錐E-ABCD中,△EAD為等邊三角

形,底面ABCD為等腰梯形,滿足AB∥CD,AD=DC=

AB,且AE⊥BD.(1)證明:平面EBD⊥平面EAD;(2)若△EAD的面積為

,求點C到平面EBD的距離.解題導(dǎo)引解析(1)證明:如圖,取AB的中點M,連接DM,由題意可知四邊形BCDM為

平行四邊形,∴DM=CB=AD=

AB,

(1分)即點D在以線段AB為直徑的圓上,∴BD⊥AD,

(3分)又AE⊥BD,且AE∩AD=A,∴BD⊥平面EAD.

(4分)∵BD?平面EBD,∴平面EBD⊥平面EAD.

(6分)(2)∵BD⊥平面EAD,且BD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面EAD.

(7分)∵等邊△EAD的面積為

,∴AD=AE=ED=2.

(8分)取AD的中點O,連接EO,則EO⊥AD,EO=

,∵平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD∩平面ABCD=AD,∴EO⊥平面ABCD.由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,∴BD=

=2

,∴S△EBD=

ED·BD=2

.

(10分)設(shè)點C到平面EBD的距離為h,由VC-EBD=VE-BCD,得

S△EBD·h=

S△BCD·EO,又S△BCD=

BC·CDsin120°=

,∴h=

.∴點C到平面EBD的距離為

.

(12分)例

(2020北大附中模擬,17)如圖1,在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,過

A點作CD的垂線,交CD的延長線于點E,AE=

.連接EB,交AD于點F,將△ADE沿AD折起,使得點E到達(dá)點P的位置,如圖2.(1)證明:平面BFP⊥平面BCP;(2)若G為PB的中點,H為CD的中點,且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱錐G-

BCH的體積.圖1

圖2解析(1)證明:在題圖1的Rt△BAE中,AB=3,AE=

,所以∠AEB=60°.在Rt△AED中,AD=2,AE=

,所以∠DAE=30°.所以∠AFE=90°,即BE⊥AD.所以在題圖2中,PF⊥AD,BF⊥AD.又因為AD∥BC,所以PF⊥BC,BF⊥BC.又因為PF,BF?平面BFP,PF∩BF=F,所以BC⊥平面BFP,又因為BC?平面BCP,所以平面BFP⊥平面BCP.(2)解法一:因為平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF?

平面ADP,PF⊥AD,所以PF⊥平面ABCD.取BF的中點O,連接BD,GO,則GO∥PF,所以GO⊥平面ABCD,即GO為三棱錐G-BCH的高.又GO=

PF=

·PA·sin30°=

,所以三棱錐G-BCH的體積V=

S△BCH·GO=

×

S△BCD×

=

×

×

=

.解法二:因為平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF?平面ADP,PF⊥AD,所以PF⊥平面ABCD.因為G為PB的中點,所以三棱錐G-BCH的高等于

PF,因為H為CD的中點,所以△BCH的面積是平行四邊形ABCD的面積的

,從而三棱錐G-BCH的體積是四棱錐P-ABCD的體積的

.而VP-ABCD