2010年高考理科數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷-逐題解析

高考真題（理科數(shù)學(xué)）第5頁—共5頁2010年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新課標(biāo)全國(guó)卷)理科數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合},,則A．(0,2)B．[0,2]C．{0,2]D．{0,1,2}D【解析】，，故．應(yīng)選D．2．已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=A．B．C．1D．2A【解析】．應(yīng)選A．另解：由可得．3．曲線在點(diǎn)處的切線方程為A．B．C．D．A【解析】由可得，，應(yīng)選A．4．如圖，質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為，角速度為1，那么點(diǎn)到軸距離關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像大致為ABCDC【解析】通過分析可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到軸距離為，于是可以排除答案A,D，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)在軸上此時(shí)點(diǎn)到軸距離為0，排除答案B，應(yīng)選C．5．已知命題：函數(shù)在R為增函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)，則在命題：，：，：和：中，真命題是A．，B．，C．，D．，C【解析】：函數(shù)在R為增函數(shù)為真命題，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在R不可能為減函數(shù)，：函數(shù)在R為減函數(shù)為假命題，則為假命題，為真命題，然后根據(jù)復(fù)合命題的判斷方法即可確定答案C．6．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為A．100B．200C．300D．400B【解析】由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)服從二項(xiàng)分布，即,而，則．應(yīng)選B．7．如果執(zhí)行右面的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于A．B．C．D．D【解析】根據(jù)框圖所體現(xiàn)的算法可知此算法為求和：，，應(yīng)選D．8．設(shè)偶函數(shù)滿足，則A．B．C．D．B【解析】當(dāng)時(shí)，則，由偶函數(shù)滿足可得，，則=，，令，可解得．應(yīng)選B．另解：由偶函數(shù)滿足可得，則，要使，只需，解得．應(yīng)選B．9．若，是第三象限的角，則A． B． C．2 D．A【解析】由，是第三象限的角可得．，應(yīng)選A．另解：由，是第三象限的角可得．，．10．設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為A． B． C． D．B【解析】根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長(zhǎng)都為的正三棱柱，則其外接球的半徑為，球的表面積為，應(yīng)選B．11．已知函數(shù)若互不相等，且則的取值范圍是A． B． C． D．C【解析】作出函數(shù)的圖象如圖，220不妨設(shè)，則則．應(yīng)選C．12．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為,則的方程式為A． B． C． D．B【解析】由雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，即則，則，故的方程式為．應(yīng)選B．第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分，第（13）題~第（21）題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答，第（22）題~第（24）題為選考題，考試根據(jù)要求做答．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且恒有，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分，先產(chǎn)生兩組（每組個(gè)）區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)和，由此得到個(gè)點(diǎn)，再數(shù)出其中滿足的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為．【解析】：由題意可知得，故積分的近似值為．14．正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是______（寫出三種）【解析】正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱、圓錐、四棱錐等等．15．過點(diǎn)的圓與直線相切于點(diǎn)，則圓的方程為____．【解析】設(shè)圓的方程為，則解得，故所求圓的方程為．16．在△中，為邊上一點(diǎn)，，=120°，=2，若△的面積為，則=_______．【解析】由△ADC的面積為可得解得,則．,則故．三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和演算步驟．17．（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足．(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【解析】(Ⅰ)由已知，當(dāng)時(shí)，．而所以數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為．(Ⅱ)由知①從而=②①-②得()=．即=．18．（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，垂足為，是四棱錐的高，為中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】以為原點(diǎn)，分別為軸，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則(Ⅰ)設(shè)則,．可得=,=．因?yàn)?，所以?Ⅱ)由已知條件可得，，設(shè)為平面的法向量則，即．因此可以取，由，可得|<>|=，所以直線與平面所成角的正弦值為．19．(本小題12分)為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿男女需要4030不需要160270(Ⅰ)估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(Ⅱ)能否有99％的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(Ⅲ)根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】(Ⅰ)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為．(Ⅱ)．由于9．967>6．635,所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)。(Ⅲ)由(Ⅱ)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好．20．（本小題滿分12分）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過斜率為1的直線與相交于兩點(diǎn)，且成等差數(shù)列．(Ⅰ)求的離心率；(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)滿足，求的方程．【解析】(Ⅰ)由橢圓定義知，又，得．的方程為，其中．設(shè)，，則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，化簡(jiǎn)的．則．因?yàn)橹本€AB斜率為1，所以得故，所以E的離心率．(Ⅱ)設(shè)AB的中點(diǎn)為，由(I)知，．由，得，即，得，從而，故橢圓E的方程為．21．（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)若，求的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)若當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【解析】(Ⅰ)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．(Ⅱ)，由(Ⅰ)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故，從而當(dāng)，即時(shí)，，而，于是當(dāng)時(shí)，．由可得．從而當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，而，于是當(dāng)時(shí)，．綜合得的取值范圍為．請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，證明：(Ⅰ)=；(Ⅱ)=BE×CD．【解析】(Ⅰ)因?yàn)?所以．又因?yàn)榕c圓相切于點(diǎn)，故，所以．(Ⅱ)因?yàn)?所以∽，故，即．23．（本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線：為參數(shù)，圓（為參數(shù)）．(Ⅰ)當(dāng)=時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(Ⅱ)過坐標(biāo)原點(diǎn)做的垂線，垂足為、為的中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．【解析】(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，的普通方程為，的普通方程為．聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為(1,0)，．(Ⅱ)的普通方程為．A點(diǎn)坐標(biāo)為，故當(dāng)變化時(shí)，P點(diǎn)軌