人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第四章第5節(jié)　函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的應(yīng)用

第5節(jié)函數(shù)y=Asin（3x+°）的圖象與性質(zhì)

及三角函數(shù)模型的應(yīng)用

課程標(biāo)準(zhǔn)要求

1.了解函數(shù)y=Asin（3x+e）的物理意義，能畫出y=Asin（3x+°）的圖

象，了解參數(shù)A,3,9對函數(shù)圖象變化的影響.

2.會用三角函數(shù)解決一些簡單的實(shí)際問題,體會三角函數(shù)是描述周期

變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

①用雙材夯實(shí)四基

必備知識?課前回顧

械知識梳理

1.y=Asin（3x+0）的有關(guān)概念

y=Asin(ax+e)振幅周期頻率相位初相

(A>0,w>0),

q13

AT=—f=-=-3x+e(p

0)T2兀

xeR

2.用五點(diǎn)法畫y=Asin（3x+°）（A>0,3>0,x￡R）一個周期內(nèi)的簡圖時,

要找五個特征點(diǎn)

如表所示:

7T37r

0-<PTl-(p

X二夕

3G)

G)3G)

7T37T

3x+e0JI2Ji

2~2

y=Asin(3x+w)0A0-A0

3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin（<ox+??）（A>0,?>0）的圖象

的兩種途徑

陽

|畫出y=8in4的圖象~—驟—，畫出y=sin4的圖象|

1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹贡?/p>

向左（右）平移回個單位長度

I,,（縱坐標(biāo)不變）

|得到尸sin,摩）的函有一驟一|得到尸sink的圖象|

2

橫坐標(biāo)變?yōu)轺嘌?/p>

向左（右岸移個單位氏度

I得到尸§in（3%+W）的圖象卜-—得到尸sin（⑷4+9）的圖象|

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

I硬坐標(biāo)不變）（橫坐標(biāo)不變）

|得到『4si：（3%+e）的圖象卜——得到尸Asin（?a:+w）的圖象|

匡重要結(jié)論

1.先平移變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是I9|個單位長度；

先周期變換（伸縮變換）再平移變換,平移的量是此（3>0）個單位長

O）

度.

2.函數(shù)y=Asin（3x+>）的對稱軸由?x+<z>=kTI+y,kQZ確定;對稱中

心由3x+o=k五，k￡Z確定其橫坐標(biāo).

—?對點(diǎn)自而—

1.函數(shù)y=2sin（tJ的振幅、頻率和初相分別為（C）

A.2,4冗，一B.2,—,一

3'4"'3

C-2,言，貸D.2,4",

解析：由題意知A=2,f=^=^—初相為工■.故選C.

T2n4n3

2.為了得到函數(shù)y=2sin（2x-1）的圖象可以將函數(shù)y=2sin2x的圖象

（A）

A.向右平移：個單位長度

B.向右平移十個單位長度

C.向左平移￡個單位長度

D.向左平移孑個單位長度

因此,為了得到函數(shù)y=2

sin（2x-1）的圖象,可將函數(shù)y=2sin2x的圖象向右平移看個單位長度.

故選A.

3.把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮小為原來的右縱坐標(biāo)

保持不變,再把圖象向右平移9個單位長度,則所得圖象對應(yīng)的解析

式為（A）

A.y=sin（2x-y）

B.y=sin（2x--^-）

C.y=sin（~）

D.y=sin令弓）

解析:把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的右縱坐

標(biāo)不變,得到y(tǒng)=sin2x的圖象,再把y=sin2x的圖象向右平移？個單

位長度，得到y(tǒng)=sin[2（x-1）],即y=sin（2xq）的圖象.故選A.

4.用五點(diǎn)法畫函數(shù)y=sin（x-十）在一個周期內(nèi)的圖象時,主要確定的

五個點(diǎn)是、、、、.

答案：（右0）（號,1）（『0）（*T）（等,0）

5.某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個

月會重復(fù)出現(xiàn).如表所示是今年前四個月的統(tǒng)計(jì)情況.

月份X1234

收購價格y/（元/斤）6765

選用一個正弦型函數(shù)來近似描述收購價格(單位:元/斤)與相應(yīng)月份

之間的函數(shù)關(guān)系為

解析：設(shè)y=Asin(3x+e)+B(A>0,w>0),由題意得A=l,B=6,T=4,因?yàn)?/p>

丁=空,所以3三，

O)2

所以y=singx+°)+6.

