十年高考真題（2013-2022）與優(yōu)質(zhì)模擬題匯編（全國文科數(shù)學(xué)）專題09平面向量（解析版）

大數(shù)據(jù)之十年高考真題(2013-2022)與優(yōu)質(zhì)模擬題(新課標(biāo)文科卷)

專題09平面向量

.???⑥真題匯總，.?.

1.【2022年全國乙卷文科03】已知向量豆=(2,1),萬=(一2,4),則忸一同()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

因為&—b=(2,1)—(—2,4)=(4,—3),所以區(qū)—司=“2+(—3)2=5.

故選：D

2.【2020年全國2卷文科05】已知單位向量a,6的夾角為60。，則在下列向量中，與人垂直的是()

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【解析】

由已知可得：a-h=|a|-|ii|?cos60=lxlx^=1.

A：因為(3+2b)?b=H?b+2b2=g+2X1=g力0,所以本選項不符合題意：

B：因為(23+石)?萬=2五不+52=2乂1+1=2。0,所以本選項不符合題意；

C：因為(H—2b),萬=N,b—2b2=g—2x1=—,力0,所以本選項不符合題意；

D：因為(2H—方)?石=2五,萬一萬2=2x1—1=0,所以本選項符合題意.

故選：D.

3.【2019年新課標(biāo)2文科03】已知向量展=(2,3),b=(3,2),則值一百=()

A.V2B.2C.5V2D.50

【答案】解：???：=(2,3),b=(3,2),

：.a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

/.|a—b\=，(—1)2+12=y/2.

故選：A.

4.【2019年新課標(biāo)1文科08】已知非零向量：，b滿足向=2網(wǎng)，且(2一萬)J_b,貝笈與b的夾角為()

A1R￡r-D-

6336

【答案】解：???％—GLb,

A(a—b)-b=a-b—b2

=\a\\b\cos<a,b>—b2=0,

?；、

??Jc+os<a,b>if=-=r^=r

\a\\b\

_I薩_1

--——,

21blz2

*/<a,b>e[0,TT],

；?<a,b>=；.

3

故選：B.

5.【2018年新課標(biāo)1文科07】在△似。中，4。為BC邊上的中線，E為/。的中點(diǎn)，則還=()

3T1,T]T3T3T1.T3T

A.-AB--ACB.-AB--ACC.-AB-V-ACD.-AB^-AC

44444444

【答案】解：在△/BC中，為8C邊上的中線，E為的中點(diǎn)，

EB=AB-AE-AB--AD

2

T11TT

=AB--X-(AB+AC)

22

3T1-

=-AB--AC,

44

故選：A.

6.【2018年新課標(biāo)2文科04】已知向量b滿足而|=1,a-b=-1,則之?(2%-b)=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】解：向量；，b滿足面=1,a-b=—1,則。,(2a—b)=2a2—a-b=2+1=3,

故選:B.

7.【2017年新課標(biāo)2文科04】設(shè)非零向量2,嬴足日+不=而一百則()

A.a_LbB.|a|=|h|C.a//bD.\a\>\b\

T—_>TTT

【答案】解：?.?非零向量a,b滿足|a+b|=|a—b|,

：.(a+b)2=(a-b)2,

Q2+/+2ab=a24-b2—2ab,

4ab=0,

解得a-b=0,

—>

:.alb.

故選：A.

8.【2016年新課標(biāo)3文科03】已知向量贏=(1,爭，BC=(圣|),則NN8C=()

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】解：言1.晶=4+,=?，向=函=1：

?八0「BABCV3

..cosz^ABC=—~~—=—：

出川IBCI2

又0°<N/8CW1800；

/.ZABC=30°.

故選：A.

9.【2015年新課標(biāo)1文科02］已知點(diǎn)/(0,1),B(3,2),向量A=(-4,-3),則向量詼=()

A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)

【答案】解：由已知點(diǎn)4(0,1),B(3,2),得到6=(3,1),向量幾=(-4,-3),

則向量盛=前一應(yīng)=(-7,-4)：

故選：A.

