正確認(rèn)識數(shù)學(xué)

關(guān)于正確認(rèn)識數(shù)學(xué)第1頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四一：數(shù)學(xué)是什么（數(shù)學(xué)的特征）二：數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾對關(guān)系1、教師的角色與地位2、我們應(yīng)持什么樣的學(xué)生觀3、現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)觀4、錄像觀摩與討論第2頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四一、數(shù)學(xué)是什么一、數(shù)學(xué)是什么

二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)第3頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四一、數(shù)學(xué)是什么數(shù)學(xué)是什么？這是任何一個數(shù)學(xué)教育工作者都必須認(rèn)真思考的問題，也是數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)觀問題。

在不同的歷史時期，隨著數(shù)學(xué)本身的發(fā)展與人們對數(shù)學(xué)認(rèn)識的深入，對“數(shù)學(xué)是什么”這一問題有著各種不同的論述，數(shù)學(xué)內(nèi)涵也越來越豐富。第4頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四1.古代中國認(rèn)為數(shù)學(xué)是術(shù)，是用來解決生產(chǎn)與生活問題的計算方法。2.古希臘亞里士多德（公元前4世紀(jì)）：數(shù)學(xué)是量的科學(xué)。3.恩格斯（19世紀(jì)）：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。背景:19世紀(jì)以前古典數(shù)學(xué)的主要成就就是算術(shù)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、微積分。這些學(xué)科研究的都是客觀事物的空間形式和數(shù)量，這一定義優(yōu)于亞里士多德的定義，受到數(shù)學(xué)家的普遍贊成，至今仍被經(jīng)常采用。<一>數(shù)學(xué)發(fā)展史上的各種觀點(diǎn)第5頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四局限:由于近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的研究對象如今已超越出數(shù)量關(guān)系和空間形式的最初意義的理解。如“n維向量空間”、“函數(shù)空間”等只是形式上與一般空間概念有某些類似的模擬物。另一方面由于各種抽象結(jié)構(gòu)、形式體系和一般關(guān)系等都已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對象。法國布爾巴基學(xué)派就認(rèn)為，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。而近幾十年發(fā)現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，應(yīng)用數(shù)學(xué)的問題類型以空前的速度增長，其中最顯著的是計算機(jī)及其應(yīng)用的爆炸性發(fā)展，計算機(jī)技術(shù)和廣泛應(yīng)用統(tǒng)一的概念處理現(xiàn)實(shí)世界的各種模式已成為當(dāng)今數(shù)學(xué)發(fā)展的一個決定性特點(diǎn)。

第6頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四4.前蘇聯(lián)學(xué)者（20世紀(jì)50年代）：現(xiàn)代數(shù)學(xué)是各種量之間的可能的、一般說是各種變化著的量的關(guān)系和相互聯(lián)系的科學(xué)。5.美國學(xué)者（20世紀(jì)80年代）：數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)。數(shù)學(xué)中的概念和命題，或是問題和方法，都應(yīng)看作是一種具有普遍意義的模式。因此數(shù)學(xué)是研究一種廣義的量——模式結(jié)構(gòu)的科學(xué)。第7頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四<二>現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀1.數(shù)學(xué)是一門科學(xué)數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，觀察、實(shí)驗、發(fā)現(xiàn)和猜想等是數(shù)學(xué)的重要實(shí)踐，嘗試和錯誤、假說和調(diào)研及度量和分類是常用的數(shù)學(xué)技巧。數(shù)學(xué)是客觀世界模式和秩序的科學(xué)。在數(shù)學(xué)中通過模式的建構(gòu)，并以此為直接對象來從事客觀世界量性、規(guī)律性的研究。