因?yàn)楫?dāng)x=l時,y=6,所以6=sin(/+9)+6,

結(jié)合表中數(shù)據(jù)得3+9=2k冗，k￡Z,可取(P=~~>

所以y=sin(^x-^)+6.

答案:y=sin(/x-1)+6

美小考點(diǎn)氣窠四鬟

關(guān)鍵能力?課堂突破

考點(diǎn)一函數(shù)y=Asin(3x+夕)的圖象及變換

1.為了得到函數(shù)y=sin(2x+?)的圖象,可將函數(shù)y=sin2x的圖象

6

(B)

A.向右平移工個單位長度

B,向左平移工個單位長度

C.向右平移!個單位長度

D.向左平移!個單位長度

6

解析:因?yàn)閥=sin(2xq)=sin[2(x+*)],因此,為了得到函數(shù)

y=sin(2x+》的圖象,可將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移工個單位長

度.故選B.

2.(多選題)將函數(shù)y=sin(2x+?)的圖象沿x軸向左平移三個單位長度

后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則夕的值可能是(AB)

A.--B.-

44

C.0D.--

4

解析:將函數(shù)y=sin(2x+°)的圖象沿x軸向左平移個單位長度后,得

O

到y(tǒng)=sin(2x+；+°)的圖象，

4

由于所得函數(shù)為一個偶函數(shù),則五+；,kez,w=^+kJI,kez,故

424

當(dāng)k=0時，

4

當(dāng)k=-l時，故選AB.

4

3.將函數(shù)y=sin(3x+￡的圖象向右平移票個單位長度后與原圖象重

合,則正數(shù)3不可能是(A)

A.2B,3

C.6D.9

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y=sin(ax+也的圖象向右平移,個單位長度后得

y=sin[w(x-y)+^],

所以當(dāng)3=2時,y=sin[2(x-爭+卻Wsin(2x+,

當(dāng)3=3時,y=sin[3(x-y)+^]=sin(3x+^),

當(dāng)co=6時,y=sin[6(x-y)+熱=sin(6x+)

當(dāng)3=9時,y=sin[9(x-爭+g=sin(9x+/).故選A.

*題后悟通

1.函數(shù)y=Asin(3x+@)的圖象可用“五點(diǎn)法”作簡圖得到，可通過變

量代換Z=?x+9計(jì)算五點(diǎn)坐標(biāo).

2.由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(3x+°)的圖象有兩條

途徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”.

值考點(diǎn)二求函數(shù)y=Asin(3x+°)的解析式

G?D(1)已知函數(shù)f(x)=sin(3x+e)(3>0,|*嗎)的部分圖象如圖

所示,若Xi,X2e(-*，且f(Xi)=f(x2),則f(X1+X2)等于()

A-BW

22

C.—2D.1

⑵已知函數(shù)f(x)=sin(3x+°)(3>0,|°|<泉的部分圖象如圖所示,

則y=f(x+少取得最小值時x的集合為_________________.

6

解析：⑴由題圖知,分,即T=弘，則3=2,所以f(x)=sin(2x+e),因?yàn)?/p>

點(diǎn)(p0)在函數(shù)f(x)的圖象上,所以sin(2義"夕)=0,即爭*2kn+

R，k￡Z,所以夕=2k弘+*k￡Z,又|夕|所以夕三，所以

f(x)=sin(2x+1),因?yàn)閤i,X2￡(-=2,且f(X1)=f(x2),所以華囁所

以Xi+x2=^,所以f(Xi+X2)=sin(2x汨)考.故選C.

⑵根據(jù)所給圖象,可得周期T=4X(工-學(xué)=冗，故冗胃,所以3=2,因

此f(x)=sin(2x+夕)，另外圖象經(jīng)過點(diǎn)(工,0),代入有2X工+/=弘+2k

h(k￡Z),再由|夕|§得夕=*所以f(x)=sin(2x《)，所以

f(x+^)=sin(2x+￡),當(dāng)2x+--^+2k弘(k￡Z),艮［Jx=-^+kn(k￡Z)

時,y=f(x+g)取得最小值,此時x的集合為{x|x=kJIkeZ).