10.【2015年新課標(biāo)2文科04】a=(1,-1),力=(-1,2)則(2：+力)?==()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】解：因為；=(1,7),1=(-1,2)則(21+1)?2=(1,0)?(1,-1)=1；

故選：C.

11.【2014年新課標(biāo)1文科06】設(shè)，瓦F分別為△48。的三邊的中點(diǎn)，則誦+FC=()

A.ADB.-ADC.BCD.-BC

22

【答案】解：E,尸分別為△/8C的三邊BC,CA,NB的中點(diǎn)，

—?—?—>—>TTTT[T->T

/.EB+FC=(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=±(AB+AC)=AD,

2

故選：A.

12.【2014年新課標(biāo)2文科04】設(shè)向量Z,b滿足日+b|=而一目=乃，則之?b=()

A.1B.2C.3D.5

【答案】解：:|a+b|=|Q-b|=正,

，分別平方得滔+2”b+b2=10,a2—la9b+b2=6,

兩式相減得4a*b=10-6=4,

即Q?b=1,

故選：A.

13.【2022年全國甲卷文科13】已知向弱=(皿3)而=(1,6+1).若則瓶=

【答案】-^##-0.75

【解析】

由題意知：a-6=m+3(m+1)=0,解得m=-*

故答案為：-

4

14.【2021年全國甲卷文科13】若向量3,6滿足同=3,=5,五,b=1，則網(wǎng)=.

【答案】3V2

V[a-b\=5

：.[d-b\2=a2+62-2a-b=9+|b|2-2=25

A\b\=3V2.

故答案為：3班.

15.【2021年全國乙卷文科13】已知向量3=(2,5)石=(尢4)，若N/瓜則”.

【答案】|

由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2X4-2X5=0,

解方程可得：A=

故答案為：

16.【2020年全國1卷文科14】設(shè)向量a=(1,-l),b=(m+1,2m-4),若表1方，則m.

【答案】5

【解析】

由互1萬可得互?方=0,

又因=(1,-1),b=(m+1,2m—4),

所以H'b=1,(rn+1)+(-1),(2m—4)—0,

即m=5,

故答案為：5.

17.【2019年新課標(biāo)3文科13］已知向量展=(2,2),b=(-8,6),則cosvZb>=.

【答案】解：a-b=2X(-8)+2X6=-4,

\a\=V22+22=2y［2,

向=/(-8)2+62=10,

1T；、-4V2

cosVa,b>=^^=--.

故答案為:—

18.【2018年新課標(biāo)3文科13］已知向量之=(1,2),'b=(2,-2),c=(1,A).若最〃(2a+b),貝以

【答案】解：?.響量展=(1,2),h=(2,-2),

**.2a+b=(4,2),

Vc=(1,入)，c//(2a+b),

?1A

42

解得人=

故答案為：p

19.[2017年新課標(biāo)1文科13]已知向量，=(-1,2),b=(加，1),若向量熱+b與；垂直,則m——

【答案】解：:向量：=(7,2),b=(陽，1),

TT

/.a4-b=(-1+m,3),

?.?向量2+b與；垂直，

/.(a+h)*a=(-1+w)X(-1)+3X2=0,

解得m=7.

故答案為：7.

20.【2017年新課標(biāo)3文科13】已知向量；=(-2,3),b=(3,加)，且添1%,則加=

【答案】解：???向量a=(-2,3),b=(3,〃])，且a_Lb,

->一

/.a-b=-6+3m=0,

解得加=2.

故答案為：2.

21.[2016年新課標(biāo)1文科13]設(shè)向量熱=(x,x+1),b=(1,2),且；J_b,則x=.

【答案】解：???：_L1

TT

/.a-b=0；

即x+2(x+1)=0；

?v__2

3

故答案為：-

22.【2016年新課標(biāo)2文科13】已知向量展=(〃?，4),b=(3,-2),且展〃則加=.

【答案】解：向量。=(加，4),b=(3,-2),且Q〃力，

可得12=-2m,解得m=-6.

故答案為：-6.

23.【2013年新課標(biāo)1文科13】已知兩個單位向量一了的夾角為60°,c=m+(1-力b.若力?最=0,則

【答案】解：：c=ta+(1—t)b,c-b—0,c-b=ta-/?+(1—t)b2=0,

.*.zcos60°+1-/=0,Al-it=0,解得，=2.

