精選模糊層次分析方法講義

（優(yōu)選）模糊層次分析方法當前1頁，總共79頁。

層次分析法（AHP）是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂(T.L.Saaty)于上世紀70年代初，為美國國防部研究“根據各個工業(yè)部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配”課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。這種方法的特點是在對復雜的決策問題的本質、影響因素及其內在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。是對難于完全定量的復雜系統作出決策的模型和方法。當前2頁，總共79頁。決策是指在面臨多種方案時需要依據一定的標準選擇某一種方案。日常生活中有許多決策問題。舉例

1.在海爾、新飛、容聲和雪花四個牌號的電冰箱中選購一種。要考慮品牌的信譽、冰箱的功能、價格和耗電量。

2.在泰山、杭州和承德三處選擇一個旅游點。要考慮景點的景色、居住的環(huán)境、飲食的特色、交通便利和旅游的費用。

3.在基礎研究、應用研究和數學教育中選擇一個領域申報科研課題。要考慮成果的貢獻（實用價值、科學意義），可行性（難度、周期和經費）和人才培養(yǎng)。當前3頁，總共79頁。一、層次分析法概述二、層次分析法的基本原理三、層次分析法的步驟和方法四、層次分析法的廣泛應用五、應用層次分析法的注意事項六、層次分析法應用實例層次分析法建模當前4頁，總共79頁。一、層次分析法概述人們在對社會、經濟以及管理領域的問題進行系統分析時，面臨的經常是一個由相互關聯、相互制約的眾多因素構成的復雜系統。層次分析法則為研究這類復雜的系統，提供了一種新的、簡潔的、實用的決策方法。層次分析法(AHP法)是一種解決多目標的復雜問題的定性與定量相結合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結合起來，用決策者的經驗判斷各衡量目標能否實現的標準之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標準的權數，利用權數求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應用于那些難以用定量方法解決的課題。當前5頁，總共79頁。層次分析法是社會、經濟系統決策中的有效工具。其特征是合理地將定性與定量的決策結合起來，按照思維、心理的規(guī)律把決策過程層次化、數量化。是系統科學中常用的一種系統分析方法。該方法自1982年被介紹到我國以來，以其定性與定量相結合地處理各種決策因素的特點，以及其系統靈活簡潔的優(yōu)點，迅速地在我國社會經濟各個領域內，如工程計劃、資源分配、方案排序、政策制定、沖突問題、性能評價、能源系統分析、城市規(guī)劃、經濟管理、科研評價等，得到了廣泛的重視和應用。當前6頁，總共79頁。二、層次分析法的基本原理

層次分析法根據問題的性質和要達到的總目標，將問題分解為不同的組成因素，并按照因素間的相互關聯影響以及隸屬關系將因素按不同層次聚集組合，形成一個多層次的分析結構模型，從而最終使問題歸結為最低層(供決策的方案、措施等)相對于最高層(總目標)的相對重要權值的確定或相對優(yōu)劣次序的排定。當前7頁，總共79頁。三、層次分析法的步驟和方法

運用層次分析法構造系統模型時，大體可以分為以下四個步驟：

1.建立層次結構模型

2.構造判斷(成對比較)矩陣

3.層次單排序及其一致性檢驗

4.層次總排序及其一致性檢驗

當前8頁，總共79頁。1.建立層次結構模型

將決策的目標、考慮的因素（決策準則）和決策對象按它們之間的相互關系分為最高層、中間層和最低層，繪出層次結構圖。

最高層：決策的目的、要解決的問題。

最低層：決策時的備選方案。

中間層：考慮的因素、決策的準則。對于相鄰的兩層，稱高層為目標層，低層為因素層。下面舉例說明。當前9頁，總共79頁。例1大學畢業(yè)生就業(yè)選擇問題獲得大學畢業(yè)學位的畢業(yè)生，在“雙向選擇”時，用人單位與畢業(yè)生都有各自的選擇標準和要求。就畢業(yè)生來說選擇單位的標準和要求是多方面的，例如：①能發(fā)揮自己才干作出較好貢獻（即工作崗位適合發(fā)揮自己的專長）；②工作收入較好（待遇好）；③生活環(huán)境好（大城市、氣候等工作條件等）；④單位名聲好（聲譽等）；⑤工作環(huán)境好（人際關系和諧等）⑥發(fā)展晉升機會多（如新單位或前景好）等。當前10頁，總共79頁。工作選擇可供選擇的單位P1’