63

答案：⑴C(2){x|x=kJi-^,kez}

，解題策略

1.已知f(x)=Asin(3x+g)(A>0,3>0)的部分圖象求其解析式時,A比

較容易看圖得此利用周期性求3,難點(diǎn)是的確定.

2.y=Asin(3x+0)中夕的確定方法

(1)代入法:把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間

上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入.

⑵五點(diǎn)法:確定9值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破

口.

［針對訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)f(x)=Asin(ax+0),x￡R(其中A>0,3>0,-殳夕4)，其部

分圖象如圖所示，將f(x)的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標(biāo)不變,

再向右平移1個單位長度得到g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)的解析式為

()

A.g(x)=sin[^(x+l)]

B.g(x)=sin[^(x+l)]

C.g(x)=sin(/x+l)

D.g(x)=sin(8-x+1)

解析：由題圖可得f(x)=sin(：x+：),橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得

y=sin*x+：)，再向右平移1個單位長度,得

g(x)=sin*(xT)+：]=sin《x+；)=sin*(x+l)].故選B.

2.a^f(x)=Asin((ox+^)(A>0,<o>0,|夕|<n)的部分圖象如圖所示,

則函數(shù)f(x)的解析式為.

解析：由題圖可知A=V2.

注一r-7n-TI-TI

工41234)

所以T=n，故3=2,

因此f(x)=V^sin(2x+(P),

又§0)對應(yīng)五點(diǎn)法作圖中的第三個點(diǎn)，

因止匕2Xg+*=n+2kn(k￡Z),

所以*三+2kJT(k￡Z),

又I。I<11,所以9g.

故f(x)=V2sin(2x+^).

法二以G，0)為第二個“零點(diǎn)"，當(dāng)x為"時,y埒為-遮，

?5JL/

?-+<p=IT,(3=2,

列方程組7：3“解得

?運(yùn)+夕=總，(▽3，

故f(x)=V2sin(2x+^).

答案:f(x)=V^sin(2x+^

慢考點(diǎn)三函數(shù)y=Asin(3x+°)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

C例2已知函數(shù)f(x)=V^sin(23x+g)(3>0)的圖象與x軸相鄰兩個交

點(diǎn)的距離為今

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖

象,且g(x)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)(《,0),求當(dāng)m取得最小值時,g(x)在

仁,和上的單調(diào)遞增區(qū)間.

o1Z

解：(1)函數(shù)f(X)的圖象與X軸相鄰兩個交點(diǎn)的距離為*得函數(shù)f(x)

的最小正周期為T=2X］今,得3=1,故函數(shù)f(x)的解析式為

22a)

f(x)=V3sin(2x+；).

⑵將f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度得到函數(shù)

g(x)=V3sin［2(x+m)+^］=V3sin(2x+2m+^)的圖象,根據(jù)晨x)的圖象恰

好經(jīng)過點(diǎn)(《,0),

可得V3sin(-^+2m+^)=0,

即sin=0,

所以2m-j=kn(kGZ),

解得m=1+g(k￡Z),

26

因?yàn)閙>0,所以當(dāng)k=0時,m取得最小值,且最小值為g

6

此時，g(x)=V3sin(2x+y).

因?yàn)閤￡［小等，所以2x+ye串等］.

當(dāng)2x+^e弓事，即x$［-*-工］時,g(x)單調(diào)遞增，

332612

當(dāng)2x+^e百,岸］，即X￡曙,等時,g(x)單調(diào)遞增.

綜上,g(x)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是仁,-3］和管,卯.

61Z61Z1Z1Z

解題策略I

函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題.此類問題常先通過三角恒等變換化簡函

數(shù)解析式,再來研究其性質(zhì).

［針對訓(xùn)練］

設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3xq)+sin(3x-］),其中0<w<3.已知f0=0.

⑴求3；

⑵將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)

不變)，再將得到的圖象向左平移;個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖

象，求g(x)在［-三號上的最小值.

44

解：(1)因?yàn)閒(x)=sin(3xq)+sin(3x(),

所以f(x)=-^-sinwx--coswx-cosax

V3.3

=-sin?x--coswx

22

=A/3(|sinwx-^cos3x)

=V3sin(3x-^).

