七年級數(shù)學(xué)《二元一次方程組》自主學(xué)習(xí)資源包（一）公開課教案教學(xué)設(shè)計

七年級數(shù)學(xué)《二元一次方程組》自主學(xué)習(xí)資源包（一）

（二元一次方程二元一次方程組解二元一次方程組）

杭州市易良斌鄉(xiāng)村名師工作室李佳易良斌

一、知識建構(gòu)

1.二元一次方程:

⑴定義：含兩個未知數(shù)且未知項的最高次數(shù)是—的方程。即同時滿足以下

幾個條件的方程就是二元一次方程：①含未知數(shù)；②未知項的最高次數(shù)

是—；③分母不含O

⑵使二元一次方程左右兩邊相等的兩個未知數(shù)的值叫二元一次方程

的;

2.二元一次方程組：

⑴同時滿足以下條件的方程組就是二元一次方程組：

⑵去畬兩個未知數(shù)；②未知項的最高次數(shù)是—；③分母不含0

⑵同時使—二元一次一方程都成立的未知數(shù)的值叫二元一次方程組的解。

無論是二元一次方程還是二元一次方程組的解都應(yīng)該寫成的形式。

⑶二元一次方程組的解法：基本思路是o①消元法：

將一個方程變形為用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一

個方程，把二元消去一元，再求解一元一次方程；②消元法：適用于

相同未知數(shù)的系數(shù)有相等或互為相反數(shù)的特點的方程組，首先觀察出兩個未知數(shù)

的系數(shù)各自的特點，判斷如何運(yùn)用加減消去一個未知數(shù)；含分母、小數(shù)、括號等

的方程組都應(yīng)先化為最簡形式后再用這兩種方法去解。

二、經(jīng)典例題

例1.下列是二元一次方程的是（）

12

A.5x—2=-xB.8x=3yC.xd--=0D.3x—y=xy

2y

反思:考查二元一次方程的概念，關(guān)鍵是抓住概念中的關(guān)鍵詞，滿足兩個未知數(shù)

及未知數(shù)次數(shù)為1。

例2.下列四對數(shù)值中,是二元一次方程x—2y=l的解的是()

x=0,

,[x=l,x=l,[x=—1,

A.尸」B「C.?D.?

yoy=ly=0ly=_1

反思:方程的解是使方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值，所以可以把方程的解代入

方程求解其他未知字母.也應(yīng)注意二元一次方程有無數(shù)個解，而方程組往往只

有一個解，它是兩個方程的公共解.

例3.解下列方程組.

(1)日+仇

2x+3y=8.

2x+3y=-19,

x+5y=1.

反思：解二元一次方程組的基本思路是消元，通過代入消元或加減消元達(dá)到減少

一個未知數(shù)的目的.解題過程中注意去分母或方程兩邊同乘一個數(shù)時不要漏乘,

減法消元時注意符號的變化.

例4.已知［*=2和卜=-4是關(guān)于x、y的二元一次方程2ax-by=2的兩個解，求a,

ly=3［y=2

b的值.

反思：本題考查了二元一次方程的解，先把解代入得出方程組，再求出方程組的

解.

例5.已知［x-3是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解，求m?+2n的值.

ly=-l

反思：本題考查了二元一次方程的解，根據(jù)方程的解就是使方程的左右兩邊相等

的未知數(shù)的值代入得到關(guān)于m、n的方程組是解題的關(guān)鍵.

例6.已知關(guān)于x,y的方程組(ax+bklO的解是，x=l,求關(guān)于x,y的方程組

mx-ny=8{y=2

’11

ya(x+y)+-r-b(x-y)=10

<::的解.

77in(x+y)—r-n(x-y):::8

反思：本題考查了二元一次方程組的解，把所求方程整理成關(guān)于a、b、m、n的

形式，并列出關(guān)于x、y的方程組是解題的關(guān)鍵，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

三、基礎(chǔ)演練

1.下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.8x2+l=yB.y=8x+lC.y=&D.xy=l

x

2.已知方程3x-2y=5,把它變形為用含x的代數(shù)式表示y,正確的是（）

A3x-5B3x+5Q-3X+5p-3x-5

,尸2?尸2'戶2,尸2

3.下列各組數(shù)值是二元一次方程x-3y=4的解的是（）

A.卜口B.fx=2C.卜=-1D.1x=4

ly=-lly=lly=-2ly=-l

4.已知是方程組]ax+y=-l的解，則a+b=（）

[y=2l2x-by=0

A.2B.-2C.4D.-4

5.在3x+4y=9中，如果2y=6,那么x=_____.

6.已知卜=&是方程組fx-2y=0的解，貝|j3a_b=_____.

[y=b[2x+y=5

7.2元的人民幣x張，5元的人民幣y張，共120元，這個關(guān)系用方程可以表示

為.

