M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型

第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型--靜態(tài)優(yōu)化模型3.1存貯模型3.2生豬的出售時(shí)機(jī)3.3森林救火3.4消費(fèi)者的選擇3.5生產(chǎn)者的決策3.6血管分支3.7冰山運(yùn)輸M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問題.建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù).

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法.靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)).簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型(靜態(tài)優(yōu)化)M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!3.1存貯模型問題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi).該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出.已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元.試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小.要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!這是一個(gè)優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù).顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值.周期短，產(chǎn)量小周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!模型建立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）用于訂貨供應(yīng)情況:不允許缺貨的存貯模型模型應(yīng)用T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答原問題c1=5000,c2=1，r=100每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2,T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨.思考:為什么與前面計(jì)算的C=950元有差別?M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T',Q記作Q'.允許缺貨的存貯模型M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量)M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!3.2生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80kg重的生豬體重增加2kg.問題市場(chǎng)價(jià)格目前為8元/kg，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問生豬應(yīng)何時(shí)出售?如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響?分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤最大.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!敏感性分析研究r,g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天增加的體重r變大1%，出售時(shí)間推遲3%.rtM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!強(qiáng)健性分析保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售.由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算.研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天收入的增值每天投入的資金利潤M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問題分析失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時(shí)間燒毀面積dB/dt(森林燒毀的速度).M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計(jì),

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量xM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!當(dāng)消費(fèi)者購得數(shù)量分別為x1,x2的甲乙兩種商品時(shí)，得到的效用可用函數(shù)u(x1,x2)度量，稱為效用函數(shù).效用函數(shù)

利用等高線概念在x1,x2平面上畫出函數(shù)u

的等值線,u(x1,x2)=c稱為等效用線等效用線就是“實(shí)物交換模型”中的無差別曲線，效用就是那里的滿意度.0x2u(x1,x2)=cx1c增加——一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線.

M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!模型求解引入拉格朗日乘子λ構(gòu)造函數(shù)與幾何分析得到的Q一致等效用線u(x1,x2)=c的斜率

消費(fèi)線AB的斜率M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式購買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比,比例系數(shù)是參數(shù)α與β之比的平方根.

u(x1,x2)中參數(shù),分別度量甲乙兩種商品對(duì)消費(fèi)者的效用，或者消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!效用最大化模型應(yīng)用舉例例1征銷售稅還是征收入稅政府從消費(fèi)者身上征稅的兩種辦法:

銷售稅~根據(jù)消費(fèi)者購買若干種商品時(shí)花的錢征稅

收入稅~根據(jù)消費(fèi)者的收入征收所得稅利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)為p1,p2，消費(fèi)者準(zhǔn)備花的錢為y,等效用線為u(x1,x2)=c，消費(fèi)點(diǎn)為Q(x1,x2).M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!例2價(jià)格補(bǔ)貼給生產(chǎn)者還是消費(fèi)者政府為鼓勵(lì)商品的生產(chǎn)或者減少消費(fèi)者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價(jià)格補(bǔ)貼辦法：把補(bǔ)貼款直接給生產(chǎn)者把補(bǔ)貼款發(fā)給消費(fèi)者而讓商品漲價(jià)

~鼓勵(lì)商品生產(chǎn),對(duì)消費(fèi)者無影響讓甲商品價(jià)格漲到p1+p0,補(bǔ)貼消費(fèi)者多花的錢p0x1*,使仍達(dá)到消費(fèi)點(diǎn)Q

lQABu(x1,x2)=c0x1x2l?Q?A'B'x1'x2'補(bǔ)貼前的消費(fèi)點(diǎn)Q

消費(fèi)線過Q,與l'相切于Q'的效用函數(shù)值大于Qx1'<x1*

,x2'>x2*

對(duì)消費(fèi)者更有利對(duì)甲商品生產(chǎn)不利M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!最大利潤模型x~產(chǎn)品產(chǎn)量f'(x)~邊際產(chǎn)值——x變化一個(gè)單位時(shí)產(chǎn)值的改變量c'(x)~邊際成本——x變化一個(gè)單位時(shí)成本的改變量最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時(shí)達(dá)到.假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入f(x)~產(chǎn)值(收入),c(x)~成本利潤達(dá)到最大利潤的產(chǎn)量x*M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!c/2~成本的一半b~彈性系數(shù)——價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）a~絕對(duì)需求(

p很小時(shí)的需求)b

p*

ap*a,b可由p和x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作擬合得到~利潤達(dá)到最大的定價(jià)利潤最優(yōu)定價(jià)模型

M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型

最優(yōu)解(x1,x2)滿足

在條件下求x1,x2使產(chǎn)值f(x1,x2)最大.