由題設(shè)知f?)=0,

6

所以詈-n,kGZ,

故3=6k+2,k￡Z.又0<3<3,

所以3=2.

⑵由⑴得f(x)=V^sin(2x-；),

所以g(x)=V^sin(x+?V^sin(x￡).

因?yàn)閤￡S,爭，

所以盜￡號爭,

當(dāng)即x=T時,

g(x)取得最小值-1.

席考點(diǎn)四三角函數(shù)模型的應(yīng)用

CW如圖,某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)0

離地面1米，點(diǎn)0在地面上的射影為A.風(fēng)車圓周上一點(diǎn)M從最低點(diǎn)0

開始,逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達(dá)P點(diǎn)，貝IJ點(diǎn)P到地面的距離是一

米.

解析：以圓心。為原點(diǎn)，以水平方向?yàn)閤軸方向，以豎直方向?yàn)閥軸方

向建立平面直角坐標(biāo)系，則根據(jù)大風(fēng)車的半徑為2米,圓上最低點(diǎn)。離

地面1米,12秒轉(zhuǎn)動一周，設(shè)N00F=。，運(yùn)動t秒后與地面的距離為

f(t).

又周期T=12,所以0=抵，

則f(t)=3+2sin(0-］)=3-2cos(t20),

當(dāng)t=40s時，f(t)=3-2cos(2X40)=4.

6

答案：4

解題策略

三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面:一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題;

二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決

問題.

［針對訓(xùn)練］

據(jù)市場調(diào)查,某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎(chǔ)上,按月呈

f(x)=Asin(3x+w)+B(A>0,3>0,|9?])的模型波動(x為月份)，已知

3月份達(dá)到最高價9千元,9月份價格最低為5千元.則7月份的出廠

價格為元.

三角函數(shù)模型為y=Asin(3x+°)+B,

由題意知A=2000,B=7000,T=2X(9-3)=12,

所以a專二￡

將(3,9000)看成函數(shù)圖象的第二個特殊點(diǎn)，

貝U有o所Z以8二0,

故f(x)=2OOOsin—+7000(1?2,x￡N*).

6

所以f(7)=2000Xsin—+7000=6000.

6

故7月份的出廠價格為6000元.

答案:6000

府備選例題

CITD為了得到函數(shù)y=sin⑵習(xí)的圖象,只需把函數(shù)y=cos(2x-爭的

圖象()

A.向左平移;個單位長度

B.向右平移;個單位長度

C.向左平移與個單位長度

D.向右平移]個單位長度

解析:y=cos(2x-y)=sin號+(2x-y)]=sin(2x~),故要得到函數(shù)

y=sin(2x《)的圖象，只需要平移-(x-工)q個單位長度,又:>0,

所以應(yīng)向左平移.故選A.

CWD已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+*)+B(A>0,3>0,|0嗎)的部分圖象

如圖所示,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,得到函

)

4+”限A=V3,

解析:依題意得解得

-A+B=~^-

Tn2nnn

2儂362’

故3=2,則f(x)=V3sin(2x+(P)

又f9)Ssin(2)+苧=^,

故;+(pg+2k五(k￡Z),即e=.+2k冗(k￡Z).

因?yàn)镮9I故夕三，

所以f(x)=JJsin(2x+￡)+y.

將函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位長度后得到

g(x)=V3sin(2x+92m)+整的圖象,又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)號多對

6L32

稱,故6sin(空+?+2m)=0,即也+2m=kn(k￡Z),故m=-(k￡Z).令

366212

k=2,則m*.故選D.

CUD已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+°)(A>0,|力|<右3>0)的圖象的一部

分如圖所示,則f(x)的圖象的對稱軸方程是.

解析：由圖象知A=2,

1

又l=2sin(3XO+0)，即sin(p--,

又I*I〈泉所以/吟

又X3+7=231,所以3=2,

1Z6

所以f(x)=2sin(2x+^),

o

令2x+-=-+kJi(k￡Z),得x=—+-(kGZ).

6226

所以f(x)=2sin(2x+?的對稱軸方程為x=4(k￡Z).