P2，Pn

貢獻收入發(fā)展聲譽工作環(huán)境生活環(huán)境目標層準則層方案層當前11頁，總共79頁。目標層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.當前12頁，總共79頁。

例3科研課題的選擇

某研究所現有三個科研課題，限于人力及物力，只能研究一個課題。有三個須考慮的因素：(1)科研成果貢獻大小(包括實用價值和科學意義)；(2)人材的培養(yǎng)；(3)課題的可行性(包括課題的難易程度、研究周期及資金)。在這些因素的影響下，如何選擇課題?當前13頁，總共79頁。

將決策問題分為3個或多個層次：最高層：目標層。表示解決問題的目的，即層次分析要達到的總目標。通常只有一個總目標。中間層：準則層、指標層、…。表示采取某種措施、政策、方案等實現預定總目標所涉及的中間環(huán)節(jié)；一般又分為準則層、指標層、策略層、

約束層等。最低層：方案層。表示將選用的解決問題的各種措施、

政策、方案等。通常有幾個方案可選。每層有若干元素，層間元素的關系用相連直線表示。層次分析法的思維過程的歸納

層次分析法所要解決的問題是關于最低層對最高層的相對權重問題，按此相對權重可以對最低層中的各種方案、措施進行排序，從而在不同的方案中作出選擇或形成選擇方案的原則。當前14頁，總共79頁。2.構造判斷(成對比較)矩陣

在確定各層次各因素之間的權重時，如果只是定性的結果，則常常不容易被別人接受，因而Santy等人提出：一致矩陣法，即：1.不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互比較。2.對此時采用相對尺度，以盡可能減少性質不同的諸因素相互比較的困難，以提高準確度。心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個，即每層不要超過9個因素。判斷矩陣是表示本層所有因素針對上一層某一個因素的相對重要性的比較。判斷矩陣的元素aij用Santy的1-9標度方法給出。當前15頁，總共79頁。判斷矩陣元素aij的標度方法標度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2，4，6，8上述兩相鄰判斷的中值倒數因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij當前16頁，總共79頁。

設要比較各準則C1,C2,…,Cn對目標O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權向量選擇旅游地目標層O(選擇旅游地)準則層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途C1C2C3C4C5C1C2C3C4C5稍加分析就發(fā)現上述成對比較矩陣有問題當前17頁，總共79頁。成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍當前18頁，總共79頁?？疾焱耆恢碌那闆r可作為一個排序向量成對比較滿足的正互反陣A稱一致陣。

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

非零特征根n所對應的特征向量歸一化后可作為權向量對于不一致(但在允許范圍內)的成對比較陣A，Saaty等人建議用對應于最大特征根的特征向量作為權向量w，即一致陣性質但允許范圍是多大？如何界定？當前19頁，總共79頁。3.層次單排序及其一致性檢驗

對應于判斷矩陣最大特征根λmax的特征向量，經歸一化(使向量中各元素之和等于1)后記為W。

W的元素為同一層次因素對于上一層次因素某因素相對重要性的排序權值，這一過程稱為層次單排序。能否確認層次單排序，需要進行一致性檢驗，所謂一致性檢驗是指對A確定不一致的允許范圍。

