五年(2018-2022)全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國卷新高考卷北京天津卷等)專題15概率(含詳解)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題15概率

一、選擇題

1.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第6題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取

2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

I122

A.-B.-C.-D.一

5353

2.（2022新高考全國I卷?第5題）從2至87個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

（）

1112

A-B.—C.~D.一

6323

3.（2021年新高考全國H卷?第6題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.b越小，該物理量在一次測量中在（9910.1）的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.。越小，該物理量在一次測量中落在（9.9,10.2）1與落在（10,10.3）的概率相等

4.（2021年新高考I卷?第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)

取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，

則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

5.（2021年高考全國甲卷文科?第10題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰概率為

（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.86.(2021年全國高考乙卷文

科?第7題）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于'的概率為（）

I2.3

32]_

A.B.C.D.

4336

7.（2021高考北京?第8題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平

面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

等級(jí)24h降雨量;精確到01）H—200mm-H

..............

小雨0.1~9.9

中雨10.0~24.9在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小

大雨25.0~49.9

暴雨50.0~99.9

..............

組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集

的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

8.（2020年高考課標(biāo)I卷文科?第4題）設(shè)。為正方形A8CD的中心，在。，A.B.C.D中任取3點(diǎn)，則

取到的3點(diǎn)共線的概率為（）

1214

A.-B.-C.-D.一

5525

年高考課標(biāo)卷文科?第題）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為則數(shù)據(jù)

9.（2020III3Xi,X2,X”0.01,10xi,10x2,....

10x?的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足

球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該

校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

11.（2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)

生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)

生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A.62%B.56%

C.46%D.42%

12.（2019年高考浙江文理?第7題）設(shè)0<a<l.隨機(jī)變量X的分布列是

則當(dāng)。在（0,1）內(nèi)增大時(shí)

A."X）先增大B.5X)減小

C.O（X）先增大后減小D.O（X）先減小后增大

13.（2019年高考全國HI文?第3題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是

()

14.（2019年高考全國H文?第4題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只

兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）

15.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第7題）設(shè)0<〃<1,隨機(jī)變量J的分布列是

4012

1-P￡

P

222

則當(dāng)〃在（0,1）內(nèi)增大時(shí),()

A.0（。）減小B.。修）增大

C.0（。）先減小后增大D.先增大后減小

16.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)HI卷（文）?第5題）若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45,既用現(xiàn)金

支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15,則不用現(xiàn)金支付的概率為（）

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

17.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)H卷（文）?第5題）從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選

中的2人都是女同學(xué)的概率為（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

二、多選題

18.（2021年新高考全國II卷?第9題）下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本土,當(dāng),…，毛的離散程度的是（）

A.樣本工,吃,…,怎的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本％的中位數(shù)

C.樣本菁,々，…,月的極差D.樣本為,々，…，%的平均數(shù)

19.（2020年新高考全國I卷（山東）?第12題）信息端是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能

的取值為1,2,…,〃，且尸(X=i)=p,>0(i=1,2,…，砧￡",=1,定義X的信息烯H(X)=-JPi>og2P,.

4=1Z=1

()

A.若n=1,則H(X)=O

B.若n=2,則"(X)隨著P1的增大而增大

C.若月=L(i=l,2「..,〃)，則H(X)隨著n的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量丫所有可能的取值為1,2,…,m,且尸(丫=力="+P?,,,."，=12…，，嘰則

H(X)<H(r)

三、填空題

20.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第15題)現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7

張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則P(J=2)=,E(9=

21.(2022新高考全國II卷?第13題).已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,4),且尸(2<XV2.5)=0.36,

則P(X>2.5)=.

22.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(文)?第14題)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、

乙都入選的概率為.

23.(2021年高考浙江卷?第15題)袋中有4個(gè)紅球m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅

球數(shù)為若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為J,一紅一黃的概率為:，則相一〃=-，E《)=

24.(2021高考天津?第14題)甲、乙兩人在每次猜謎活動(dòng)中各猜一個(gè)謎語，若一方猜對(duì)且另一方猜錯(cuò)，

則猜對(duì)的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動(dòng)中，甲、乙猜對(duì)的概率分別為3和J，且每次

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活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各次活動(dòng)也互不影響，則一次活動(dòng)中，甲獲勝的概率為

,3次活動(dòng)中,甲至少獲勝2次的概率為.