626

答案：x=?+?(k￡Z)

2o

靈活于強(qiáng)密鼓提保

課時作業(yè)

選題明細(xì)表

綜合運(yùn)應(yīng)用創(chuàng)

知識點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練

用練新練

函數(shù)y=Asin(3x+°)的圖象

1,2,3,4,5,714

及變換

求函數(shù)y=Asin(sx+e)的解813

析式

函數(shù)y=Asin（3x+°）的圖象

6,91618

與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

10,11,12,

綜合問題

15,17

A級基礎(chǔ)鞏固練

1.函數(shù)y=sin（2x《）在區(qū)間《，河上的簡圖是（A）

解析:令x=0得y=sin（-$=-?,排除B,D項(xiàng)，

由f（三）=0,f（=）=0,f（-J=T,排除C項(xiàng).故選A.

2.要得到y(tǒng)=sin（2x-：）的圖象，只需將y=sin2x的圖象（D）

A.向左平移;個單位長度

B.向右平移;個單位長度

C.向左平移三個單位長度

D.向右平移三個單位長度

8

解析:因?yàn)閥=sin（2x-?=sin[2（x-；）,

因此,要得到y(tǒng)=sin（2x￡）的圖象，

只需將y=sin2x的圖象向右平移三個單位長度.故選D.

8

3.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+§)(0<3<2)滿足條件:f(-|)=0,為了得到

函數(shù)y=f(x)的圖象,可將函數(shù)g(x)=cosax的圖象向右平移m(m>0)

個單位長度，則m的最小值為(A)

A.1B」

2

C.-D.-

62

解析：由題意，得sinU3+9=0,

26

即」3+-=kJi(k￡Z),

26

則3』-2kJI(kez),

結(jié)合0<?<2,得a三，

所以f(x)=sin爭+，=cos=cos吟(x-1)］,

所以只需將函數(shù)晨x)=cosgx的圖象向右平移至少1個單位長度，即可

得到函數(shù)y=f(x)的圖象.故選A.

4.將函數(shù)y=sin(2x+9的圖象向右平移三個單位長度,所得圖象對應(yīng)

510

的函數(shù)(A)

A.在區(qū)間r，引上單調(diào)遞增

44

B.在區(qū)間［-：,0］上單調(diào)遞減

4

C.在區(qū)間百歲上單調(diào)遞增

42

D.在區(qū)間日汨上單調(diào)遞減

解析:y=sin(2x+=)=sin［2(x+已)］，將其圖象向右平移已個單位長度，

得到函數(shù)y=sin2x的圖象.由2kn-2W2xW2k五+2,k￡Z,得k五

224

xWkJi+：k￡Z.令k=0,可知函數(shù)丫=5途2乂在區(qū)間［-四,3上單調(diào)遞增.

444

故選A.

5.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+s)(A>0,3>0,|夕|<^)的部分圖象如圖所

示.則能夠使得y=2sinx變成函數(shù)f(x)的變換為(C)

A.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊苍傧蜃笃揭菩袀€單位長度

B.先橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再向左平移點(diǎn)個單位長度

C.先向左平移?個單位長度,再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?/p>

D.先向左平移9個單位長度,再橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

24

解析:觀察圖象知A=2,f(x)周期為T,

貝1工=比一區(qū)三即丁=口，3=空=2,

41264T

又f0)=2,gp2X-+^=2kJi+-(kez),

662

而I。IG，則k=0,(Pg

Z6

所以f(x)=2sin(2x+?),

6

把y=2sinx圖象向左平移，個單位長度得y=2sin(x+^)圖象,再把所

得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼乃燃吹胒(x).

故選C.

6.(多選題)函數(shù)f(x)=2sin(2xf的圖象為C,則下列結(jié)論正確的是

(AB)

A.f(x)的最小正周期為口

B.對任意的x￡R,都有f(x+^)+f(--x)=O

66

口汽)在(-巳工)上是減函數(shù)

D.由y=2sin2x的圖象向右平移三個單位長度可以得到圖象C

解析：由f(x)=2sin(2x￡),所以f(x)的最小正周期為詈耳，故A正

確;fG)=2sin(2X2-2)=0,即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)邑0)對稱，即對

任意的XGR,都有f(x+鄉(xiāng)+f(卜X)=0成立，故B正確；當(dāng)x￡(T，與

661212

時,2x-為(T9,所以f(x)在(三,為上是增函數(shù)，故C錯誤；由

y=2sin2x的圖象向右平移三個單位長度得到y(tǒng)=2sin2(x-三)=

2sin(2x-y)的圖象，故D錯誤.故選AB.