用拉格朗日乘子法求條件極值~邊際產(chǎn)值當(dāng)兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價(jià)格之比時(shí)，產(chǎn)值達(dá)到最大.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!——從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小對(duì)偶關(guān)系的應(yīng)用

Qf(x)≥vlAB0x1x2給定v和c求得最小費(fèi)用s(v,c)=s

畫出直線AB:cx=sx=(x1,x2)T,c=(c1,c2)f(x)≥v的點(diǎn)在AB上方,且AB上有一點(diǎn)Q位于l:f(x)=v上改變c重復(fù)上述過程,得到一系列不同斜率的直線區(qū)域f(x)≥v在直線上方,其邊界是等產(chǎn)值線l:f(x)=v

包絡(luò)線改變v重復(fù)上述過程,得到一系列等產(chǎn)值線M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!模型假設(shè)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面.血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng).血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.qq1q1ABB′CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC與CB,CB′M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機(jī)體為血流提供能量M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!模型解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動(dòng)脈半徑rmax,毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論n=？M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!2.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時(shí))01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山體積(米3)船速(千米/小時(shí))1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模準(zhǔn)備M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!第t天融化速率模型建立1.冰山融化規(guī)律船速u(千米/小時(shí))與南極距離d(千米)融化速率r(米/天）r是u的線性函數(shù)d<4000時(shí)u與d成正比d>4000時(shí)u與d無關(guān)航行t天,d=24ut01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urdM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vuq1燃料消耗q1(英鎊/千米)q1對(duì)u線性,對(duì)lgV線性選定u,V0,航行第t天燃料消耗q(英鎊/天)燃料消耗總費(fèi)用M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!冰山到達(dá)目的地后得到的水體積3.運(yùn)送每立方米水費(fèi)用冰山運(yùn)輸總費(fèi)用運(yùn)送每立方米水費(fèi)用

到達(dá)目的地時(shí)冰山體積M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!結(jié)果分析由于未考慮影響航行的種種不利因素，冰山到達(dá)目的地后實(shí)際體積會(huì)顯著小于V(u,V0).有關(guān)部門認(rèn)為，只有當(dāng)計(jì)算出的Y(u,V0)顯著低于淡化海水的成本時(shí)，才考慮其可行性.大型拖船V0=107(米3),船速u=4~5(千米/小時(shí)),冰山到達(dá)目的地后每立方米水的費(fèi)用Y(u,V0)約0.065(英鎊).雖然0.065英鎊略低于淡化海水的成本0.1英鎊，但是模型假設(shè)和構(gòu)造非常簡(jiǎn)化與粗糙.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次,每次100件,無貯存費(fèi),準(zhǔn)備費(fèi)5000元.日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元.

10天生產(chǎn)一次,每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元.

50天生產(chǎn)一次,每次5000件,貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元.平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次,平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小.4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!模型求解求T使模型解釋定性分析敏感性分析參數(shù)c1,c2,r的微小變化對(duì)T,Q的影響T對(duì)c1的(相對(duì))敏感度c1增加1%,T增加0.5%S(T,c2)=-1/2,S(T,r)=-1/2c2或r增加1%,T減少0.5%M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失.原模型假設(shè)：貯存量降到零時(shí)Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨).現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,缺貨需補(bǔ)足.T周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!存貯模型

存貯模型(EOQ公式)是研究批量生產(chǎn)計(jì)劃的重要理論基礎(chǔ),也有實(shí)際應(yīng)用.

建模中未考慮生產(chǎn)費(fèi)用,為什么?在什么條件下可以不考慮(習(xí)題1)?