數(shù)學(xué)理論是由數(shù)學(xué)模式組成的邏輯有序的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)問題解決時從已知到目標(biāo)的邏輯推理、演算的有序過程。第8頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四2.數(shù)學(xué)是一門技術(shù)計算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)成為普適性的技術(shù)，現(xiàn)代高科技從本質(zhì)上講是數(shù)學(xué)技術(shù)。從航天到家庭，從宇宙到原子，從大型工程到工商管理，無一不受惠于數(shù)學(xué)技術(shù)。計算機(jī)的發(fā)展導(dǎo)致對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)活動內(nèi)容的看法有所改變，更加突出了數(shù)學(xué)實(shí)驗，把探索和發(fā)現(xiàn)看成數(shù)學(xué)教學(xué)過程的重要組成部分。第9頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四3.數(shù)學(xué)是一種文化數(shù)學(xué)是傳播人類思想的一種基本方式，是人類的一種高級語言，就業(yè)是自然與社會聯(lián)系的一種工具。數(shù)學(xué)從思維和技術(shù)的角度為人類文化提供方法論基礎(chǔ)和技術(shù)手段，推動人類文化的進(jìn)步。數(shù)學(xué)可幫助人們認(rèn)識自然和社會，理解周圍世界，可以促進(jìn)人們又條理的思考，有效地進(jìn)行表達(dá)和交流，培養(yǎng)實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和用于探索的創(chuàng)新精神，是人們的一種高尚的文化素養(yǎng)。第10頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四1評述：.這正好反映了數(shù)學(xué)是一個多元的綜合產(chǎn)物，不能簡單地將數(shù)學(xué)等同于命題、法則和公式匯集成的邏輯體系，而應(yīng)被看作一個由理論、問題、方法、語言等多種成分所組成的復(fù)合體。2.如果從哲學(xué)的觀點(diǎn)來刻畫數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不外乎以下兩種看法：一種是動態(tài)的，將數(shù)學(xué)描述為處于成長發(fā)展中因而是不斷變化的研究領(lǐng)域；另一種則是靜態(tài)的，將數(shù)學(xué)定義為具有一整套已知的確定的概念、原理和技能體系。第11頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四<三>中學(xué)數(shù)學(xué)課程改革下的數(shù)學(xué)

1.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)一方面采用了一系列對數(shù)學(xué)的描述性的語言：“數(shù)學(xué)是人類生活的工具”；“數(shù)學(xué)是人類用于交流的語言”；“數(shù)學(xué)能賦予人創(chuàng)造性”；“數(shù)學(xué)是一種文化”；2.另一方面又首先沿用了恩格斯的定義：數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。(因為這個定位在今天對中小學(xué)數(shù)學(xué)研究的主要對象來說仍然是適用的)3.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)把數(shù)學(xué)的定位闡釋為：“數(shù)學(xué)是人們對客觀世界的定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程”。第12頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四評述:(1)這樣定義考慮到:20世紀(jì)中葉以來數(shù)學(xué)自身發(fā)生的巨大變化，特別是與計算機(jī)的結(jié)合，數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍得到空前的拓展。(2)這一闡釋使數(shù)學(xué)的內(nèi)涵更豐富，更為廣闊。它從發(fā)展的觀點(diǎn)出發(fā)，突出了數(shù)學(xué)不應(yīng)該只注重結(jié)果，而更應(yīng)該注重過程.4.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步指出“數(shù)學(xué)也是研究模式和秩序的科學(xué)?！痹u述:體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的現(xiàn)代認(rèn)識，具有時代性。也強(qiáng)調(diào)高中了高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)以模式的觀念為核心來組織教學(xué)，即應(yīng)當(dāng)把幫助學(xué)生逐步建立與發(fā)展分析模式、應(yīng)用模式、建構(gòu)模式與鑒賞模式的能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目標(biāo)。