8.已知方程組產(chǎn)尸'5和方程組[2x==5有相同的解，則皿的值是_____.

Ix+y+io=O|x+y+wO

x-y=3

9.(1)用代入法解方程組

3x-8y=14

7x-4y=22

(2)用加減消元法解方程組:

5x+2y=6

10.已知方程ax+by=8的兩個解為和Jx=l,求a+b.

四、能力提升

fy=笈

1.方程組1女+>=15的解是()

bc=21r=4(r=41i=3

A.b=3B.b=3C,6=8D,6=6

2x+y=l-3k(P

2.方程組Ix+2y=2②的解滿足x+y=0,則k的值為()

A.1B.1C.0D.不能確定

3.二元一次方程組~=一r=x+2的解是.

(2x+y=3(T)

4.解二元一次方程組：&+y=9②.

五、綜合拓展

1.已知1x-3是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解，求m2+2n的值.

ly=-l

2.若二元一次方程3x-y=7,2x+3y=l,y=kx-9有公共解，求k的值.

3.甲、乙兩人同解方程組［Ax+Bk2，甲正確解得產(chǎn)1,乙因抄錯c解得!乂:2

(Cx-3y=-2(y=-l［y=-6

求A、B、C的值.

4.小紅和小麗對問題“若方程組［al"、'-'］的解是［x=3,求方程組

3.2b2

3alx+2b1y=5c1

111的解”提出各自的想法.小紅說：“這個題目好象條件不夠，

3a2x+2bxy=5c2

不能求解”；小麗說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5,通過

整體代換的方法來解決”.參考他們的討論，你認(rèn)為這個題目應(yīng)該怎樣求解呢？

5.已知方程組卜少5①無數(shù)多個解；②唯一解；③無解.分別求三種情況

［ax+3y=b-l

下a、b的值.

6.先閱讀，然后解方程組.

l4(x-y)-y=5

解方程組時，可由①得x-y=l③，然后再將③代入②得4X1-尸5,求得尸-1,

從而進(jìn)一步求得］x=0這種方法被稱為“整體代入法”.

IV=-1

'2x寸-2=0

請用這樣的方法解方程組奧3Hl

2+2尸12

5

六、中考鏈接

1（2019?德州）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短.引繩

度之，余繩四足五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？”意思是：用一根繩子

去量一根長木，繩子還剩余4.5尺.將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問

木長多少尺，現(xiàn)設(shè)繩長x尺，木長y尺，則可列二元一次方程組為（）

，y-x=4.5x-y=4.5x-y=4.5y-x=4.5

A.11B.<]c./xZlD.

yTx=1y?=i

2.（2019?嘉興）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊(yùn)》中有這樣一題：“馬四匹、牛

六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬二匹、牛五頭，共價三十八兩.問

馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）

Af4x+6y=38Bf4y+6x=48。f4x+6y=48口f4x+6y=48

[3x+5y=48[3y+5x=3815x+3y=38\3x+5y=38

3.（2019?杭州）已知九年級某班30位學(xué)生種樹72棵，男生每人種3棵樹，女

生每人種2棵樹.設(shè)男生有x人，則（）

A.2x+3（72-x）=30B.3x+2（72-x）=30C.2x+3（30-x）=72D.3x+2（30-x）=72

4.（2019?懷化）一元一次方程x-2=0的解是（）

A.x=2B.x=-2C.x=0D.x=l

5.（2019?巴中）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組產(chǎn)一廠4的解是產(chǎn)=2,則

小+勿=4jy=-2

a+b的值是（）

A.1B.2C.-1D.0

6.（2019?樂山）《九章算術(shù)》第七卷“盈不足”中記載：“今有共買物，人出

八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價各幾何？”譯為：“今有人合伙購物，

每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又差4錢。問人數(shù)、物價各多少？”根據(jù)

所學(xué)知識，計算出人數(shù)、物價分別是（）

A.1,11B.7,53C.7,61D.6,50

7.（2019?寧波）小慧去花店購買鮮花,若買5支玫瑰和3支百合，則她所帶的錢

還剩下10元;若買3支玫瑰和5支百合,則她所帶的錢還缺4元,若只買8支玫瑰，

則她所帶的錢還剩下（）

A.31元B.30元C.25元D.19元

8.（2019?臺州）一道來自課本的習(xí)題：

從甲地到乙地有一段上坡與一段平路，如果保持上坡每小時走3km,平路每小時走4km,下

坡每小時走5km,那么從甲地到乙地需54min,從乙地到甲地需42min,甲地到乙地全程是多少？

小紅將這個實際問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組問題,設(shè)未知數(shù)x,y已經(jīng)列出一個方