故答案為2.

24.【2013年新課標(biāo)2文科14】已知正方形"88的邊長為2,E為CD的中點(diǎn)，則族?晶=.

【答案】解：；已知正方形/8CO的邊長為2,E為CO的中點(diǎn)，則AB-AD=(),

故AE-BD=(AD+DE)?(BA+AD)=(AD+^AB)?(AD-AB)

=AD^-AD.AB+^AB.AD-^=4+0-0-1x4=2,

故答案為2.

.???⑥模擬好題］

1.已知向量五方滿足揚(yáng)|=2,五與5的夾角為60。，則當(dāng)實數(shù)4變化時，歷-2國的最小值為()

A.V3B.2C.V10D.2V3

【答案】A

【解析】

如圖，設(shè)8i=瓦赤=5，

當(dāng)作一AS)1互時，|5-4國取得最小值，

過B作BE104,即伊一反|取得最小值為|8E|,

因為五與萬的夾角為60。，

所以NB0A=60°,^BEO=90°,\OB\=2,

所以由E|=V3.

故選：A.

2.已知△ABC為等邊三角形，AB=2,設(shè)點(diǎn)P、Q滿足前=XAB,AQ=(1-X)AC,AG/?,若的?方=一|

則2=()

A.-B.-C.-D.-

8424

【答案】C

【解析】

由題意可知，BQ=AQ-AB=(<1-A)AC-AB,CP=AP-AC=AAB-AC,

又ABC為等邊三角形，AB=2,AB-AC=2x2x^=2,

BQCP=[(1-A')AC-AB]■(AAB-3C)=A(1-A)x2-4A-4(1-A)=-

解得4=p

故選：C.

3.已知仙力BC的外接圓圓心為。，且2荷=AB+AC,\OA\=|而則向量沅在向量K上的投影向量為(

A.B.—OCC.—^CAD.——OC

2222

【答案】c

【解析】

依題意△ABC三角形的外接圓圓心為。，且2而=而+而,

所以。是BC的中點(diǎn)，即BC是圓。的直徑，且484。=全

由于|罰|=|同所以三角形04B是等邊三角形，

設(shè)圓。的半徑為1,貝可沅|=1,\CA\=V3,

所以向量配在向量6上的投影向量為阿?cos票湍=-也.

故選：C.

4.已知P是等邊三角形/8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且48=2h，BP=1,則而?爐的最小值是()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】A

【解析】

設(shè)AC中點(diǎn)為O,連接OB,則08=3,

因為BP=1,所以P點(diǎn)在以8為圓心，I為半徑的圓上，

所以而?方=萬?定=^[(PA+PC)2-(PA-PC)2]=協(xié)—9=陽_3,

顯然，當(dāng)B,P,0三點(diǎn)共線時，尸。取得最小值2,

二(而?硬)mm=4-3=1.

故選：A

5.已知單位向量五與向量萬=(0,2)垂直，若向釐滿足|五十萬+可=1,則?的取值范圍為()

A,[1(V5-1]B.[與1,等]C.[V5-1,75+1]D.[與1,3]

【答案】C

【解析】

由題意不妨設(shè)互=(1,0),設(shè)？=(x,y)，則互+萬+下=(L0)+(0,2)+(x,y)=(l+x,2+y).

V|a+b+c|=1,.,.(l+x)2+(2+y)2=1,即表示圓心為(一1,一2),半徑為1的圓，設(shè)圓心為P,|。尸|=

V(-l)2+(-2)2=V5.

|c|=J)+儼表示圓p上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，V5-1<|c|=y/x2+y2<V5+1，.?.用的取值范圍為

[V5-1,V5+1].

故選：C.

6.已知向量N,~b滿足五二"^,1),H石=4,則囚的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】D

【解析】

V|a|=2,.'.a-~b=|a||d|cosd=2|h|cos0=4)

其中。為向翩，下的夾角，

即回=嘉,當(dāng)cos。=1時，同有最小值2,

故選:D.