25.(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第16題)一個(gè)盒子里有1個(gè)紅1個(gè)綠2個(gè)黃四個(gè)相同的球，每次拿一個(gè),

不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為4，則PC=0)=；E4)=.

26.(2020天津高考?第13題)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為g和g.假定兩球是否落入盒子互

不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為

.27.（2020江蘇高考?第4題）將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)

數(shù)，則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

28.（2019年高考上海?第10題）某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在0-9數(shù)字中選取，其中恰有兩位數(shù)字相同

的概率是.

29.（2019年高考江蘇?第6題）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2

名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是.

30.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第6題）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活

動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為.

31.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第9題）有編號(hào)互不相同的五個(gè)祛碼，其中5克、3克、1克祛碼各一個(gè)，2克

祛碼兩個(gè).從中隨機(jī)選取三個(gè)，則這三個(gè)祛碼的總質(zhì)量為9克的概率是.

四、解答題

32.（2022高考北京卷噬18題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到9.50m

以上（含9.50m）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往

的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,935,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立.

（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

（2）設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）

33.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第17題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和8兩家公司運(yùn)營，為

了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？

n(ad-be)2

(?+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..JC)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

34.(2021年新高考全國H卷?第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生

物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)

是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=p；(i=0』,2,3).

⑴已知P。=0.4,A=0.3,ft=0.2,=0.1,求E(X)；

23

(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕概率，p是關(guān)于x的方程：PQ+PIX+P2X+P3X=X

的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)41時(shí)，p=l,當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<\.

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實(shí)際含義.

35.(2021年新高考I卷?第18題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有48兩類問題，每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回

答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中

的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得。分，己

知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答8類問題的概率為0.6,且能正確回答問題的

概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

36.(2021高考北京?第18題)在核酸檢測中，*合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一

起進(jìn)行1次檢測，如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰

性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測，

得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.

⑴將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為工.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望

11

E(X)

（II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用"5合1"混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總

次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E（Y）與⑴中E（X）的大小.（結(jié)論不要求證明）

37.（2020年高考課標(biāo)I卷文科?第17題）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分

為A,B,C,。四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、8級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90

元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加

工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加

工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：

甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)40202020

乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表

等級(jí)ABCD

頻數(shù)28173421

（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；

（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承

接加工業(yè)務(wù)？

38.（2020江蘇高考?第25題）甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩

口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)"次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X,,,恰有2個(gè)

黑球的概率為p.，恰有1個(gè)黑球的概率為久.

⑴求PiR和p2?%；

⑵求2p.+%與2°,-+4,i的遞推關(guān)系式和X”的數(shù)學(xué)期望E（X“）（用n表示）.

39.（2019年高考江蘇?第25題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集4=｛（0，。），（1，。），（2,。）”..,（〃,0）｝,

紇=｛（0,1）,（〃,1）｝,C,=｛（0,2）,（1,2）,（2,2）,…2）｝,〃eN*.

令=4U紇UQ.從集合中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離.

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求X的概率分布；（2）對(duì)給定的正整數(shù)〃（〃之3）,求概率尸（XW"）（用"表示）.

40.（2019年高考北京文?第17題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已

成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,8兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的

1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用

A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

支付金額

不大于2000元大于2000元

支付方式

僅使用A27人3人

僅使用824人1人

（I）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)1月A,8兩種支付方式都使用的人數(shù)；

（II）從樣本僅使用3的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；

（III）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用3的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)

現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元.結(jié)合（II）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用8的學(xué)生中本月支付金額大

于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

41.（2018年高考數(shù)學(xué)天津（文）?第15題）（本小題滿分13分）已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者

人數(shù)分別為240,160,160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng).

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？

（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用48,C,。，E,F,G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生

工作.

⑴試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;

（ii）設(shè)M為事件”抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”,求事件M發(fā)生的概率.

42.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷（文）?第18題）（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出

了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)

分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成

生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：

第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

8655689

976270122345668

987765433281445

2110090

⑴根據(jù)莖葉圖

判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；

（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)〃?，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過〃7和不超過團(tuán)的

工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

超過機(jī)不超過機(jī)

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

附：

P?訓(xùn)0.0500.010

K?n(ad-bc)20.001

(4+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

3.8416.63510.828

k

43.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（文）?第18題）（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

額y（單位：億元）的折線圖.