建模中假設(shè)生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)),如果生產(chǎn)能力有限(大于需求量的常數(shù)),應(yīng)作怎樣的改動(dòng)(習(xí)題2)?M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元.建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1=pw-4tM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g微小變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響.設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低g增加1%，出售時(shí)間提前3%.gtM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量.隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小.綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量.問題分析問題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度).2）t1tt2,降為-x

(為隊(duì)員的平均滅火速度).4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3.假設(shè)1）的解釋rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比.面積B與t2成正比dB/dt與t成正比M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

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是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!3.4消費(fèi)者的選擇背景消費(fèi)者在市場(chǎng)里如何分配手里一定數(shù)量的錢，選擇購買若干種需要的商品.根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一條最優(yōu)化原理——“消費(fèi)者追求最大效用”，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助消費(fèi)者決定他的選擇.假定只有甲乙兩種商品供消費(fèi)者購買，建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!效用最大化模型

p1,p2~甲乙兩種商品的單價(jià),y~消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢

x1,x2~購得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1···x1x2幾何分析x2u(x1,x2)=cx10c增加u(x1,x2)=c單調(diào)減、下凸、互不相交.在條件p1x1+p2x2=y下使效用函數(shù)u(x1,x2)最大.AB必與一條等效用線相切于Q點(diǎn)(消費(fèi)點(diǎn)).Q(x1,x2)唯一消費(fèi)線ABM03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!結(jié)果解釋效用函數(shù)的構(gòu)造等效用線u(x1,x2)=c

所確定的函數(shù)x2(x1)單調(diào)減、下凸解釋條件中正負(fù)號(hào)的實(shí)際意義充分條件當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價(jià)格之比時(shí)效用函數(shù)最大.~邊際效用——商品數(shù)量增加一個(gè)單位時(shí)效用的增量M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!購買兩種商品費(fèi)用之比只取決于λ,μ,與價(jià)格無關(guān).

u(x1,x2)中,分別度量?jī)煞N商品的效用或者偏愛.實(shí)際應(yīng)用時(shí)根據(jù)對(duì)最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其參數(shù).效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1,x2)=c0x2x1l例1征銷售稅還是征收入稅對(duì)甲商品征銷售稅,稅率為p0

征稅前的消費(fèi)點(diǎn)Q

消費(fèi)線AB1,B1在B的左邊

AB1與l1相切于Q1(x1*,x2*)若改為征收入稅

政府得到的銷售稅額p0x1*

征收的稅額與銷售稅額p0x1*相同

消費(fèi)線A2B2與l2相切于Q2,可證B2在B1的右邊.

l2在l1上？l2在l1下？

如果l2在l1上方，Q2的效用函數(shù)值將大于Q1,對(duì)消費(fèi)者來說征收入稅比征銷售稅好.

M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!3.5生產(chǎn)者的決策背景根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)的又一條最優(yōu)化原理——“生產(chǎn)者追求最大利潤”，用數(shù)學(xué)建模的方法幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策.生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價(jià)格.在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中“消費(fèi)者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價(jià)格，使利潤最大.產(chǎn)量x等于銷量，數(shù)量無限制.收入與x成正比，系數(shù)p即價(jià)格.

成本與x成正比，系數(shù)c即邊際成本.銷量x依于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù).簡(jiǎn)化假設(shè)求p使r(p)最大最優(yōu)定價(jià)模型

利潤M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!投資費(fèi)用一定下的產(chǎn)值最大模型

x1,x2~甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1,c2~甲乙產(chǎn)品的單位成本s~總投資費(fèi)用f(x1,x2)~產(chǎn)值函數(shù)

在條件下求x1,x2使產(chǎn)值f(x1,x2)最大.

QABs/c2s/c1···x1x2x2f(x1,x2)=vx10v增加等產(chǎn)值線f(x1,x2)=v單調(diào)減、下凸、互不相交.幾何分析投資線AB必與一條等產(chǎn)值線相切于Q點(diǎn).與效用最大化模型類似下凸~稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高M(jìn)03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!產(chǎn)值最大與費(fèi)用最小的對(duì)偶關(guān)系

x=(x1,x2)T,c=(c1,c2)投資費(fèi)用一定的產(chǎn)值最大模型

g(s,c)~給定的單位成本c下費(fèi)用不超過s的最大產(chǎn)值.產(chǎn)值一定的投資費(fèi)用最小模型s(v,c)~給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于v的最小費(fèi)用.對(duì)偶極值問題只要解決其中之一,另一個(gè)就迎刃而解成本函數(shù)是簡(jiǎn)單的線性函數(shù)c(x).產(chǎn)值函數(shù)f(x)在實(shí)際生產(chǎn)過程中常常難以確定.M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!3.6血管分支背景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng).給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動(dòng)的阻力.消耗能量與取決于血管的幾何形狀.在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度.問題M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)p~A,C壓力差，~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量E1提供營養(yǎng)消耗能量E2管壁內(nèi)表面積2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設(shè)qq1q1ABB′CHLll1rr1M03簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型共60頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!模型求解qq1q1AB