7.函數(shù)y=sinx~\/3cosx的圖象可由函數(shù)y=sinx+V3cosx的圖象

至少向右平移個單位長度得到.

解析:y=sinx-V3cosx=2sin(xf,y=sinx+V3cosx=2sin(x+1),故

應(yīng)至少向右平移亨個單位長度.

答案號

8.已知函數(shù)丫=$行(2*+夕)的圖象關(guān)于直線對稱,則夕的

值為.

解析：由題意得f9=sin(g+#=±l,

所以爭"*=k￡+/k￡Z,

所以夕=k兀k￡Z.

6

因?yàn)橄Α?_p]),

所以*

6

答案:q

6

9.某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函

數(shù)y=a+AcosP(x-6)](x=l,2,3,…，12)來表示，已知6月份的月平均

6

氣溫最高，為28℃,12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份

的平均氣溫值為℃.

解析：依題意知，a=W竺=23,A=北#=5,

所以y=23+5cos弓(x-6)],

當(dāng)x=10時,

y=23+5cos(，X4)=20.5.

答案：20.5

B級綜合運(yùn)用練

10.(2021?浙江杭州高三模擬)定義在R上的奇函數(shù)f(x)=sin(2x+0)

(I。IW,)的圖象向右平移!個單位長度后與函數(shù)g(x)的圖象重合,則

函數(shù)g(x)在[-盟]的單調(diào)遞增區(qū)間為(B)

A.卷W

B?屋，等

C.6,-等和臉與

D.和口

212122

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，

又I夕I所以夕=0,

所以f(x)=sin2x,

所以g(x)=sin[2(x-^)]=sin(2x-^),

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，

令」+2kJI^2x--^-+2kJi.keZ,

232

解得-工+krWxW史+kJi,kGZ,

1212

又因?yàn)閄￡［￡,J

所以吟

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［-巳工］.

故選B.

11.(2021?浙江溫州高三模擬)若函數(shù)f(x)=cos(2x+p)(0<9<無)在

區(qū)間［q，口上單調(diào)遞減，且在區(qū)間(0,I)上存在零點(diǎn)，則。的取值范圍

666

是(D)

A.(注］B.號季

C.§第D.［品)

解析:當(dāng)州時,

2x+e￡［-^+(P,g+e］,

又夕￡(0,兀)，所以2x+(P￡(-p等)，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=cos(2x+e)(0<wO)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

66

所以［一”。(+。］口0,五］,

^-^>0,7r27r

即\解得欠

(p+-<n,33

令f(x)=cos(2x+o)=0,貝！J2x+(P=^+k冗(k￡Z),

即X號轉(zhuǎn)(k￡Z),

由，*(-；,；),可得當(dāng)且僅當(dāng)k=0時，

有x=H，

42

又函數(shù)f(x)=cos(2x+e)(0<w<R)在區(qū)間(0,白上存在零點(diǎn),

6

所以;羅(0,?解得江。與

42662

綜上，＞的取值范圍是(弓).

故選D.

12.(多選題)已知函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x-l,則下列四個結(jié)論正確的

是(AB)

A.函數(shù)f(x)在區(qū)間[考,上是增函數(shù)

88

B.點(diǎn)(詈,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心

C.函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=V2sin2x的圖象向左平移四個單位

4

長度得到

D.若x￡[0,g，則f(x)的值域?yàn)閇0,V2]

解析：函數(shù)f(x)=sin2x+2cos2x-l=sin2x+cos2x=V2sin(2x+^).

若xHqW],則2x+衿喘,J

因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[丹,上是增函數(shù)，

88

因此A正確；

因?yàn)閒(^)=V2sin(^+7)=V2sin五=0,

844

因此點(diǎn)(詈,0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心，因此B正確；

由函數(shù)y=V2sin2x的圖象向左平移；個單位長度得到

4

y=V2sin[2(x+-)]=V2cos2x,

4

因此由函數(shù)y=&sin2x的圖象向左平移?個單位長度不能得到函數(shù)

4

f(x)的圖象，因此C不正確；

若x￡[0,具則2x+/與竽，

所以sin(2x+：)e[-gl],

42

所以f(X)的值域?yàn)閇T,&]，因此D不正確.故選AB.