7.在平行四邊形4BCD中，E,F分別是B&CD的中點(diǎn)，DE交力產(chǎn)于點(diǎn)G,則尼=()

A.|通Y阮B.^AB+^BC

C.-評+河D.-^AB-BC

【答案】B

【解析】

解：如圖，

過點(diǎn)尸作BC的平行線交DE于H,

則，是DE的中點(diǎn)，且HF=；EC=：BC,

24

HF=-AD,

4

又4AGD-△FGH,

所以噌=警，即尸G=；AG,

GFFH4

所以布=3而，

又而=AD+DF=BC+.，

???—.4.4（/_BC1+泗1-A廿2―.+產(chǎn)4—.

故選：B

8.已知點(diǎn)。為AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且為2=/2=沅2,為?期=9?而=歷?詆=一2,則AABC

的面積為（）

A.V3B.2V3C.3V3D.—

4

【答案】C

【解析】

2

因為初2=0B2=0C,所以|西2=|西2=匹匕所以|西=|西=|0C|,

所以。為△ABC的外心.

因為西?而=麗?瓦，所以而?（函-玩）=0,所以礪,rx=o,

所以。B1&4,同理得04J.BC,OCLAB,

所以。為A4BC的垂心，

因為△力BC的外心與垂心重合，所以△4BC為正三角形，

所以乙1OB=NBOC=乙4℃=與，所以西?兩=|麗?|西.cos與=-1|0X|2=-2,

所以網(wǎng)2=%所以S“BC=3SMOB=3X]R|2X，=3倔

故選：C.

9.在^ABC^.AB-AC=9,sin（4+C）=cosAsinCfS^ABC=6,P為線段48上的動點(diǎn)，且方=%,向+y?畝,

則:+:的最小值為（）

A.11+漁B.2C.—+D.二

63612312

【答案】C

【解析】

設(shè)I而I=c,\AC\=h,根據(jù)題意可得

bccosA=9

b=ccosA,解得（°=3,sinA=2，cosX=-

{如isnA=6tc=555

所以|旗|=a=4,

所以亦一焉+”贏=浮+9，

因為4P,B三點(diǎn)共線，所以/卜1,

所以3+工=《+工）6+》

xy\xyj\34/

_11%y

=適+豆+公

>H+2耳王=11+漁，

—123y2x123

G+；=l=

當(dāng)且僅當(dāng)3》4y,B[J3Q、時取等號，

I—=—I4（2V6-3）

I3y2x{y=---

所以3+1的最小值為u+在，

xy123

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理的應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)

鍵是由己知條件求出a,b,c后，再由A,P,B三點(diǎn)共線，得：+3=1，所以：+；=（：+；）?化簡后結(jié)合基

本不等式可求出其最小值，考查運(yùn)算能力，屬于較難題

10.△ABC中，AC=4i，AB=2,A=45°,尸是AABC外接圓上一點(diǎn)，AP=XAB+iiAC,則2+4的最大

值是（）

A二+1B企-1ceD6+4

?2?2,-2—-2-

【答案】A

【解析】

解：由余弦定理=AB2+AC2-2ABACcosA,

即BC2=4+2-2x2xV2Xy=2,

所以BC=或，所以BC2+AC2=4^2,即C=9O。，

則△/8C為等腰直角三角形.

設(shè)4B的中點(diǎn)為0,則。為A48C外接圓的圓心，如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

則4(-1,0),8(1,0),C(0,l),設(shè)P(cosasin8),0G[0,27T),

則而=(cos0+1,sin0),AB=(2,0),AC=(1,1),

因為而=XAB+匹,即(cos。+l,sin6()=2(2,0)+“(1,1),

二匚(22+〃=cos0+1

所內(nèi)〃=sine1

所以4+〃=1(cos?+sin8+1)=1+ysin(0+9，

所以當(dāng)：話,即"，時q+4)max=#凈

故選：A

11.已知復(fù)數(shù)Z1對應(yīng)的向量為兩，復(fù)數(shù)Z2對應(yīng)的向量為兩，則()