第13頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四綜上所述:(1)對數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識是發(fā)展變化的，它的對象思想方法無時不處在發(fā)展變化之中。因此，只能在各個歷史時期對其對象和方法的本質(zhì)特征加以概括，給出描述性的觀點(diǎn)或定義，使人們有一個整體的數(shù)學(xué)觀。(2)同時，由于數(shù)學(xué)家的哲學(xué)觀不同、角度不同、出發(fā)點(diǎn)不同，同一時期也會出現(xiàn)對數(shù)學(xué)不同的描述，既帶有主觀成分，又具有時代烙印，但它們都從某一側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為我們?nèi)嬲J(rèn)識數(shù)學(xué)提供了一個視角。(3)從中學(xué)的角度看，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，采取現(xiàn)象與本質(zhì)并重，結(jié)果與過程并重，形式與內(nèi)容并重，無疑具有重要的指導(dǎo)意義。

第14頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

一般的，數(shù)學(xué)的特點(diǎn)被歸納為三性：抽象性、精確性、應(yīng)用的廣泛性。(一)數(shù)學(xué)的抽象性特征1、數(shù)學(xué)對象的抽象性研究對象：抽象的形式化的思想材料。思想材料：即她所研究的對象不是客觀世界的具體物化形式或具體運(yùn)動形態(tài)，實(shí)驗觀測不到。如：數(shù)、式、方程、函數(shù)；點(diǎn)、線、面、體；群、環(huán)、域；歐氏空間、線性空間等數(shù)學(xué)對象都是人類思想抽象的產(chǎn)物，雖可以找到它們形成的客觀背景，但現(xiàn)實(shí)世界中沒有這些對象物化形式的實(shí)際存在。數(shù)學(xué)的抽象是從事物的量和形上的抽象第15頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)形式化：既指這些思想材料是用數(shù)學(xué)的特殊符號語言組織起來的，我們能見到只是符號的表面形式，其內(nèi)涵、內(nèi)容、抽象的思想是隱藏在形式之下的。例如：”sinx”直觀上只是符號、形式，其內(nèi)涵是直角坐標(biāo)系下，角x終邊上任意一點(diǎn)到Ｙ軸的距離與到原點(diǎn)距離的比值。第16頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(一)數(shù)學(xué)的抽象性特征２、數(shù)學(xué)理論的抽象性（一般性模式）一個數(shù)學(xué)模型反映的往往是不同領(lǐng)域、不同學(xué)科內(nèi)不同現(xiàn)象、不同問題的共同本質(zhì)。例如：這個最簡單的一介微分方程可以描述：放射性同位素的衰變過程（化學(xué)）；某種細(xì)菌的繁殖過程（生物）；某個條件下的熱傳導(dǎo)過程（物理）；某個地區(qū)人口的變化過程（社會）等等第17頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(一)數(shù)學(xué)的抽象性特征３、數(shù)學(xué)方法的抽象性數(shù)學(xué)的主要研究方式：思辨。數(shù)學(xué)活動是人類抽象的思想活動，是一種思想實(shí)驗。數(shù)學(xué)的兩種抽象方法：弱抽象與強(qiáng)抽象４、數(shù)學(xué)抽象的兩個特點(diǎn)（１）理想化（２）形式化有獨(dú)特的符號系統(tǒng)；由假設(shè)推出結(jié)論第18頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(二)數(shù)學(xué)的確定性特征1、數(shù)學(xué)的確定性由數(shù)學(xué)的抽象性決定數(shù)學(xué)的抽象舍棄了事物個別的性質(zhì)和具體的內(nèi)容，保留了事物的共同的本質(zhì)，這些本質(zhì)的東西是穩(wěn)定的、確定的，數(shù)學(xué)正是研究在一定數(shù)學(xué)運(yùn)動變換下的不變性質(zhì)。變化中的不變性數(shù)學(xué)方法的抽象性使得數(shù)學(xué)結(jié)論具有普適性、穩(wěn)定性。例如：數(shù)學(xué)概念一定是明晰的，數(shù)學(xué)方法是可重復(fù)的第19頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(二)數(shù)學(xué)的確定性特征2、數(shù)學(xué)的確定性是由邏輯方法本身的精確性確定。數(shù)學(xué)推理的邏輯性確保了數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性、精確性。邏輯推理的基礎(chǔ)是概念，概念必須是明晰的、給概念下定義必須遵循規(guī)則。邏輯推理要遵循邏輯規(guī)則。任何數(shù)學(xué)結(jié)論都是在概念的基礎(chǔ)上、或原始命題的基礎(chǔ)上，遵循邏輯的推理規(guī)則推導(dǎo)出來的，這樣推出的結(jié)論具有客觀性、可靠性，令人信服（可重復(fù)性）第20頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(二)數(shù)學(xué)的確定性特征3、數(shù)學(xué)的確定性由公理化的結(jié)構(gòu)決定。