13.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=2cos?x+遍sin2xT的說法正確的是(D)

A.是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)

B.函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,會上是增函數(shù)

C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,口)上有且只有一個零點(diǎn)工

D.函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移套個單位長度

得到

解析：函數(shù)f(xAZcos'+V^sin2xT=cos2x+V3sin2x=2sin(2x+^),

當(dāng)x苫時,2sin(2X支)=1,所以xg不是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn),所

以A不正確；

當(dāng)乂三時，函數(shù)f(x)取得最大值,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,引上不是增

函數(shù),所以B不正確；

由2sin(2x+-)=0得2x+-=k冗，k￡Z,則x=^--—,k￡Z,

66212

所以在區(qū)間(0,口)上有兩個零點(diǎn)工，詈，所以C不正確；

由函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移V個單位長度得到y(tǒng)=

2sin[2(x+J]=2sin(2x+5)的圖象，所以D正確.故選D.

14.已知函數(shù)f(x)=sin(3x+°)0>0,IplW、)，x=-:為f(x)的零點(diǎn)，

24

X三為y=f(x)的圖象的對稱軸,且f(X)在臉書上單調(diào)，則3的最大

值為(B)

A.11B.9

C.7D.5

解析:因?yàn)閤=9為f(x)的零點(diǎn),x=：為y=f(x)的圖象的對稱軸，

44

所以吧.T=->gp—--=-(neN),

424o)2

即3=2n+l(n￡N),

即3為正奇數(shù)，

因?yàn)閒(x)在(-,-)上單調(diào),則史」=工<二，

即丁二空22,解得3W12,

0)6

當(dāng)3=11時，-坨+w=kjk￡Z,

4

因?yàn)镮。

所以*q,

4

此時f(x)在G，m上不單調(diào),不滿足題意；

1836

當(dāng)3=9時，-空+0=kn,k￡Z,

4

因?yàn)镮*Iwg,所以9二:，

24

此時f(x)在G，2上單調(diào),滿足題意.

1836

故3的最大值為9.故選B.

15.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(3x+削(3>0),已知f(x)在［0,2JI］有且僅有5

個零點(diǎn).下述四個結(jié)論：

①f(x)在(0,2門)有且僅有3個極大值點(diǎn)；

②f(x)在(0,2Ji)有且僅有2個極小值點(diǎn)；

③f(x)在(0,白)單調(diào)遞增；

10

④3的取值范圍是呼務(wù)

其中所有正確結(jié)論的編號是(D)

A.①④B.②③

C.①②③D.①③④

解析:如圖,根據(jù)題意知,x,W2弘<xB,根據(jù)圖象可知函數(shù)f（x）在（0,2n）

上有且僅有3個極大值點(diǎn),所以①正確;但可能會有2個或3個極小值

點(diǎn)，所以②錯誤;根據(jù)X,W2冗<XB,有三兀,得當(dāng)W3所以

5co5co510

④正確；當(dāng)x￡（0,M時,督3x+g〈等+g因?yàn)楦蔠3〈冬所以^W

<1.U口。J.U口JU乙J

詈+至簽除所以函數(shù)f（X）在（0*）上單調(diào)遞增,所以③正確.故選D.

47r24^

5a)

291Tx

5a)

16.將函數(shù)f(x)=1-2V3COS2X-(sinx-cosx)"的圖象向左平移;個單位

長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若x￡[3,熱，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間是.

解析：因?yàn)閒(X)=1-2V3COS2X-(Sinx-cosx)2=sin2x-/3cos2x_V3=

2sin(2x-^)-V3,

所以g(x)=2sin[2(x+，T-V3=2sin(2x+^)-V3,

由￡+2knW2x+]W]+2k弘(k￡Z),

得—即+kJIWxW-^+kn(k￡Z),

1212

因?yàn)?/p>

所以函數(shù)g(x)在[-=最上的單調(diào)遞增區(qū)間是泉.

答案:［博,也

17.已知函數(shù)f（x）=Asin（ax+夕）（A>0,3>0,|夕|<］）的部分圖象如圖

所示.

⑵將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原

來的;,再把所得的函數(shù)圖象向左平移?個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)

26

的圖象，求函數(shù)g(x)在區(qū)間［0,J］上的最小值.