A.若|zi+Z2I=0-Z2I，則0Z11OZ2

B.若(西+際)_L(際一防)，則|zj=|z2l

C.若Zi與Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實軸對稱，則2逐2=以逐2|

D.若|zj=|z2l>則Z彳=Z2

【答案】ABC

【解析】

因為|Z1+z2l=|Z1-z2b所以I西+西I=I西一西I，

貝川西+西『=|百一百|(zhì)2,即4西西=0,則西，西，故選項A正確;

因為（百+兩）1（百一百），所以（西+兩）?（西"一兩）=0，

即西2=密2,則0|=同|,故選項B正確;

設(shè)Z1=a+bi（a,beR）,因為Z1與Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實軸對稱，

22

則Z2=a-bi（a,b6R）,所以z1Z2=a?+房，\Z1Z2\=a+b,則z/2=怙/2|,

故選項C正確；

若Zi=1+i,z2=1-i滿足|z/=|z2|,而z羊乎Z2＞故選項D錯誤；

故選：ABC.

12.已知△ABC是半徑為2的圓。的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（）

A.若角C=],則而?9=12

B.若2成+而+m=6，貝”品|=4

C.^\OA-OB\=OAOB,則西，詼的夾角為g

D.若（而+明）?定=|而『，則4B為圓。的一條直徑

【答案】BC

【解析】

對于A,作?！辏敬怪庇?8.垂足為。，則4。=（48，

由正弦定理得48=2x2xsinC=4xsing=2V3,

故而AO=\AB\-\A0\■COSLBAO=\AB\-\AD\=^x(2V3)2=6,故A錯誤：

對于B,由2通+而+前=G得，OA+AB+OA+AC=0<

即礪+祝=6,則點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，即8c為圓的直徑，故|阮|=4,B正確;

對于C,設(shè)羽，詼的夾角為。，

由-礪|=板?福得，I西一海|2=（34?麗）2,即8-8cos。=16COS2。，

解得COS。=g或COS0=—1,

由于畫一函=DX?前>0,故cos?=e（o,n）,故9=3，

則CX,福的夾角為泉C正確；

對于D,由（阮+麗）?元=|衣|2得（互+BA）-AC-\AC\2=（BC+BA-AC）-AC=O,

^（BC+BA+CAYAC=0,2BA-XC=0,則8c為圓。的一條直徑，D錯誤，

故選:BC

13.中華人民共和國的國旗圖案是由五顆五角星組成，這些五角星的位置關(guān)系象征著中國共產(chǎn)黨領(lǐng)導(dǎo)下的

革命與人民大團(tuán)結(jié).如圖，五角星是由五個全等且頂角為36。的等腰三角形和一個正五邊形組成.已知當(dāng)

AB=2時，BD=V5—1，則下列結(jié)論正確的為（）

A.\DE\=\DH\B.AF-BJ=0

C.AH=^-ABD.CB+CD=JC-JH

【答案】AB

【解析】

對于A,連接如圖，由。尸=尸”，/CFH=108°得：ZDWF=36°=ZF,[DE\=[DH\,A正確;

對于B,連接力尸，由4。==FH得：/尸垂直平分而BJ//DH,即4F1B/,則而?可=0,B

正確；

對于C,而與而不共線，C不正確；

對于D,連接C〃，BH,由選項A知，DH=DE=BC,VHBC//DH,則四邊形BCOH是平行四邊形，

CB+CD=CH=JH-JC,D不正確.

故選：AB

14.已知AABC中，AB=3,4C=5,BC=7,。為△力BC外接圓的圓心，/為AABC內(nèi)切圓的圓心，則下列敘

述正確的是（）

A.△ABC外接圓半徑為”B.AABC內(nèi)切圓半徑為交

32

C.A0-JC=8D.AI-JC=1

【答案】BCD

【解析】

在△4BC中，cos心冬黑=-/所以而4=爭

設(shè)△ABC外接圓半徑為R,則2氏=飴=卷=午，則口=鳴故A錯誤;

T3

設(shè)△4BC內(nèi)切圓半徑為r,則5&詆=33+5+7）「=N3*5*乎解得r=去故B正確;

1315

因為cos*BA0=券=矗=挈，cos/C4°=券=矗=普，

33

所以而?阮=而-4-砌=布?前一同?何

=Z^x5x這-辿X3X這8.故C1E確;

314314

設(shè)內(nèi)切圓與三角形分別切于D,E,F,則設(shè)4E=EF=x,CE=CD=y,BD=BF=z,

x+y=5

x+z=3,解得％=gy=；,z=I，所以A/=產(chǎn)了*=1,

.y+z=7

則cosZ-BAl=I，coszC/1/=

所以萬.近=萬.函一四）=AI-AC-Al-AB=1X5X1-1X3X1=1,故D正確.