公理化方法就是在原始概念、公理的基礎(chǔ)上通過邏輯的方法（精確定義、邏輯論證等）建立學(xué)科系統(tǒng)的過程。數(shù)學(xué)科學(xué)是通過公理化的方法建立起來的一個邏輯體系，邏輯推理是一個傳遞真值的過程，這就保證了在某一數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的結(jié)論具有邏輯相容性，不會互相矛盾。第21頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(三)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特征1、數(shù)學(xué)提供了特有的思維訓(xùn)練數(shù)學(xué)一直是學(xué)校教育的主要課程，因為數(shù)學(xué)是訓(xùn)練推理能力的最佳學(xué)科，她教你思考。數(shù)學(xué)提供的特有思維訓(xùn)練有：數(shù)學(xué)化—建立數(shù)學(xué)模型；抽象化—為人類學(xué)習(xí)抽象思維提供最有效的途徑；最優(yōu)化—尋求最有效、最經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)解；符號化—用一種緊湊檢閱的形式把自然語言推廣到抽象概念的符號表示；隨機(jī)化—從各種不完全和不一致的原始資料進(jìn)行估計和猜測；邏輯分析—尋求前提中所蘊(yùn)含著的東西以及尋求能結(jié)實(shí)所觀測到的現(xiàn)象的基本原理第22頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(三)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特征2、數(shù)學(xué)提供了科學(xué)的表達(dá)語言枷利略：世界的奧秘是本巨大的書，而這本書是用數(shù)學(xué)語言寫的。愛因斯坦：理論物理學(xué)家在描述各種關(guān)系時，要盡可能達(dá)到最高標(biāo)準(zhǔn)的嚴(yán)格精確性，這種標(biāo)準(zhǔn)只有用數(shù)學(xué)語言才能做到。數(shù)學(xué)是各種科學(xué)的通用語言。也是世界各民族的共同語言。數(shù)學(xué)語言（在教育中）分為：自然語言、圖形語言、符號語言。第23頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(三)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特征3、數(shù)學(xué)提供了抽象思維的模式數(shù)學(xué)為解決實(shí)際的和科學(xué)理論的非數(shù)學(xué)問題提供了抽象思維的模式，例如為非數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題提供具體的數(shù)學(xué)模型，為構(gòu)造數(shù)學(xué)模型提供抽象方法。4、數(shù)學(xué)提供了科學(xué)理論的示范作用數(shù)學(xué)公理化方法的成功為其他學(xué)科的發(fā)展提供了示范，很多學(xué)科都把本學(xué)科的公理化作為發(fā)展的目標(biāo)，數(shù)學(xué)所提供的這種示范導(dǎo)致“科學(xué)數(shù)學(xué)化”的趨勢。5、數(shù)學(xué)提供了不可思議的實(shí)踐領(lǐng)域的應(yīng)用著名數(shù)學(xué)家華羅庚在《大哉數(shù)學(xué)之為用》一文中精彩的指出“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”無不是顯現(xiàn)數(shù)學(xué)的身影，數(shù)學(xué)已成為一切技術(shù)發(fā)展和現(xiàn)實(shí)問題解決的最重要工具第24頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)(四)數(shù)學(xué)活動的探索性特征數(shù)學(xué)活動包括：數(shù)學(xué)研究活動，數(shù)學(xué)認(rèn)識活動，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動。數(shù)學(xué)的探索性特征：指數(shù)學(xué)活動要運(yùn)用一般科學(xué)的探索方法，包括：觀察、實(shí)驗、想象、直覺、猜測、驗證、反駁。數(shù)學(xué)活動都要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出假設(shè)，驗證猜想三個階段，每個階段都離不開探索。數(shù)學(xué)探索活動的特點(diǎn)：①不是運(yùn)用邏輯推理的論證方法，而是運(yùn)用合情推理的探索方法；②可以獲得發(fā)現(xiàn)發(fā)明的內(nèi)容；③可以尋找解決問題的思路；④可以預(yù)測可能性結(jié)論的正確程度；⑤其結(jié)果必須通過嚴(yán)格的論證才是可靠的、最終的結(jié)論。啟示：數(shù)學(xué)活動的探索性特征有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的方法；學(xué)校的數(shù)學(xué)教育不應(yīng)該只教論證，還要教會學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去猜想。第25頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對數(shù)學(xué)的基本認(rèn)識：