定理：n階一致陣的唯一非零特征根為n定理：n

階正互反陣A的最大特征根

n,當且僅當

=n時A為一致陣當前20頁，總共79頁。由于λ

連續(xù)的依賴于aij

，則λ

比n

大的越多，A的不一致性越嚴重。用最大特征值對應的特征向量作為被比較因素對上層某因素影響程度的權向量，其不一致程度越大，引起的判斷誤差越大。因而可以用λ-n

數值的大小來衡量A的不一致程度。定義一致性指標:CI=0，有完全的一致性CI接近于0，有滿意的一致性CI越大，不一致越嚴重當前21頁，總共79頁。RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標RI。方法為Saaty的結果如下隨機一致性指標RI則可得一致性指標隨機構造500個成對比較矩陣當前22頁，總共79頁。一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率<0.1及隨機一致性指標的數值表，對進行檢驗的過程。

一般，當一致性比率的不一致程度在容許范圍之內，有滿意的一致性，通過一致性檢驗?？捎闷錃w一化特征向量作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣A，對aij

加以調整。時，認為定義一致性比率：當前23頁，總共79頁。“選擇旅游地”中準則層對目標的權向量及一致性檢驗準則層對目標的成對比較陣最大特征根=5.073權向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標隨機一致性指標RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗當前24頁，總共79頁。正互反陣最大特征根和特征向量的簡化計算

精確計算的復雜和不必要

簡化計算的思路——一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法——取列向量的算術平均列向量歸一化求

行

和

歸

一

化精確結果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010當前25頁，總共79頁。4.層次總排序及其一致性檢驗

計算某一層次所有因素對于最高層(總目標)相對重要性的權值，稱為層次總排序。這一過程是從最高層次到最低層次依次進行的。對總目標Z的排序為的層次單排序為當前26頁，總共79頁。即B

層第i

個因素對總目標的權值為：層的層次總排序為：B層的層次總排序AB當前27頁，總共79頁。層次總排序的一致性檢驗設層對上層(層)中因素的層次單排序一致性指標為，隨機一致性指為，則層次總排序的一致性比率為：當時，認為層次總排序通過一致性檢驗。層次總排序具有滿意的一致性，否則需要重新調整那些一致性比率高的判斷矩陣的元素取值。

到此，根據最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。當前28頁，總共79頁。記第2層（準則）對第1層（目標）的權向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準則)的權向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1=3.0052=3.002

…

5

=3.0權向量w1(3)w2(3)…

w5(3)

=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)選擇旅游地當前29頁，總共79頁。第3層對第2層的計算結果

w(2)

0.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.47530.1420.4290.4290.0553.0090.1750.1930.6330.09030.6680.1660.1660.110組合權向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗方案P1對目標的組合權重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標的組合權向量為(0.300,0.246,0.456)T當前30頁，總共79頁。1.建立層次結構模型該結構圖包括目標層，準則層，方案層。層次分析法的基本步驟歸納如下3.計算單排序權向量并做一致性檢驗2.構造成對比較矩陣從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。當前31頁，總共79頁。計算最下層對最上層總排序的權向量。4.計算總排序權向量并做一致性檢驗進行檢驗。若通過，則可按照總排序權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率較大的成對比較矩陣。利用總排序一致性比率當前32頁，總共79頁。四.層次分析法的廣泛應用

應用領域：經濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產決策，交通運輸，科研選題，產業(yè)結構，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。

處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。

建立層次分析結構模型是關鍵一步，要有主要決策層參與。

構造成對比較陣是數量依據，應由經驗豐富、判斷力強的專家給出。當前33頁，總共79頁。國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關系位置供選擇的崗位例1

國家實力分析例2

工作選擇當前34頁，總共79頁。過河的效益

A經濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當地商業(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇當前35頁，總共79頁。過河的代價

A經濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結構例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇當前36頁，總共79頁。待評價的科技成果直接經濟效益

C11間接經濟效益

C12社會效益

C13學識水平

C21學術創(chuàng)新

C22技術水平

C23技術創(chuàng)新

C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價當前37頁，總共79頁。

層次分析法的優(yōu)點系統性——將對象視作系統，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進行決策。成為成為繼機理分析、統計分析之后發(fā)展起來的系統分析的重要工具；