20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年傷為了預(yù)測該地區(qū)

2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量f的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的

數(shù)據(jù)（時(shí)間變量f的值依次為1,2,…,17）建立模型①：=-30.4+13.5/；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)

間變量t的值依次為1,2,…,7）建立模型②：y=99+17.5/.

（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；

（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.

44.（2018年高考數(shù)學(xué)北京（文）?第17題）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：

電影第一第二第三第四第五第六

類型類類類類類類

電影14050300200800510

部數(shù)

0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)

率

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(I)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

(H)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率；

(IH)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中

只有兩類電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類電影的好評(píng)率增加0.1,哪類電影的好評(píng)率減少0.1,使

得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫出結(jié)論)

2018-2022五年全國各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題15概率

一、選擇題

1.（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第6題）從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取

2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（）

I122

A.-B.-C.—D.一

5353

【答案】C

【解析】從6張卡片中無放回抽取2張，共有

（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,5）,（4,6）,（5,6）15種情況，

其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有（1,4）,（2,41（2,6）,（3,4）,（4§,（4,6）6種情況，故概率為2=：.

故選：C.

【題目欄目】概率\事件與概率'隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）?第6題

2.（2022新高考全國I卷?第5題）從2至87個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

（）

1112

A-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

解析：從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3,6）,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

21-72

故所求概率尸=——-=故選：D.

213

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2022新高考全國I卷?第5題

3.（2021年新高考全國H卷?第6題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布下列結(jié)論中不正確的

是（）

A.b越小，該物理量在一次測量中在（9.9,10.1）的概率越大

B.。越小，該物理量在一次測量中大于10概率為0.5

C.。越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.b越小，該物理量在一

次測量中落在（9.9,10.2）1與落在（10,10.3）的概率相等

【答案】D

解析:對(duì)于A,4為數(shù)據(jù)的方差，所以。越小，數(shù)據(jù)在〃=10附近越集中，所以測量結(jié)果落在（9910.1）

內(nèi)的概率越大，故A正確；

對(duì)于B,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5,故B正確；

對(duì)于C,由正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的

概率相等，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在（9910.0）的概率與落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次測

量結(jié)果落在（9.9,10.2）的概率與落在（10,10.3）的概率不同，故D錯(cuò)誤,故選D.

【題目欄目】概率'正態(tài)分布

【題目來源】2021年新高考全國II卷?第6題

4.（2021年新高考I卷?第8題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)

取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的

數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，

則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

【答案】B

解析：P件）=1,P（乙）=1,尸（丙）=由，2（?。?￡=!，，

oo36366

P（甲丙）=0wP（甲）P（丙），P（甲?。?[=P（甲）P（J）

36

P（乙丙）=3HP（乙）P（丙），P（丙?。?0XP（?。┦ū?，故選B.

36

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

【題目欄目】概率\事件與概率'事件的關(guān)系及運(yùn)算

【題目來源】2021年新高考I卷?第8題

5.（2021年高考全國甲卷文科?第10題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰概率為

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【答案】C

解析：解：將3個(gè)1和2個(gè)。隨機(jī)排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10種排法,

其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為:

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6種方法，

故2個(gè)0不相鄰的概率為9=0.6,

10

故選：C.

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2021年高考全國甲卷文科?第10題

6.（2021年全國高考乙卷文科?第7題）在區(qū)間隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)小于;的概率為

)

32D.1

A.B.c.

4336

【答案】B

解析：設(shè)^=“區(qū)間（0,；隨機(jī)取1個(gè)數(shù)”

小”＜小所以尸（止怒=%=|

A="取到的數(shù)小于工

3

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是明確事件”取到的數(shù)小于!”對(duì)應(yīng)的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式即可

3

準(zhǔn)確求出.

【題目欄目】概率,古典概型與幾何概型'幾何概型

【題目來源】2021年全國高考乙卷文科?第7題

7.（2021高考北京?第8題）某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在

水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級(jí)劃分如下：

等級(jí)24h降雨量，格確到0.1）H—200mm-H

.............

小雨0.1~9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0-49.9

暴雨50.0~99.9

.............

在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降

雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示）,則這24h降雨量的等級(jí)是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

解析：由題意，一個(gè)半徑為—=100（mm）的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為

迎x當(dāng)=50（mm）,高為150（mm）的圓錐，所以積水厚度“二寸二!°；吧=i25（mm）'屬

2300-—乃xIGO?--'S'

于中雨.