前言中的描述：數(shù)學(xué)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。20世紀(jì)中葉以來，數(shù)學(xué)自身發(fā)生了巨大的變化，特別是與計算機(jī)的結(jié)合，使得數(shù)學(xué)在研究領(lǐng)域、研究方式和應(yīng)用范圍等方面得到了空前的拓展。數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。第26頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四基本理念2中的描述：數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具,能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用；數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。第27頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中前言部分對數(shù)學(xué)的定位：數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。數(shù)學(xué)科學(xué)是自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)等科學(xué)的基礎(chǔ)，并在經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會科學(xué)、人文科學(xué)的發(fā)展中發(fā)揮越來越大的作用。數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，正在不斷地滲透到社會生活的方方面面，它與計算機(jī)技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。數(shù)學(xué)在形成人類理性思維和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用。數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)。

第28頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四

數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分，在發(fā)展和完善人的教育活動中、在形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動社會進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用。在現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)教育又是終身教育的重要方面，它是公民進(jìn)一步深造的基礎(chǔ)，是終身發(fā)展的需要。數(shù)學(xué)教育在學(xué)校教育中占有特殊的地位，它使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想，使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界。第29頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四三、幾種數(shù)學(xué)觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)“數(shù)學(xué)是一堆絕對真理的總集”，“學(xué)生的頭腦是貯存知識的倉庫”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是往學(xué)生的頭腦里不斷增加定理的數(shù)目，是反復(fù)刺激的鏡面反映，是學(xué)生對教師授予的知識的被動接受”，“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)主要在于背誦”，教師只注重學(xué)生得到數(shù)學(xué)知識的數(shù)量，只想把大量的數(shù)學(xué)結(jié)論盡快高密度地傳授給學(xué)生，就會實(shí)施猛增亂補(bǔ)的教學(xué)法，其表現(xiàn)為：第30頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四一是盡量縮短學(xué)生思考理解數(shù)學(xué)知識的時間，不考慮學(xué)生能否接受，不研究學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的合理性與組織性，不調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，只是自己單邊的教學(xué)活動，使學(xué)生處于被動地接受狀態(tài)。二是講課中有意忽略知識產(chǎn)生的過程，講概念不去建立概念與概念之間的聯(lián)系，只講概念的表達(dá)式，對概念的形成過程，定理的發(fā)現(xiàn)過程，證明與解題的探索過程一帶而過（甚至省略），不講解（或不注重）知識與知識之間的邏輯關(guān)系，不引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比和歸納，只把結(jié)論直接給學(xué)生。