實用性——定性與定量相結合，能處理許多用傳統的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性；

簡潔性——計算簡便，結果明確，具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本原理并掌握該法的基本步驟，容易被決策者了解和掌握。便于決策者直接了解和掌握。五、應用層次分析法的注意事項當前38頁，總共79頁。層次分析法的局限囿舊——只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案；

粗略——該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙的，不適用于精度較高的問題。；

主觀——從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑。當前39頁，總共79頁。六、層次分析法應用實例某單位擬從3名干部中選拔一名領導，選拔的標準有政策水平、工作作風、業(yè)務知識、口才、寫作能力和健康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評估、量化排序。當前40頁，總共79頁。目標層選一領導干部

準則層

方案層健康狀況業(yè)務知識口才寫作能力工作作風政策水平⑴建立層次結構模型當前41頁，總共79頁。健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風A的最大特征值相應的特征向量為：⑵構造成對比較矩陣及層次單排序一致性指標隨機一致性指標RI=1.24(查表)一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565<0.1通過一致性檢驗當前42頁，總共79頁。假設3人關于6個標準的判斷矩陣為：健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風當前43頁，總共79頁。由此可求得各屬性的最大特征值和相應的特征向量。特征值健康情況業(yè)務知識寫作能力口才政策水平工作作風3.02

3.02

3.05

3.053.003.02各屬性的最大特征值均通過一致性檢驗當前44頁，總共79頁。從而有即在3人中應選擇A擔任領導職務。⑶層次總排序及一致性檢驗當前45頁，總共79頁。旅游問題(1)建模分別分別表示景色、費用、居住、飲食、旅途。分別表示蘇杭、北戴河、桂林。當前46頁，總共79頁。（2）構造成對比較矩陣當前47頁，總共79頁。(3)計算層次單排序的權向量和一致性檢驗成對比較矩陣的最大特征值表明通過了一致性驗證。故則該特征值對應的歸一化特征向量當前48頁，總共79頁。

對成對比較矩陣可以求層次總排序的權向量并進行一致性檢驗，結果如下：計算可知通過一致性檢驗。當前49頁，總共79頁。對總目標的權值為：（4）計算層次總排序權值和一致性檢驗又決策層對總目標的權向量為：同理得，對總目標的權值分別為：故，層次總排序通過一致性檢驗。當前50頁，總共79頁。可作為最后的決策依據。故最后的決策應為去桂林。又分別表示蘇杭、北戴河、桂林，即各方案的權重排序為當前51頁，總共79頁。作業(yè)一位同學準備購買一部手機，他考慮的因素有質量，顏色，價格，外形，實用，品牌等因素，比較中意的手機有諾基亞N73，摩托羅拉E8，索愛W890i，但不知選擇哪一款為好，請你建立數學模型給他一個好的建議。對計算機編程能力較好的同學，可否編寫一個AHP法的計算程序，VB，VC均可。其他同學考慮用Excel如何計算AHP法。（主要是特征值，特征向量的計算）通過網絡資源，查找關于層次分析法應用的論文（2篇以上），并指出其應用的方面，所考慮的目標，準則和方案。（可通過仰恩圖書館-中國知網或查找）網上計算AHP的軟件：（請自行下載）當前52頁，總共79頁。FAHP的基本概念為什么引入FAHP（即FuzzyAHP）？在一般問題的層次分析中，構造兩兩比較判斷矩陣時通常沒有考慮人的判斷模糊性，只考慮了人的判斷的兩種可能的極端情況：以隸屬度1選擇某個指標，同時又以隸屬度1否定（或以隸屬度0選擇）其他標度值。有些問題中進行專家咨詢時，專家們往往會給出一些模糊量（例如三值判斷：最低可能值、最可能值、最高可能值；二值區(qū)間判斷）所以引入模糊數改進AHP當前53頁，總共79頁。FAHP的基本概念上面已經說過，任意一個模糊集，都對應著一個隸屬函數。但怎樣確定一個模糊集的隸屬函數是一個尚未得到解決的問題。通常模仿概率論中的分布函數作為隸屬函數，叫做模糊分布函數：正態(tài)分布型；梯形分布；K次拋物線分布；Cauchy型分布；S型分布等等。這些函數論域為實數，帶有參數，值域為[0，1]。

