ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣

lecture10FINANCIALMODELING金融建模ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣要計(jì)算有效投資組合，我們就必須計(jì)算股票收益數(shù)據(jù)的方差-協(xié)方差矩陣。本章中，我們將討論在Excel中怎樣實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)算。其中最顯而易見(jiàn)的計(jì)算為樣本方差-協(xié)方差矩陣：這是直接由歷史收益計(jì)算而得的矩陣。我們介紹幾種計(jì)算方差-協(xié)方差的方法，包括在電子表中用超額收益矩陣直接計(jì)算、VBA實(shí)現(xiàn)該方法計(jì)算。即使樣本方差-協(xié)方差矩陣看起來(lái)像一個(gè)很明顯的選擇，但我們將用大量的文字說(shuō)明它也許不是方差與協(xié)方差最好的估計(jì)。樣本方差-協(xié)方差矩陣有兩個(gè)不盡人意的缺陷：一是它常使用不現(xiàn)實(shí)的參數(shù)，二是它難以用于預(yù)測(cè)。這些將主要在10.5和10.6節(jié)中討論。作為樣本矩陣的替換，10.9和10.10節(jié)將討論用于優(yōu)化方差-協(xié)方差矩陣估計(jì)的“壓縮”方法。在開(kāi)始本章之前，你應(yīng)先閱讀第34章數(shù)組函數(shù)的內(nèi)容。里面有一些Excel函數(shù)，其參數(shù)是向量和矩陣；它們的實(shí)施與標(biāo)準(zhǔn)Excel函數(shù)略有不同。本章重點(diǎn)討論這些數(shù)組函數(shù)Transpose()和MMult()，還有“自制”的數(shù)組函數(shù)的使用。10.1引言ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!10.2.1一個(gè)稍微更有效率的替代方法正如你所期望那樣，的確存在其他計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣可選方法。這里所介紹的方法跳過(guò)了超額收益的計(jì)算，并且直接使用單元格B71：G76中的公式進(jìn)行計(jì)算。它通過(guò)使用數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B23：G33-B35：G35)，B23：G33-B35：G35)/10。通過(guò)寫(xiě)入B23：G33-B35我們直接將每項(xiàng)收益減去均值得到超額收益向量：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!10.3 我們應(yīng)該除以M還是M-1？Excel與統(tǒng)計(jì)量？在前面的計(jì)算中我們除以M-1而非M，以此得到無(wú)偏的方差和協(xié)方差的估計(jì)。不過(guò)這個(gè)選擇看起來(lái)幾乎沒(méi)有多大影響。我們引用主流的教科書(shū)：“對(duì)于為什么要用M-1取代M這兒有一段很長(zhǎng)的歷史。如果你從來(lái)沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)，你可以參考任何一本好的統(tǒng)計(jì)教材。這里我們主要想提醒你，如果你在計(jì)算一個(gè)分布的方差時(shí)，這個(gè)分布存在已知的先驗(yàn)的均值，而不需要從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的時(shí)候，那么M-1應(yīng)該變回M。（我們同樣想說(shuō)關(guān)于在分母上用M-1替代M上，我們認(rèn)為對(duì)你是已知的，但這卻是對(duì)你不負(fù)責(zé)任的——例如，試圖用圖例說(shuō)明去證明一個(gè)充滿(mǎn)疑問(wèn)的假設(shè)）”Excel本身某程度上在除以M還是M-1這個(gè)問(wèn)題上也有些混亂。在下面的電子表中我們給出幾種計(jì)算均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差的方法。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!Excel區(qū)分總體方差（Varp，除以M）、樣本方差（Var，除以M-1），以及總體和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（分別為Stdevp和Stdev）。但是Excel并沒(méi)有在協(xié)方差函數(shù)Covar中作此區(qū)分。你可以看到B30中Covar除以M，和Varp一樣。如果你想得到一個(gè)相應(yīng)的除以M-1的協(xié)方差函數(shù)，那么你得像單元格B33那樣用Covar乘以，或者你需要使用像單元格B32那樣的數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B3：B13-B16)，C3：C13-C16)/10。