故選：B.

【題目欄目】

【題目來源】2021高考北京?第8題

8.（2020年高考課標(biāo)I卷文科?第4題）設(shè)。為正方形ABCD的中心，在。，A.B.C.D中任取3點(diǎn)，則

取到的3點(diǎn)共線的概率為（）

1214

A.-B.-C.——D.一

5525

【答案】A

【解析】如圖，從。ABC05個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有

｛AC。｝,｛氏C,0共10種不同取法，

3點(diǎn)共線只有｛AO,C｝與｛民。,。｝共2種情況，

21

由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為而=§.

故選：A

【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問題，采用列舉法，考查學(xué)

生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'古典概型

【題目來源】2020年高考課標(biāo)I卷文科?第4題

9.（2020年高考課標(biāo)HI卷文科?第3題）設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)xi,X2，…，x?的方差為0.01,則數(shù)據(jù)10xi,10x2,

10Xn的方差為（）

A.0.01B.0.1C.1D.10

【答案】C

【解析】因?yàn)閿?shù)據(jù)叫+4為=1,2,L,〃）的方差是數(shù)據(jù)為,（i=l,2,L,〃）的方差的4倍，

所以所求數(shù)據(jù)方差為102x0.01=1

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2020年高考課標(biāo)III卷文科?第3題

10.（2020年新高考全國I卷（山東）?第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足

球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該

校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件3,則“該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球或游泳”為事件A+5,“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件43,則P（A）=0.6,

尸（B）=0.82,P（A+8）=0.96,

所以P(A?8)=P(A)+P(5)—P(A+8)=0.6+0.82-0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【題目欄目】概率\事件與概率'隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2020年新高考全國I卷（山東）?第5題

11.（2020年新高考全國卷H數(shù)學(xué)（海南）?第5題）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜

歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)

占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）

A.62%B.56%

C.46%D.42%

【答案】C

解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件8,則“該中學(xué)學(xué)生喜歡

足球或游泳”為事件A+B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件

則P(A)=0.6,P(B)=0.82,P(A+B)=0.96,

所以P(A8)=P(A)+P(B)—P(A+8)=0.6+0.82—0.96=0.46

所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選：C.

【題目欄目】概率'事件與概率'隨機(jī)事件的頻率與概率

【題目來源】2020年新高考全國卷II數(shù)學(xué)（海南）?第5題

12.（2019年高考浙江文理?第7題）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列是

則當(dāng)。在（0/）內(nèi)增大時(shí)

A."X）先增大B.Q（X）減小

C.5X）先增大后減小D.D（X）先減小后增大

【答案】【答案】D

【解析】解法rE（X）若,"X）=（0一號(hào)）￡+（〃一號(hào)）2xg+（l一號(hào)）￡=劍一夕+'.

所以當(dāng)0<“<1時(shí)，￡>（X）隨。增大先減小再增大.

22222

解析二：D(X)=￡(X)-E(X)=0+axl+lx--(-!^￡)=-(a—!-)+1,所以當(dāng)0<a<l時(shí)，Z)(X)

333926

隨。增大先減小再增大.

解法三：當(dāng)時(shí)，此時(shí)數(shù)據(jù)分布最為均勻；當(dāng)a=o或“=i時(shí)，兩種數(shù)據(jù)分布對(duì)稱，且都比較分散.故

可知D（X）隨a增大先減小再增大.

【題目欄目】概率'離散型隨機(jī)變量的均值、方差

【題目來源】2019年高考浙江文理?第7題

13.（2019年高考全國HI文?第3題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是

（）

【答案】【答案】D

【解析】用捆綁法將兩女生捆綁在一起作為一個(gè)人排列，有8=12種排法，再所有的4個(gè)人全排列

有：蜀=24種排法，利用古典概型求概率原理得：2=蕓17=；1，故選：D.

注：文科方法為枚舉法.

【題目欄目】概率'古典概型與幾何概型'排列組合與古典概型

【題目來源】2019年高考全國HI文?第3題

14.（2019年高考全國I［文?第4題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測量過某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只

兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測量過該指標(biāo)的概率為（）

【答案】【答案】B

【解析】設(shè)其中做過測試的3只兔子為a,仇c,剩余的2只為A8,則從這5只中任取3