第31頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四三是把教學(xué)的重點(diǎn)放在解題上，但也是只講算法不講算理，不引導(dǎo)學(xué)生通過歸納、分析、綜合去理解解題思路，抓住解題實(shí)質(zhì)，一味生搬算法，硬套公式。四是學(xué)生灌輸“數(shù)學(xué)解題的方法就是死記硬背公式、定理和法則，然后直接應(yīng)用”、“學(xué)習(xí)的目的就是記憶‘標(biāo)準(zhǔn)答案’”。五是通過重復(fù)刺激和反復(fù)訓(xùn)練的方法以達(dá)到熟練掌握的程度，毫不顧忌腦力承受能力的極限，加班加點(diǎn)把學(xué)生困在過度訓(xùn)練的題海戰(zhàn)中。第32頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1、缺乏理解、僵化、無序的一大堆零散的數(shù)學(xué)結(jié)論。2、死記硬背的學(xué)習(xí)方法，思路單一狹窄的思維方法，缺乏可利用性，可辨別性和穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)不具有抽象、概括、遷移、邏輯推理紅證明的功能，一些須逆向思維與發(fā)散思維的問題則無能為力解決。3、缺乏數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力，缺乏學(xué)習(xí)的主動性、獨(dú)立性和批判性。4、熟記了公式定理卻不會推導(dǎo)證明，學(xué)了的結(jié)論到用的時候卻調(diào)不出來。5、超過腦力承受極限的題海戰(zhàn)，使學(xué)生過度疲勞，缺乏充足的睡眠和休息，造成思維混亂，反應(yīng)遲鈍，導(dǎo)致本掌握的知識與方法也錯誤應(yīng)用。

第33頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四“數(shù)學(xué)是一種處理數(shù)量問題的工具，是有益于生計的問題解決的一招一式的技術(shù)”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是各種算法和技術(shù)的機(jī)械記憶和應(yīng)用”，則教師會采用認(rèn)套題型的教學(xué)法。認(rèn)套題型的教學(xué)觀的表現(xiàn)：1、只注重實(shí)際應(yīng)用操作程序的教學(xué)，注重技法訓(xùn)練和方法培訓(xùn)，削弱基本概念的教學(xué)，不進(jìn)行抽象概括能力的培養(yǎng)，不注重推理論證訓(xùn)練。2、只注重可以直接應(yīng)用于日常生活的數(shù)學(xué)，削弱抽象數(shù)學(xué)的教學(xué)。第34頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四3、不把精力放在完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，不講解題的思路和方法是怎樣得來的，而是把更多的注意力放在題型上，有的重點(diǎn)高中重點(diǎn)班甚至不講教材，完全搞題型教學(xué)，搞全面網(wǎng)盡的題型訓(xùn)練，講課就是講題型和難題，一節(jié)課講十幾個題型，筆記十幾頁，要求學(xué)生記下來。4、新課剛授完（或根本不講基礎(chǔ)知識）就要求學(xué)生解難題，由于學(xué)生缺乏基礎(chǔ)知識而無法理解，難題解不了，只有用強(qiáng)行記憶來彌補(bǔ)，學(xué)生被迫進(jìn)行機(jī)械學(xué)習(xí)。5、大量搜集題型和難題，要求學(xué)生加班加點(diǎn)地做類型題和難題，用題海戰(zhàn)達(dá)到學(xué)生對各種題型的熟悉套用。第35頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四認(rèn)套題型的教學(xué)觀的結(jié)果這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1、具有表明性、形式化特點(diǎn)的零散的數(shù)學(xué)方法。2、“識別類型，死套方法，強(qiáng)化練習(xí)”的學(xué)習(xí)方式，對解題步驟的機(jī)械記憶和程式化步驟的模仿的解題方法。3、僵化機(jī)械的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，缺乏理性思維、抽象概括、推理論證、信息解讀等功能。思維方式機(jī)械、解題能力差。只能解做過的類型題和難題，對沒做過、沒見過，或稍作一點(diǎn)改變的題就無法解或錯解。4、由于教師包辦代替了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維過程，使學(xué)生長期滯留在經(jīng)驗型的直觀感悟上，抽象邏輯思維能力差，超越不了直觀經(jīng)驗和具體計算，不能上升到理性認(rèn)識。5、對教師極大的依賴性，無創(chuàng)新意識與思維探究能力。第36頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四“數(shù)學(xué)是通過對概念的分析、生成和組織，對命題的嚴(yán)密邏輯推理而形成的互相聯(lián)系的系統(tǒng)化的有機(jī)整體。