故選：BCD.

A

E

15.定義平面向量的一種運(yùn)算"e"如下：對任意的兩個向量3=（Xi，yD，方=（%2，、2），令式。石=（修丫2—

x2y1,x1x2+7172）>下面說法一定正確的是（）

A.對任意的;16R,有（然）0石=4@。方）

B.存在唯一確定的向量芍使得對于任意向量都有萬05==互成立

C.若五與石垂直，則（互標(biāo)）配與五日（石0①共線

D.若五與萬共線，則伍。石）呢與五日0碗）的模相等

【答案】AD

【解析】

=x_

設(shè)向量既=（#i，yi）,b=Cx2,y2）>對于A,對任意的46R,W（Aa）0b=（AxlfAy1）0（x2,y2）Ui72

Ax2y1,Ax1x2+Ayiy2）

==#1、2-x2Vl>xlx2+y，2）=麗）>故A正確;

對于B,假設(shè)存在唯一確定的向量？=（x（）,yo）使得對于任意向量第都有元0?=*€順=H成立，即（x/o-

xoynxixo+y/o）=（與丫1-xjyo,XQXJ+%為）=Oi，yi）恒成立，即方程組

-1九一:二="1，對任意乙,當(dāng)恒成立，而此方程組無解，故B不正確；

I%1%0十%y。一%

對于C,若五與石垂直,則X/2+y/2=0,設(shè)？=（%3，乃），則（3麗）災(zāi)=（%172-%2%，0）。（%3，為）=（叼y2y3一

X2yiy3>xly2x3-x2y1x3'）,

a0（60c）=（xi，yi）?（x2乃一萬3丫2，X2刀3+y2y3）

=（X1X2X3+Xty2y3-yi》2乃+3y2，X62乃一修丫2》3+yiX2X3+y/2y3）

=Oiy2y3-Pi%2y3,-X02X3+yi”3）*“（vy2y3-yix2y3,x-iy2x3-三必必），其中〃cR，故c不正確；

對于D,若互與萬共線，則久1丫2-亞力=0，設(shè)？=（%3，乃），

值麗）0?=（0,勺丫2+力》2）。（久3，丫3）=（-%62與-%丫2打，與％2丫3+乃，2y3），

a0（h0c）=062與+X/2y3-y1X2y3+%及％3，巧犯為-+yiX2X3+y/2y3）

=（尤62%3+、1，2X3，萬1%2%+y。2y3），所以但麗）而與次）0碇）的模相等，故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識以及分析問題、解決問題的

能力.

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，r>0,QM：(x-r)2+y2=,與拋物線c：y2=?有且僅有兩個公共點(diǎn)，

直線/過圓心〃且交拋物線C于/,B兩點(diǎn)、,則35?砧=.

【答案】0

【解析】

因與拋物線C有且僅有兩個公共點(diǎn)，而?！迸c拋物線C都關(guān)于x軸對稱，因此，兩個公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)

相同，并且唯一，

由|('+"4消去y并整理得：X2—2(r—2)x+y=0.且X20,

于是得{A=4(r-2)2-r2=3rz-16r+16=0,解得「=4,

即點(diǎn)M(4,0),顯然直線/不垂直于y軸，設(shè)直線/的方程為x=ty+4,

X=tv+4

2_4消去X并整理得：y2-4ty-16=0,設(shè)，(小,%),8(%2，、2)，則為+、2=牝,為、2=-16，

{y=曲

所以初■OB-xtx2+y/2=+號+為丫2=(-；),+(-16)=0.

故答案為：0

17.已知△力BC是等邊三角形，E,F分別是AB和4C的中點(diǎn)，P是△ABC邊上一動點(diǎn)，則滿足瓦?師=麗?方

的點(diǎn)P的個數(shù)為.