如果Excel是完全合理的，它應(yīng)該有兩個(gè)函數(shù)：Covarp，它除以M（對(duì)應(yīng)Varp或Stdevp），以及Covar，它除以M-1（對(duì)應(yīng)Var或Stdev）。困惑了嗎？沒(méi)關(guān)系！正如該部分開(kāi)始的教科書(shū)引用指出的那樣，它不是一個(gè)至關(guān)重要的問(wèn)題。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!我們的種替代方法是用一個(gè)VBA函數(shù)：FunctionVarCovar(rng.Range)AsVariantDimiAsIntegerDimjAsIntegerDimnumColsAsIntegernumCols=rng.Columns.CountDimmatrix()AsDoubleReDimmatrix(numCols-1,numCols-1)Fori=jTonumColsForj=1TonumColsmatrix(i-1,j-1)=Application.WorksheetFunction.Covar(rng.Columns(i),rng.Columns(j))NextjVarCovar=matrixEndFunctionch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!應(yīng)注意以上6只股票的GMVP包含兩個(gè)空頭（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一個(gè)非常大正向頭寸。這是一個(gè)潛在的不主張使用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算GMVP的例子：一個(gè)尋找最小方差的投資者是不會(huì)將77%的BA和10%的MSFT的賣(mài)空得資金，投放到投資組合的61%的GE和100%的IBM上去的。這些用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算產(chǎn)生的不合理的投資組合使得我們必須尋找各種其他方法來(lái)計(jì)算該矩陣，它們將在10.7-10.9節(jié)中討論。但在進(jìn)入這些主題之前，我們還是先討論有效投資組合的計(jì)算。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!首先，在我們的SIM方差-協(xié)方差矩陣中的個(gè)IF條件為IF（B24：G24=A25：A30，B18：G18，…）。這說(shuō)明了假如我們?cè)趯?duì)角線(xiàn)上，我們應(yīng)該放在資產(chǎn)的收益方差中。其次，IF條件說(shuō)明當(dāng)不在對(duì)角線(xiàn)上時(shí)，我們應(yīng)該輸入MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)*H18。公式MMULT(TRANSPOSE(B20：G20)，B20：G20)生成了一個(gè)矩陣。該公式用S&P500的方差乘以該矩陣，在H列給出。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!目前很少理論涉及怎么選擇合適的收縮估計(jì)。我們建議選擇一個(gè)收縮因子使得GMVP所有權(quán)數(shù)均為正（詳見(jiàn)下一節(jié)）。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!10.10.2用替代方差-協(xié)方差矩陣的方法計(jì)算GMVP在本節(jié)中我們用另外三種計(jì)算方差-協(xié)方差的方法來(lái)重復(fù)上面的計(jì)算。用單指數(shù)模型（SIM）我們得到下面GMVP：當(dāng)中最顯著的變化并非GMVP的統(tǒng)計(jì)量，而是GMVP的組成，現(xiàn)在它全部由股票的正比例組成。接下來(lái)的電子表中我們使用常數(shù)-相關(guān)系數(shù)矩陣：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!使用收縮方差-協(xié)方差矩陣，我們得到以下結(jié)果：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!我們用我們的數(shù)字例子來(lái)說(shuō)明計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的矩陣方法。我們通過(guò)減去資產(chǎn)各自的平均收益，得到超額收益矩陣（接下來(lái)的電子表中的42-52行）。在55-61行中我們計(jì)算樣本方差-協(xié)方差矩陣。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!10.4計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的其他方法在這一節(jié)中，我們介紹兩種替代計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的方法。