程冷嗡則另一個方程正確的是（）

xy42

AB.Cr.—+—=—

?鴻琮常嚏4560。?尹祥

9.（2019?重慶A卷）《九章算術(shù)》中有這樣一個題：今有甲乙二人持錢不知其

數(shù).甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？其意思

為：今有甲乙二人，不如其錢包里有多少錢，若乙把其一半的錢給甲，則甲的數(shù)

為5。；而甲把其|的錢給乙.則乙的錢數(shù)也為5。，問甲、乙各有多少錢？設(shè)甲

的錢數(shù)為x,乙的錢數(shù)為y,則可建立方程組為（）

x+—y=50x+—y=50—x+y=50—y=50

A..2B..2C..2D.々2

2”2”2“2“

—x+y=50x+—y=50—x+y=50x+—y=50

133133

二元一次方程組以二7的解為----------

10.（2019?常德）

11.（2019?岳陽）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有下列問題：“今有女

子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布,

每日加倍增長，5日共織布5尺，問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件,

可求得該女子第一天織布尺.

12.（2019?蘇州）若a+2b=8,3a+4b=18.則a+b的值為.

13.（2019?泰安）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：”

今有黃金九枚，白銀一十一枚,稱之重適等,交易其一,金輕十三兩，問金,銀一枚

各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀

11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等,兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了

13兩（袋子的重量忽略不計），問黃金，白銀每枚各重多少兩?設(shè)每枚黃金重x兩，

每枚白銀重y兩,根據(jù)題意可列方程組為.

x+y=10,

14.（2019?涼山）方程3,［八的解是_________.

2.x+y=Io

x+y=k-I

15.（2019?眉山）已知關(guān)于x、y的方程組＜+'=5￡+4的解滿足

則k的值為.

3x-2y=-8

16.（2019?山西））解方程組:x+2y=0

3x-4(x-2y)=5,

(2019?金華)解方程組：1

x-2y=i.

17.

2x-3y=5

18.(2019?濰坊)已知關(guān)于x,y的二元一次方程組x―2y=k的解滿足*

>y，求k的取值范圍.

七、素養(yǎng)提升

1.已知關(guān)于x,y的方程組卜x+by=10的解是(x=l,求關(guān)于x,y的方程組

[inx-ny=8(y=2

ya(x+y)+yb(x-y)=10

2.甲、乙兩人解方程組1°x+5413f),由于甲看錯了①中x的系數(shù)，乙看

(4x-()y=2②

錯了②中y的系數(shù)，結(jié)果分別得到x=：*，尸||；x啜，”?假如兩人的

計算過程沒有錯誤，求正確的方程組并解之.

3.已知關(guān)于x、y的方程組：(2x+9y=a,求出所有整數(shù)a,使得方程組有整數(shù)解

ax~y=a+l

(即x、y都是整數(shù))，并求出所有的整數(shù)解.

八、資源超市

1.解方程組)一下列解法不正確的是()

3x-2y=1

A.①義3-②X2,消去xB.①X2-②X3,消去y

C.①X(-3)+②X2,消去xD.①義2-②X(-3)消去y

2.解方程組［9、+2'=15,用加減法消去x的方法是____；用加減法消去y

3x+4y=\0

的方法是.

x+y=l

3.方程組I虹一y=3的解是.

產(chǎn)+y=3

4.方程組卜7=2的解為.

2x+y-3(1)

5.解二元一次方程組：［5x+y=9②.

f2x+y=5

6解方程組：U-7=4.

7.解下列方程組

122r

X[

—X——y=-----——1-1=V

(1)-2315⑵3

154

2(x+1)-y=6

〔233

(::?：r)=4的解是

8.方程組

9.已知^^■=^^■=4,貝ijx=,y=____.

32

f=2iax+by=2

x22

10.已知ty=-3是方程組b+ay=3的解，則a-b=.

IL已知尸=-2是方程組("+"=1的解，則(a+b)(a_b)的值為()

y=1[bx+ay=1

3535

A.--B.—C.OD.2

33

12.請寫出一個以x、y為未知數(shù)的二元一次方程組,要求同時滿足下列兩個條件:

(1)由兩個二元一次方程組成；

fx=2

(2)方程組的解為’

ly=3.

13.已知(x-1,1x-n都是關(guān)于x,y的二元一次方程y=x+b的解，且m-n=b、2b

Iy=mIy=2

-4,求b的值.

14.當(dāng)a取何值時，方程組3x-5y=2a,2x+7y=aT8的解互為相反數(shù)？

mx+2ny=60,①

15.求當(dāng)m,n為何值時，關(guān)于x,y的兩個方程組與

3x—y=5②

2x+y=10,③,

Lx+y=22-n④的解相同.