【答案】4

【解析】

解：以BC的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，。4所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)△A8C的邊長為4,則B(—2,0),C(2,0),A(0,26)，E(-1,V3),F(1,V3),'BE=(1,V3),CF=(-1.V3),

設(shè)P(x,y),則匹=(一1一/百一曠)，PF=(l-x,V3-y),

由理■PF='BE-療得(-1-x,V3-y)-(1-x,V3-y)=(1,V3)?(-1,V3),

所以x2+(y_何)2=3,即點(diǎn)p的軌跡是以(0,b)為圓心，舊為半徑的圓，也就是以4。為直徑的圓，易知

該圓與△ABC的三邊有4個公共點(diǎn).

18.已知平面向量萬，苞滿足|2匹一久|=2,設(shè)4=瓦+4匹石=瓦+%，若1W方4W2，則同的取值范

圍為?

【答案】[6-1,西+1]

【解析】

設(shè)？=萬一2詼，則石=(0+0，則由條件1式小了工2知+W4,

所以33也+方工+為<5,所以百W卜+||W低用=1,

乂|根+￥-制式同呼+111邛+三+W

所以百一1W|a|<V5+1.

故答案為：[8―1,而+1].

19.已知AABC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,瓦c,4=或c=3,asinB=g,D,E分別為線段A8,4c上的

動點(diǎn)，*=為則0E的最小值為^

ABCA---------------------

【答案】嗎#。后

1919

【解析】

在△ABC中，由正弦定理得：竭二^^,??,asinC=3sing=誓，

36r2

二則￡=竺更=工=3由正弦定理得：：=；.b=2；

sinBasinBV32",

設(shè)而=tAB(G<t<1),則在=tCA=-tAC,■■.AE=AC+CE=(<1-t)AC,

2222

DE=(AE-AD)=((1-t)AC-t而了=(i_t)2b2+2c2_2t(l-t)bccosA=4(1-t)+9t-

6t(l-t)=19t2-14t+4,

二當(dāng)t時，(DF2).=^-^+4=^..-.\DE\=返，

19l7min191919?Imin19

即DE的最小值為返.

19

故答案為：里.

19

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查平面向量與解三角形綜合應(yīng)用問題，求解線段長度的基本思路是將其轉(zhuǎn)化為平面向量

模長的求解問題，通過向量線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的運(yùn)算律，將所求模長轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量t的函數(shù)的形式，

利用函數(shù)最值的求解方法可求得結(jié)果.

20.在平行四邊形ABCD中，\AB+AD\=\BD\=3,\AB\=1,則衣-BD=.

【答案】7

【解析】

因為仍=油-而，所以|亦-而|=3,兩邊平方得：

AD2-2AD.而+而2=9①

又|而+而|=3,兩邊平方得：

AD2+2AD?通+而2=9②

兩式相減得：ADAB=0,

所以前2+而2-9,

因為|說|=1,所以|沏|=2返，

ACBD=(AD+AB)(AD-AB")=AD2-AB2=8-1=7,

故答案為：7

21.已知非零向量乙方滿足同=|/，且值+石)J.石，則五與萬的夾角為.

【答案】"#180°

【解析】

依題意作下圖：

a=BD=AC,b=BA,a.+b=BC，

由已知條件可知，\AC\=\AB\,481BC,

由勾股定理得：\AC\2=\AB\2+\BC\2,\BC\=0,

即H+石=0，向量互與向量石的方向相反，即夾角為乃；

故答案為：n.

22.已知半徑為1的圓O上有三個動點(diǎn)/,B,C,且伊用=在，則衣?阮的最小值為

【答案】1一0##一&+1

【解析】

因為|48|=夜，又|。*=|。8|=1,所以|。川2+|0四2=|力團(tuán)2,所以乙4。8=*

以。為原點(diǎn)，。408所在直線為乂y軸建立平面直角坐標(biāo)系：

所以配"BC=x(x-1)+y(y-1)=x2+y2-x—y=-x-y+1,

設(shè)—x—y+l=t,即x+y+t—1=0,

依題意直線x+y+t-1=0與圓有交點(diǎn),

所以叫W1，得