反映的是概念命題的客觀邏輯結(jié)構(gòu)”，“數(shù)學(xué)是用數(shù)學(xué)經(jīng)驗規(guī)則組成的體系，其組織的活力依賴于各部分之間的聯(lián)系，結(jié)構(gòu)決定體系的功能”，“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成過程是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)進(jìn)行加工的心理活動過程”，“構(gòu)建概念體系和命題體系是促進(jìn)學(xué)生建立完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有效途徑”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是學(xué)習(xí)者的生理——心理系統(tǒng)對數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的（部分）納入”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是注重知識內(nèi)在關(guān)聯(lián)中加深理解，把握知識的來龍去脈，只有這樣才能形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)第37頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四“知識結(jié)構(gòu)不僅是知識的固著點(diǎn)，也是從不同側(cè)面認(rèn)識事物的一條途徑，學(xué)生頭腦積累的知識只有做到條件化、成熟化、結(jié)構(gòu)化，才會有效地同化，鞏固和遷移，才能成功地解決問題”，“學(xué)生從已知的整體知識中掌握分化的部分，比從已知的分化部分中掌握整體的難度要低一些”，則教師就會施行結(jié)構(gòu)教學(xué)法。結(jié)構(gòu)教學(xué)法的表現(xiàn)：1、注重對概念進(jìn)行分析、抽象、概括的生成組成過程的教學(xué)，注重命題的邏輯推理證明，對學(xué)生進(jìn)行抽象、概括能力和邏輯思維能力的訓(xùn)練。

第38頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四2、注重知識點(diǎn)之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，講清來龍去脈，知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)方式，過程和結(jié)構(gòu)圖式；從知識結(jié)構(gòu)的總體上把握概念、定理、公式、方法和技巧。3、注重核心概念體系與命題體系的建構(gòu)過程，并揭示蘊(yùn)涵于核心概念的概念體系、命題體系深層的數(shù)學(xué)思想方法。4、教授如何進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的理解，如何進(jìn)行意義學(xué)習(xí)，如何構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)方法。5、解題教學(xué)的重點(diǎn)放在如何分析題意尋找解題思想、思路和方法上，放在具體問題具體分析的解題方法的引導(dǎo)上。6、注重演繹推理能力的訓(xùn)練。第39頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1、有活力的條件化、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識、概念體系和命題體系。2、蘊(yùn)涵于表層知識之中的數(shù)學(xué)思想方法。3、具有起固定作用的核心數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這種認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有較高的信息解讀能力，抽象、概括、類比、歸納、邏輯推理、論證等理性思維能力和思維探究能力。4、意義學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)方法，從總體上記憶、理解和把握數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)的方法、具體問題具體分析的解題方法。5、主干知識突出，既包括理論知識，又包括經(jīng)驗知識和數(shù)學(xué)前提性知識，脈絡(luò)簡明的“認(rèn)知地圖”。6、較強(qiáng)的數(shù)學(xué)語言表達(dá)與轉(zhuǎn)換能力，不孤立地看問題，努力尋求綜合地看待事物的的習(xí)慣。7、學(xué)習(xí)的有用功率高，不打疲勞戰(zhàn)，減輕了腦力的過重負(fù)擔(dān)。第40頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四“數(shù)學(xué)知識是無法傳遞的，傳遞的只是信息”，“信息必須被置于洞察、解釋并與頭腦認(rèn)知結(jié)構(gòu)中現(xiàn)有的知識發(fā)生聯(lián)系的位置（即生長點(diǎn)），通過新舊制知識經(jīng)驗的互動，才能被理解而成為自己的知識”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自覺主動在心理上建造一個認(rèn)知對象的‘建筑物’，其建筑材料，除了有關(guān)新知識的少量信息來源于外部，多數(shù)信息來源于心理內(nèi)部——已有的知識、經(jīng)驗、方法和觀念。