16.已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組

--2002y=〃,的解［x=p,是整數(shù)，那么（）

nx+29y=m［y=g

A.P、q都是偶數(shù)B.p、q都是奇數(shù)

C.p是偶數(shù)，q是奇數(shù)D.p是奇數(shù)，q是偶數(shù)

17.小紅和小麗對問題“若方程組［aix+bR-Ci的解是［乂=3,求方程組

a22I-4

3a】x+2bly=5、的解”提出各自的想法.小紅說：“這個題目好象條件不夠，

x+

3a22bxy=5c2

不能求解”；小麗說：“能不能把第二個方程組的兩個方程的兩邊都除以5,通過

整體代換的方法來解決”.參考他們的討論，你認(rèn)為這個題目應(yīng)該怎樣求解呢？

參考答案

一、知識建構(gòu)

1.(1)一、2.兩個3.1次字母(2)解2.一次、字母、二元一次、大

括號、代入、加減

二、經(jīng)典例題

r=_7fY——14

例1例2例3、例4把Jx=2和[x=-4分別

)=4[y=3ly=3ly=2

1

代入方程2ax-by=2,得：(4a-3b=2,解得：a-萬

1-8a-2b=2

例5是方程4x+my=10和mx-ny=ll的公共解,

ly=-l

'13^=11(2)'

解①得，m=2,

把m=2代入②得，6+n=ll,

解得n=5,

所以，m2+2n=22+2X5=4+10=14,

即m2+2n的值為14.

'x+y八x-

a*~+b--T~=10

例6方程組變形為，

x+yx-y-

inp-z—nw-=8

..?關(guān)于X,y的方程組［ax+by=10的解是［x=l,

［mx-ny=8［y=2

所求的方程組中，

3~2

整理得，［x+廠2,解得［x=4,即所求方程組的解是1x=4

(xy6ly=-2ly=-2

三、基礎(chǔ)演練

1.B2.A3.A4.B5.-16.57.2x+5y=1208.59.(l)x=2,y=-l(2)x=2,y=-2

10.

四、能力提升

te=-5(x=2

1.B2.B3.Iy=-14.lP=-1

五、綜合拓展

1.142.解方程組］無==7得fx=2,

［2x+3y=lly=-l

把［A2代入y=kx-9得-l=2k-9,解得k=4.

ly=-l

4—2?5(x+2b〔y二5cl

3.B=0.54.將方程組111兩邊同時除以5,原方程組化為

I3a2x+2bxy=5c2

方程組‘@1'+""'1的解是卜=3.，解得(*=5

a2x+b2y_c21y~-44-4ly=-io

5

5.：卜方5①

[ax+3y=b-l②

由①得：x=y+5③

將③代入②得:（a+3）y=-5a+b-1,

情況1：當(dāng)（a+3=°,即，a=T時，原方程組轉(zhuǎn)化為：卜方5,

l-5a+b-l=0lb=-14lx少5

那么，滿足x+y=5的x、y的值有無數(shù)對，

即：當(dāng)a=-3,b=-14時，原方程組有無數(shù)多個解；

情況2：1a+3=°當(dāng)時，原方程組轉(zhuǎn)化為：卜子5

I-Ba+b-lTtOlb卉-141x-y盧5

因為這兩個方程互相矛盾，所以方程組無解.

即：當(dāng)a=-3,bW-14時，原方程組無解；

情況：當(dāng)a#-3時，

由①得：x=y+5③將③代入②得：（a+3）y=-5a+b-1,

因為aW3,所以y有唯一解：y=-5a+b-l

a+3

fb+14

x=,o

即：當(dāng)a#3,b為任意實數(shù)時原方程組有唯一解：，&'

-5a+b-l

,尸a+3

'2x=-2=0①

6.解:'尸12②‘

5

由①得2x-y=2③，將③代入②得乏這里+2y=12,

5

解得y=5,把y=5代入③得x=3.5.則方程組的解為卜二3.5.

ly=5

六、中考鏈接

1.B,2.D,3.D,4.A,5.B,6.B,7.A

8.B9.A

x=159x=1ly

10.11.12.513.

)=531(10y+x)-(8x+y)=13

x=6,x--2

14.16?原方程組的解為:

y=415.2，=1

x=3,

17.原方程組的解為

x=1.

2x-3y=5x=-3k+10,,

解之得:???x>y，A-3^+10>-2k+5：.k<5.

18.x-2y=ky=-2k+5

七、素養(yǎng)提升

x+y,,x-

a*-^-+b'~=10

1.方程組變形為，

???關(guān)于x,y的方程組［ax+b尸10的解是(x=l,

［inx-ny=8(y=2

'曲=1

...所求的方程組中2,整理得，卜十尸2,解得］x=4

三工.9［xp=6ly=-2

I3

即所求方程組的解是1x=4.

ly=-2

2.原方程組可化為［ax+5尸13,

{4x-by=2

由于甲看錯了①中X的系數(shù)，

故可把x=WL,y=典代入