當前54頁，總共79頁。三角模糊函數荷蘭學者F.J.M.VanLaarhoven和W.Pedrycz提出了用三角模糊數表示模糊比較判斷的方法。定義：設論域R上的模糊集M，如果M的隸屬度函數表示為式中，和表示M的下界和上界值。和表示模糊的程度，越大，模糊程度越強。是模糊集M的隸屬度為1時的取值。當前55頁，總共79頁。三角模糊函數三角模糊數的幾何解釋：三角模糊數M表示為其中時，完全屬于M，

l和u分別下界和上界。在l,u以外的完全不屬于模糊數M。μM(x)x10lmu當前56頁，總共79頁。三角模糊函數兩個三角模糊數和的運算方法：當前57頁，總共79頁。三角模糊函數在指標評價的兩兩比較矩陣中，為了考慮人的模糊性在內，三角模糊數被用來代表傳統的1，3，5，7，9，而用表示中間值。如下表。當前58頁，總共79頁。評價指標A和B的相對權重定義說明M1同等重要A，B對目標具有同樣的貢獻M3稍微重要A比B稍微重要M5重要A比B重要M7明顯重要A比B明顯重要M9非常重要A比B非常重要M2，M4，M6，M8中間重要性中間狀態(tài)對應的標度值當前59頁，總共79頁。一、構造模糊判斷矩陣· ~構造模糊判斷矩陣：Step1：調研對象組利用模糊數（）來表達他們的偏好。這里假設有三個調研成員。他們對一組指標進行比較（比如C1與C2的比較），各自得到一個模糊數，分別為

Step2：將三個模糊數整合成一個，重復以上步驟，直到所有的比較變成一個模糊數。矩陣值全是模糊數當前60頁，總共79頁。模型案例當前61頁，總共79頁。模型案例假設在這個供應商選擇的模型中，主要考慮四個因素：成本，質量，服務，企業(yè)質量。三個專家對他們的模糊評價矩陣如下頁圖當前62頁，總共79頁。模型案例當前63頁，總共79頁。模型案例C1與C2的三個比較模糊值，可以通過以下方式整合為為一個模糊值：

C1與C2相比，其重要度為：（0.39，0.67，1.00）。與AHP相比，這一點有什么優(yōu)勢？當前64頁，總共79頁。模型案例對其他比值可做相似的處理，得到模糊矩陣：當前65頁，總共79頁。二、計算各個指標的綜合權重Step1：第K層指標i的綜合模糊值（初始權重）計算方式如下：拿FCM1舉例：C1的初始權重計算如下。當前66頁，總共79頁。同理：可以計算出C2,C3,C4的初始權重如下當前67頁，總共79頁。Step2：去模糊化，以及求出C1至C4的最終權重模糊數的比較原則定義一：和是三角模糊數。的可能度用三角模糊函數定義為將模糊值變?yōu)橐话愕闹诞斍?8頁，總共79頁。定義二：一個模糊數大于其他K個模糊數的可能度，被定義為：當前69頁，總共79頁。拿上個例子來說明：對去模糊化：當前70頁，總共79頁。將以上權重值標準化，得到各指標的最終權重：注：將（a,b,c,d）標準化是指將其化為

當前71頁，總共79頁。Step3:確定其他層次的各指標權重利用相同的方法，得到下一層次的指標Ai權重wi。則指標Ai的總權重:

經計算得到下層指標的總權重如下：AmA1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12TWm0.1420.1420.0250.2180.1050.0230.1810.0070.1110.0190.0020.026當前72頁，總共79頁。實例一：供應商的選擇供應商選擇是一個多目標決策問題，選擇供應商的評價指標如下圖。