種是使用一個(gè)VBA數(shù)組函數(shù)，它可以直接計(jì)算出樣本方差-協(xié)方差矩陣。第二種是使用Excel的Offset函數(shù)。10.4.1一個(gè)計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的VBA函數(shù)我們的種替代方法是用一個(gè)VBA函數(shù)：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!這個(gè)函數(shù)是一個(gè)數(shù)組函數(shù)。（意味著它必須使用[Ctrl]-[Shift]-[Enter]）。下面有一個(gè)例子：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!該電子表中的行16給出了每只股票在數(shù)據(jù)的最后一天的市場(chǎng)價(jià)值（從2004年1月開(kāi)始）。行17計(jì)算出以每項(xiàng)資產(chǎn)的市場(chǎng)權(quán)重為投資比例的投資組合。市場(chǎng)權(quán)重和有效投資組合權(quán)重之間有顯著差別。該電子表顯示了另外兩個(gè)利用樣本方差-協(xié)方差矩陣優(yōu)化配置投資組合所產(chǎn)生的問(wèn)題。個(gè)問(wèn)題是，這個(gè)最優(yōu)的投資組合包含了一些非常大的賣(mài)空和一些的不切實(shí)際的非常大的多頭。在運(yùn)行模擬運(yùn)算表計(jì)算不同c值下的包絡(luò)線(xiàn)投資組合時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，整條有效前沿均含有非常大的空頭和多頭投資組合。被標(biāo)注的部分顯示出由c變化而導(dǎo)致的變動(dòng)。只有JNJ在所有包絡(luò)線(xiàn)組合中保持著正的權(quán)數(shù)。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!如果我們認(rèn)為通過(guò)這樣的方式獲得投資組合的比例是不合理的，那么在該優(yōu)化過(guò)程中，不是方差-協(xié)方差矩陣出了問(wèn)題，就是均值向量出了問(wèn)題（甚至兩者都是）。我們將在本章的10.7-10.10節(jié)和第13章的Black-Litterman模型中再回到該主題上。這個(gè)例子揭示的第二個(gè)問(wèn)題與該樣本方差-協(xié)方差矩陣不像真實(shí)的相關(guān)系數(shù)有關(guān)。在接下來(lái)的電子表中我們給出相關(guān)系數(shù)矩陣。在調(diào)查期內(nèi)，最大的相關(guān)系數(shù)（通用汽車(chē)公司和波音公司之間）為0.89；檢查該矩陣顯示存在一些非常大且不像真實(shí)的相關(guān)系數(shù)：有6個(gè)相關(guān)系數(shù)大于0.5。這是難以置信的！最小的相關(guān)系數(shù)（波音公司和家樂(lè)氏之間）為-0.1，這也許也是一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)波音公司的收益上升時(shí)，谷類(lèi)食品銷(xiāo)量會(huì)下降？ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!使用Excel中的數(shù)組函數(shù)（見(jiàn)第35章），我們可以計(jì)算SIM方差-協(xié)方差函數(shù)：這個(gè)數(shù)組函數(shù)需要被單獨(dú)提取出來(lái)：它包含了一個(gè)If函數(shù)，我們知道它包括三部分：IF（condition，answerifconditionisture，answerifconditionisfalse）。條件B24：G24=A25：A30表示在行B24：G24的“跨越輸入”（它包含了一行股票名字）是和列向量A25：A30的輸入相等。為了讓大家更清楚地看到這個(gè)條件，我們?cè)谙旅娴碾娮颖碇胁迦肓斯絀F（B24：G24=A25：A30，1，0），可以發(fā)現(xiàn)它生成了一個(gè)對(duì)角線(xiàn)上為1，而其余為0的電子表：ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!在電子表中我們通過(guò)該6只股票樣本相關(guān)系數(shù)均值來(lái)確定該常數(shù)相關(guān)系數(shù)（單元格B19）。當(dāng)然這是允許變化的：假如我們覺(jué)得股票平均相關(guān)系數(shù)在未來(lái)是0.3，那么可以從收益數(shù)據(jù)中直接估計(jì)出該方差-協(xié)方差矩陣。ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!ch10第10章計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣共41頁(yè)