建造的過程除最初少量外部活動外，主要的是內(nèi)部的心理活動，是一系列思維活動的內(nèi)部操作，是內(nèi)部心理上的思維創(chuàng)造過程”，則教師就會采用建構(gòu)主義的教學(xué)法。第41頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四建構(gòu)主義教學(xué)法的表現(xiàn)1、把重心放在如何調(diào)動學(xué)生主動性、如何教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)方法上。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力，自學(xué)能力，反思能力，思維自我調(diào)節(jié)與監(jiān)控能力。2、注重對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)現(xiàn)有狀況和進(jìn)行當(dāng)前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知心理活動進(jìn)行分析，對新舊知識的結(jié)合進(jìn)行研究。3、不僅要以學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)為出發(fā)點(diǎn)，而且以擴(kuò)展和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)為歸宿。4、既教學(xué)生如何進(jìn)行數(shù)學(xué)認(rèn)知，如何構(gòu)建良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又教學(xué)生如何對自己的認(rèn)知進(jìn)行認(rèn)知（元認(rèn)知），還教不同學(xué)段的不同學(xué)習(xí)方法如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化。5、教給學(xué)生“積極前進(jìn)、循序上升”的學(xué)習(xí)觀，在前進(jìn)中鞏固知識，用循環(huán)來鞏固知識，加深認(rèn)識，用循環(huán)來系統(tǒng)化知識，提高質(zhì)量，解決問題。剖析、批判、摒棄“前不清，后不接”，在每個知識小點(diǎn)上進(jìn)行反復(fù)講、重復(fù)練，層層夯實(shí)。6、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思性學(xué)習(xí)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。第42頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四這種教學(xué)使學(xué)生得到的是：1、符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特殊的認(rèn)識規(guī)律的學(xué)習(xí)方法。2、良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深刻的理解能力，較強(qiáng)的數(shù)學(xué)自學(xué)能力，反思能力，解題能力，思維探究能力。3、融會貫通數(shù)學(xué)知識體系與扎實(shí)的數(shù)學(xué)雙基。4、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性、獨(dú)立性、數(shù)學(xué)思想的深刻性，批判性，靈活性。5、高效率的學(xué)習(xí)效果，超前學(xué)習(xí)的歡樂。概言之，學(xué)生得到的是一個睿智的頭腦和一把開啟數(shù)學(xué)寶藏的金鑰匙。第43頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四：“數(shù)學(xué)是一種探索精神，是一個動態(tài)的過程，是一個思維試驗過程，是數(shù)學(xué)真理的抽象過程，”“數(shù)學(xué)是通過對簡單事實(shí)的把握，建立思維體系，通過推理得出結(jié)果，”“數(shù)學(xué)是創(chuàng)建并運(yùn)用公理化方法，通過嚴(yán)密的邏輯推理論證，把零散的數(shù)學(xué)經(jīng)驗規(guī)則匯集、發(fā)展，構(gòu)建成系統(tǒng)化的邏輯體系”，“數(shù)學(xué)是通過建構(gòu)模式來刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的，是一種模式的建構(gòu)活動，而且模式本身就是研究的對象，是理想化量化模式的建構(gòu)與研究”，“數(shù)學(xué)對人類的貢獻(xiàn)不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的美妙的定理，更重要的是它孕育成熟理性的最佳載體”，“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)理性精神的再根植第44頁，共48頁，2023年，2月20日，星期四”，“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種理性的認(rèn)識過程，起決定作用的是理性因素”，“數(shù)學(xué)公理化和形式化有助于理性思維的培養(yǎng)”，